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分式的基本性质



问题1、什么是分式?

果除式B中含有字母,那么称

A 整式A除以整式B,可以表示成 B 的形式。如 A
B
为分式,

其中A称为分式的分子,B为分式的分母。 问题2、在分式的概念中我们尤其要注意什么? 对于任意一个分式,分母都不能为零。 问题3、当x取什么值时,下列分式有意义:
2

3? x x ? 3 x ? 4 (1) ;(2) 2 ;(3) 。 x?4 ( x ? 2)( x ? 3) x ?1

小测
1、(1)在下面四个有理式中,分式为( )
2x ? 5 1 x?8 1 x A、 B、 C、 D、- + ?7 4 5 3x 8 ⑵ 当x=-1时,下列分式没有意义的是( ) x ?1 x 2x x ?1 A、 B、 C、 D、 x x ?1 x ?1 x

x?2 2、⑴ 当x 时,分式 有意义。 2x ?1 x?2 时,分式 的值为零。 ⑵ 当x 2x ?1 3、已知,当x=5时,分式 2 x ? k 的值等于零, 3x ? 2 则k 。

下列哪些分数的值相等?并说明理由.

1 2 3 2 8 6 , , , , , . 2 4 6 3 12 9
你能口述分数的基本性质吗?
分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不 等于零的数,分数的值不变. 分式也有类似的性质吗 ?

一列匀速行驶的火车,如果t小时行驶 s千米,那么火车 的速度为 km/h。 ? 如果2t小时行驶2 s 千米,那么火车的速度为 km/h。 ? 如果3t小时行驶3 s 千米,那么火车的速度为 km/h。 ? 如果nt小时行驶 ns 千米,那么火车的速度为 km/h。
?

s t
?

2s 2t

3s 3t

ns nt

这些分式相等吗?为什么?

分式的分子与分母都乘以(或除以)同 一个不等于零的整式,分式的值不变. 用式子表示是:
A B


A? M B?M

A B



A?M B?M

(其中M是不等于零的整式)

为什么所乘的整式不能为零呢?

例1 下列等式的右边是怎样从左边得 到的?
a ac (1) ? (c ? 0) 2b 2bc

x x (2) ? xy y

3

2

解:(1)因为c≠0, (2)因为
a a?c ac 所以 ? ? 2b 2b ? c 2bc

x≠0,

x3 x 3 ? x x 2 所以 ? ? xy xy ? x y

分式性质应用2
填空:

a?b (    ) 2a ? b (    ) (1) ? , ? 2 2 2 ab a b a a b

x (    ) x ? xy x ? y (2) 2 ? , 2 ? x (     ) x ? 2x x ? 2
2

观察

×

a
×

a ? b ( a 2 ?   ) ab (1) ? 2 ab a b

分母: ab

a

2 ab

2 a ? b (a 2 ?   ) 2a ? b (2ab ?    ) b ab (1) ? , ? 2 2 2 ab a b a a b

÷x
2

×

b

x (    x ? xy x ? y 1) (2) 2 ? , 2 ? x (     x ) x ? 2x x ? 2 ÷x

填空:
b ab (1) ? 2 a ?a ?
(2) 1 2 2 a ?b 2 2 ? ? a ? 2 b 2 ? a?b 2a ? 2b

(1)

m2 n ? 2n2 m m ? 2n (_______) ? mn m2 n2

x2 ? 9 (2) x ? 3 ? ( x ? ___) 3 x?3 (_____)

分式性质应用3

不改变分式的值,使下列分子与分 母都不含“-”号 ?2x ?3a 10m 2x 3a 10m , , ? , ,? 5y ?7b ?3n 5y 7b 3n
有什么发现? 变号的规则是怎样 的?

?a a ? ? b b

a ?a a ?a ?? ? b ?b b b a a a a ?? ? ? b ?b ?b b

分式的分子、分母和分式本身的 符号,同时改变其中任意两个,分式 的值不变。

例 不改变分式的值,使下列分式 的分子和分母都不含“—”号:
?5b (1) ?6 a
(2) ?x 3y
(3) 2m ?n
?5b ?5b ? (?1) 5b 解 (1) ? ? ?6a ?6a ? (?1) 6a

