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2017年高考数学大一轮复习精品课件4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式



第四章

三角函数(基本初等函数(Ⅱ))

? 4.2 同角三角函数的基 本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下两个 等式: ①____________________; ② . (2)同角三角函数的关系式的基本用途:①根据一个 角的某一三角函数值,求出该角的其他三角函数值;② 化简同角的三角函数式;③证明同角的三角恒等式.

2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容: x -α π ±α 2 π±α 3π ±α 2 2π±α sinx -sinα 函数 cosx cosα tanx -tanα ?cotα ※

?cotα ※

(2)诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象 π 限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指 的奇数倍和 2 偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、 余弦互变,正、余切互变;若是偶数倍,则函数名称 ________.“符号看象限”是把 α 当成________时,原三角 π ? 函数式中的角 如2+α? 所在 ________ 原三角函数值的符 ? ? 号.注意:把 α 当成锐角是指 α 不一定是锐角,如 sin(360 °+120°)=sin120°,sin(270°+120°)=-cos120°,此 时把 120°当成了锐角来处理.“原三角函数”是指等号左 边的函数.

(3)诱导公式的作用: 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函 数,因此常用于化简和求值,其一般步骤是: 任意负角的 三角函数
去负(化负角为正角)

― ― →

任意正角的 三角函数

――→ 脱去k· 360°

脱周

0°到360°的 化锐 ――→ (把角化为锐角 三角函数



锐角三角函数

3.sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 三者之间的关系 (sinα+cosα)2=________________; (sinα-cosα)2=________________; (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=________________; (sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=________________.

自查自纠: 1.(1)①sin2α+cos2α=1 ② 2.(1) x -α π ±α 2 π±α 3π ±α 2 2π±α 函数 cosx cosα ?sinα -cosα ±sinα cosα sinα =tanα cosα

sinx -sinα cosα ?sinα -cosα ±sinα

tanx -tanα ?cotα※ ±tanα ?cotα※ ±tanα

(2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3.1+sin2α 1-sin2α 2 2sin2α

17 ? ? - π =( cos 4 ? ? 2 A.- 2 2 B. 2

) C.-1 D.1

17π π 17 π 2 解:cos?- 4 ?=cos π=cos?4+4π?=cos = .故选 B. 4 4 2 ? ? ? ?

π π? 3 ? 辽宁模拟)已知 α∈ - , ,sinα=- ,则 (2015· 5 ? 2 2? cos(-α)的值为( 4 A.- 5 ) 4 B. 5 3 C. 5 3 D.- 5

π π? 3 4 ? 解:∵α∈ -2,2 ,sinα=- ,∴cos(-α)=cosα= . 5 5 ? ? 故选 B.

(2014·全国)设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°, 则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

解:∵a=sin33°,b=cos55°=sin35°,c=tan35°, ∴c>b>a.故选 C.

1 π π 已知 sinαcosα= ,且 <α< ,则 cosα-sinα 8 4 2 的值是________.

π π 3 解:∵ <α< ,∴sinα>cosα.∵1-2sinαcosα=(cosα-sinα)2= , 4 2 4 3 ∴cosα-sinα=- . 2 3 故填- . 2

5 2015 ·青海模拟 ( )已知△ABC 中, tanA= - , 12 则 cosA=________.
5 解:在△ABC 中,由 tanA=- <0 知∠A 为钝角,∴cosA<0, 12 2 2 sin A+cos A 1 169 12 12 1+tan2A= = 2 = ,得 cosA=- .故填- . 2 cos A cos A 144 13 13

类型一

利用同角三角函数的基本关系式进行 化简和求值

1 (1)已知 sinα= ,且 α 为第二象限角,求 tanα; 3 1 (2)已知 sinα= ,求 tanα; 3 (3)已知 sinα=m(m≠0,m≠±1),求 tanα.

1 解:(1)∵sinα= ,且 α 是第二象限角, 3 1?2 2 2 2 ? ∴cosα=- 1-sin α=- 1- 3 =- . 3 ? ? sinα 2 ∴tanα= =- . cosα 4 1 (2)∵sinα= ,∴α 是第一或第二象限角. 3 当 α 是第一象限角时, 2 1 2 2 2 ? ? cosα= 1-sin α= 1- 3 = , 3 ? ? sinα 2 ∴tanα= = ; cosα 4 2 当 α 是第二象限角时,tanα=- . 4

(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1), ∴cosα=± 1-sin2α=± 1-m2(当 α 为第一、四象限 角时取正号,当 α 为第二、三象限角时取负号). m ∴当 α 为第一、四象限角时,tanα= 2; 1-m m 当 α 为第二、三象限角时,tanα=- 2 . 1-m

点拨: 解题时要注意角的取值范围,分类讨论,正确判 断函数值的符号.

