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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 数列试题精选02



数列 02
29.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

30。已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N

) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;

?

(Ⅱ)若数列{bn}满足 4

k1-1 k2-1

4

…4 =(an+1) (n∈N ),证明:{bn}是等差数列;

k-1

km

*

(Ⅲ)证明:

a n 1 a1 a 2 n ? < ? ? ? ? n < (n∈N*). 2 3 a 2 a3 a n?1 2

-1-

解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合 解题能力。满分 14 分。 (I)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ).
k ?1

(II)证法一:? 4k1 ?14k2 ?1...4 n

? (an ?1)kn .

? 4( k1 ?k2 ?...? kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.

① ②

证法二:同证法一,得

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0
令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。

bn ? 2 ? (n ? 1)d .

-2-

(2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

bk ?1 ?

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N * 都成立。

?bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。
ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, (III)证明:? 1 ak ?1 2 ? 1 2(2k ? ) 2 2
? a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 2

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
? a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
31.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。

解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合 解题能力。满分 14 分。

-3-

(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).

(III)证明:? 4b1 ?14b2 ?1...4 n

b ?1

? (an ?1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
① ②

-4-

2 32.已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和

? ?



81 . 5
(I)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ;

(II)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 10 项之和;

(III)设 bi 为数列 T ( k ) 的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Sn ,并求正整数 m(m ? 1) ,使得

lim
n ??

Sn 存在且不等于零. nm
(注:无穷等比数列各项的和即当 n ?? 时该无穷等比数列前 n 项和的极限)

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 q? ? a 1 ? 81 ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q

?2? (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 , an ? 3 ? ? ? ?3?

n?1
( 2) ,所以数列 T 的 的 首 项 为 t1 ? a 2 ? 2 , 公 差

d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,
S10 ? 10 ? 2 ? 1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2
i ?1

? 2? (Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1?= ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3?
n

? ?i ? 1? ,
n

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? n?n ? 1? , lim m = lim m ? Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ? ? ? m n ? ? n ? ? n 2 n n 2n m ? 3? ?3?
当 m=2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 m n?? n n?? n 2

-5-

33. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn ? 立的最小正整数 m;

m 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成 20 an an ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?
n

3 1 1 1 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ? 1 m 1 m ) < ( n? N? ) 成立的 m,必须且仅须满足 ≤ , 即 m≥10, 6n ? 1 20 2 20

因此, 要使 (1-

1 2

所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

-6-



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