?x x (2) ? (? x) ? 3 y ? ? 3y 3y

2m 2m (3) ? 2m ? (?n) ? ? ?n n

练习:不改变分式的值,使下列分式的
4y ? 2b , (1) , ( 2) ? 5x ? 3a
分子与分母都不含“-”号
2

? 2b 解: (1) ? 3a 2b ? 3a

?n 4y ( 3) ? ( 2) 2m ? 5x 2 n 4y ?? ? 5x 2m

?n ( 3) ? 2m
2

? 不改变分式的值,使下列分子与分母都

不含“-”号

?2 x , 5y

?3a , ?7b

10m ?3n

2x ? , 5y

3a , 7b

10m ? 3n

分式性质应用4
不改变分式的值,把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。 0.01x ? 0.5 ( 1) 0.3x ? 0.04
(0.01x ? 0.5) ? 100 解:原式 ? (0.3 x ? 0.04) ? 100

x ? 50 ? 30 x ? 4

3 2a ? b 2 ( 2) 2 a?b 3 3

( 2a ? b ) ? 6 12a ? 9b 2 ? 解:原式 ? 2 4a ? 6b ( a ? b) ? 6 3

随堂练习 不改变分式的值,把下列各式的分子与 分母中各项的系数都化为整数。
(1) 1 2 x? y 2 3 1 2 x? y 2 3

(2)

0.3a ? 0.5b ? 0.3a ? 0.5b ? ?10 3a ? 5b (2) ? ? 0.2a ? b ? 0.2a ? b ? ?10 2a ?10b

2 ? ?1 1 2 x ? y ? x ? y ??6 3x ? 4 y 2 3 ? ? 2 3 解 (1) ? ? 1 2 1 2 ? 3x ? 4 y x? y ? x ? y ??6 ? 2 3 3 ? ?2

0.3a ? 0.5b 0.2a ? b

.

(3)

1 a ? 0.5 3 1 2? a 4

(4)

1 x ? 0 .2 y 4 1 .5 x ? y

化简下列各数:

6 15 8 6 9 , , , , . 9 12 16 8 15

分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值,这种变形叫做分 式的约分。 1.约分的依据是: 分式的基本性质 2.约分的基本方法是: 先把分式的分子、分母分解因式,约去 公因式. 整式或最简分式 3.约分的结果是:

约分的步骤
(1)约去系数的最大公约数
(2)约去分子分母的公因式。

分式约分的依据是什么? 分式的基本性质:
A A? M A A ? M ? , ? . B B?M B B ? M (其中M 是不等于零的整式)

约分
x ?1 (1) 2 x ? 2x ? 1 2 m ? 3m ( 2) 2 9?m
2

注意:

当分子分母是多项 式的时候,先进行 分解因式,再约分

(3)

x ? 7x 2 49 ? x
2

a 2bc ab ? ac ? ac ( 1 ) ? ab ab ?1

化简下列分式(约分)

把分式分子、分母 的公因式约去,这种 变形叫分式的约分.

4ac 8a 2b2 ? 4ac ? 32a 3b 2 c ?? ?? 2 2 (2) 2 3 3bd 8a b ? 3bd 24a b d

? 15?a ? b? (3) ? 25?a ? b?
2

?5 ? a ? b ? ? 3(a ? b) 3( a ? b) ? ? ?5 ? a ? b ? ? 5 5

( 1)

? 3a 3 a4

( 2)

12a ? y ? x ? 27a?x ? y ?
3

2

( 3)

x 2 y ? xy 2 2 xy
m
2

( 4)

? 2m ? 1 1? m

分式性质应用5

m ?1 (2) 2 m ? 2m ? 1 xy ? xy ? xy (1)解:原式= xy

化简下列分式:

x y (1) xy

2

2

2

(m ? 1)(m ? 1) m ? 1 (2)解:原式= (m ? 1)2 ? m ? 1

练习:
化简下列分式 5xy (1) 2 20x y 5 xy ? 1 ? 5 xy ? 4 x 1 ? 4x
a(a ? b) (2) b(a ? b) a ? b

5xy 在化简分式 时,小颖和小明的做法 2 出现了分歧: 20 x y
5xy 5x 小颖: ? 2 2 20x y 20x
对于分数而 言,彻底约 分后的分数 叫什么?

5xy 5xy 1 ? 小明: 2 ? 20x y 4x ? 5xy 4x

你对他们俩的解法有何看法?说说看! ?一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. ?彻底约分后的分式叫最简分式.

1﹑分式的基本性质 2﹑分式基本性质的应用



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