α 4 α (1)设 sin = ,且 α 是第二象限角,则 tan 的值为________. 2 5 2

α 解:∵α 是第二象限角,∴ 是第一或第三象限角. 2 α ①当 是第一象限角时, 2 4?2 3 α 2α ? 有 cos = 1-sin = 1- 5 = , 2 2 ? ? 5 α sin 2 4 α ∴tan = = ; 2 α 3 cos 2 α α 4 ②当 是第三象限角时,与 sin = 矛盾,舍去. 2 2 5 α 4 4 综上,tan = .故填 . 2 3 3

(2)已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=________.

?sinα-cosα= 2, 2 解法一: 由? 2 得 2cos α+ 2 2cosα+1=0, 2 ?sin α+cos α=1,
2 3π 即( 2cosα+1) =0,∴cosα=- .又 α∈(0,π),∴α= ,tanα 2 4 3π =tan =-1. 4 解法二:∵sinα-cosα= 2,∴(sinα-cosα)2=2,得 sin2α 3π 3π =-1.∵α∈(0,π),∴2α∈(0,2π),2α= ,∴α= ,tanα=- 2 4 1. 故填-1.
2

类型二

诱导公式的运用

π π 1 (1)(2015·贵阳模拟)已知 sin?3-α?= ,则 cos?6+α?=________. ? ? 2 ? ?

π π π π π π 解:∵?3-α?+?6+α?= ,∴cos?6+α?=cos?2-?3-α??= ?? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? π 1 1 sin?3-α?= .故填 . 2 ? ? 2

( ) ( ) (2)化简 . 9π cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 2 +α)
π 11π + α sin(2π-α)cos(π+α)cos 2 cos 2 -α

解: 原式= =-tanα.

(-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα) (-cosα)·sinα·sinα·cosα

点拨: ①三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统一后再 用同角三角函数关系式,这可以避免交错使用公式时导致 的混乱.②在运用公式时正确判断符号至关重要.③三角 函数的化简、求值是三角函数中的基本问题,也是高考常 考的问题,要予以重视.

(1)化简 sin2(π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1.

解:原式=sin2α-(-cosα)· cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.

π ? 5 3 ? ? (2)(2015·广西模拟)已知 tan 6-α = , 则 tan 6π+α? ? ? 3 ? ? =________.

π ? ?5π 5 5 ? ? ? ? ? ? 解: ∵ 6-α + 6 +α =π, ∴tan 6π+α = -tan π- 6π+α??= ? ? ? ? ? ? ?? ? ? π 3 3 ? ? - α -tan 6 =- .故填 - . 3 3 ? ?

类型三

关于 sinα,cosα 的齐次式问题

tanα 已知 =-1,求下列各式的值. tanα-1 sinα-3cosα (1) ; (2)sin2α+sinαcosα+2. sinα+cosα
1 解:由已知得 tanα= . 2 sinα-3cosα tanα-3 5 (1) = =- . 3 sinα+cosα tanα+1 sin2α+sinαcosα 2 (2)sin α+sinαcosα+2= +2 sin2α+cos2α 1?2 1 ? tan2α+tanα ?2? +2 13 = +2= 2 +2= . 2 5 tan α+1 ?1? +1 ? 2?

点拨: (1)形如 asinα+bcosα 和 asin2α+bsinαcosα+ccos2α 的式子分 别称为关于 sinα,cosα 的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们 的三角变换通常转化为正切 (分子分母同除以 cosα 或 cos2α)求 解.如果分母为 1,可考虑将 1 写成 sin2α+cos2α.(2)已知 tanα=m 的条件下,求解关于 sinα,cosα 的齐次式问题,必须注意以下几 点:①一定是关于 sinα,cosα 的齐次式(或能化为齐次式)的三角 函数式.②因为 cosα≠0,所以可以用 cosnα(n∈N*)除之,这样可 以将被求式化为关于 tanα 的表示式,可整体代入 tanα=m 的值, 从而完成被求式的求值运算.③注意 1=sin2α+cos2α 的运用.

cos2x 的最小值是( cosxsinx-sin2x 1 1 A. B. C.2 4 2

π ( 2015·海南模拟 ) 当 0<x< 时 , 函 数 f(x) = 4 ) D.4

π cos2x 1 解:当 0<x< 时,0<tanx<1,f(x)= ,设 2 = 4 cosxsinx-sin x tanx-tan2x 1 1 1 t=tanx, 则 0<t<1, y= = ≥ 4 , 当且仅当 t = 1 - t , 即 t = 时 2 t-t2 t(1-t) 等号成立.故选 D.

1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名 称是否要改变以及正负号的选取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数 值, 这类问题用同角三角函数的基本关系式求解, 一般分为三种情况: (1) 一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在 的位置都是已知的,此类情况只有一组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或 终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函 数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求 解. (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字 母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解.

3.计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切, 如涉及 sinα,cosα 的齐次分式问题,常采用分子分母同除以 cosnα(n∈N*),这样可以将被求式化为关于 tanα 的式子. ※(2)巧用“1”进行变形,如 1=sin2α+cos2α=tanαcotα= tan45°=sec2α-tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取. (4)熟悉 sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα 三者之间的内 在联系,利用(sinα±cosα)2=1± 2sinαcosα 进行和积转换,可 知一求二.



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