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2014届同心圆梦+湖南+数学+预测试题


2014 届同心圆梦高考预测试题
1. 已知方程 2x ? 2 ? 2x ? 4 ? kx ? 4k ?1的解集非空,则 k 的取值范围为 _____. 1. 【答案】 [ , ?? )

7 5

( ??, ?4] 【解析】作函数 y ? 2x ? 2 ? 2x ? 4 的图象可知,

? 4 x ? 2, ( x ? 1) ? y ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 4 ? ? 6, (?2 ? x ? 1) , 作出函数 g ( x) ? kx ? 4k ? 1 ? k ( x ? 4) ? 1 的 ??2 ? 4 x, ( x ? ?2) ?
图像可知所以 k AB ?

7 6 ?1 7 7 ? ,所以 k ? 或 k ? ?4 ,所以 [ , ?? ) ( ??, ?4] 5 1 ? (?4) 5 5

y

B(1,6) O A(-4,-1) x

2. 已知定点 M (1, 0) 和定直线 x ? ?1 上两个动点 E , F ,满足 ME ? MF ,动点 P 满足 , (其中 O 为坐标原点) EP OM, FO OP (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

H ? A G ( 2) 在轨迹 C 上有一点 A, 其纵坐标为 2, 过 A 作曲线 C 的两条弦 AH , AG , 当A
时,证明直线 HG 过定点,并求出定点的坐标; ( 3) 过点 P '(?1, 0) 作倾斜角分为

? 5? 与 的两条直线交轨迹 C 于 A ', B ' 和 C ', D ' , 求经 6 6

过四点 A ', B ', C ', D ' 的圆 2.【解析】 (1)设 P ( x, y ) , E(?1, yE ), F (?1, yF )( yE , yF 均不为0) ,由 EP OM 得 yE =y , 即 E (?1, y ) ; 由 F O

O得 P yF ? ?

y y , 即 F (? 1 ?, x x

由 ) ME ? MF 得

y ME ? MF ? (?2, y ) ? (?2, ? ) ? 0 ,化简可 y 2 ? 4 x( x ? 0) x
( 2 )设直线 HG 的方程为 x ? my ? n ,点 H, G 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,由

? x ? my ? n , 得 ? 2 ? y ? 4x

y2 ? 4 m ? y4


? n, 0 由
AH ? AG


??0






m2 ? n ? 0



y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n

? AH ? AG ? 0
x1 ? y12 y2 , x2 ? 2 4 4



?( x1 ?1)( x2 ?1) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 ?( y1 ? 2)( y2 ? 2)[( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16] ? 0







?( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0



? n ? ?2m ? 1 或 n ? 2m ? 5 , ? ? 0 恒成立, ? n ? 2m ? 5 , ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16 ? 0 ,
? 直线 HG 的方程为 x ? 5 ? m( y ? 2) ,? 直线 HG 过定点 (5, ?2) ;
(3)直线 A' B ' 的方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4x 整理可得, x2 ? 10 x ? 1 ? 0 ,设 3
, 则

A '( x3, y3), B'( x 4 , y4 )

A' B ?

x3 ? x

2

? y ?y

? '

4 x ?x 3

4

?

3

xx

2

? 8 2(

.

1

又 3

y3 ? y4 ?

3 2 3 ( x3 ? x4 ) ? ? 4 3 ,即 A' B ' 的中点为 (5, 2 3) ,则线段 A' B ' 的中垂 3 3

线的方程为 y ? 2 3 ? ? 3( x ? 5) ,令 y ? 0 得到 x ? 7 ,即所求的圆的圆心为 (7, 0) ,

7?
圆 心 到 直 线 A' B ' 的 距 离 为 d ?

3 3 ?0? 3 3 3 ( )2 ? 1 3

?4 , 故 所 求圆 的 半径 为

R2 ? (4 2)2 ? 42 ? 48 ,故所求的圆的方程为 ( x ? 7)2 ? y 2 ? 48 .

1 (理)已知向量 a, b 互相垂直的单位向量,且 | c |? 26, c a ? 6, c b ? 8 ,则对任意的实数

t1 , t2 | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值为
A.10 1. 【答案】C【解析】
2 2

( C. 24 D. 26

)

B.14

c ? t1 a ? t2 b ? c ? t12 ? t22 ? 2t1 ac ? 2t2 bc ? t12 ? t22 ? 12t1 ? 16t2 ? 676 ? (t1 ? 6)2 ? (t2 ? 8)2 ? 576 ? 576 故
c ? t1 a ? t2 b ? 24 故选 C.
2(理). 已知四面体 P ? ABC 中, PA=4,AC= 2 7 ,PB= BC= 2 3 , PA ? 平面 PBC, 则四面 体 P ? ABC 的内切球半径与外接球半径的比
A





C P B

A.

2 16

B.

3 2 8

C.

3 2 16

D.

2 8

2.【答案】 C 【解析】 PA ? 平面 PBC, AC= 2 7 , PA=4,? PC=2 3 ,??PBC 为等边三角形, 设其外接圆半径为 R,四面体 P ? ABC 内切球半径为 r,则 2R=

2 3 ,? 2R=4,? 外 sin 60
4? 2 3 ?4 3 2












2 2



S?PAB ? S?PAC ?

1 ? 2 3 ? 2 3 ? sin 60 ? 3 3 , 过 A 点 作 AD 垂 直 于 BC 于 D , 2 1 ? AD ? (2 7) 2 ? ( 3) 2 ? 5 ? S?ABC ? ? 2 3 ? 5 ? 5 3 , , 2 1 1 VP ? ABC ? ? S?PBC ? PA ? ? 3 3 ? 4 ? 4 3 3 3 1 1 3 VP ? ABC ? ? ( S?PBC ? S?ABC ? S ?PAC ? S ?PAB ) ? r ? ?16 3 ? r ? r ? ? 内切球半径与 3 3 4 S?PBC ?

外接球半径的比为

3 2 ,故选 C 16
A

C P B D

3. 已知四面体 P ? ABC 中, PA=4, AC= 2 7 ,PB= BC= 2 3 , PA ? 平面 PBC, 则四面体

P ? ABC 外接球体积为
A.





64 2 ? 3

B.

16 2 ? 3

C.

256 2 ? 3

D.

125 ? 6

3.【答案】 C 【解析】 PA ? 平面 PBC, AC= 2 7 , PA=4,? PC=2 3 ,??PBC 为等边三角形,

设其外接球半径为 R, ,则 2R=

2 3 ,? 2R=4,? 外接球半径为 2 2 ,其外接球的体 sin 60

积为 V ?

4 64 2 ? (2 2)3 ? ? 3 3

4.( 理 ) 数 列 { bn } 满 足 bn = ?

?n, n ? 2k ? 1 (k ? N * ) , 则 b1 ? b2 ? b3 ? ?bk , n ? 2k
.

.设

f (n) = b1 ? b2 ?

b2n ,则 f (2014) ? f (2013) =

4. 【 答案 】 5 , 2 4026 , 【 解 析】 当 k=1 时 ,n=1, b1 ? 1 .n=2, b2 ? b1 ? 1 , 当 n=3 时, k=2,

b3 ? 3 , b1 ? b2 ? b3 ? 5 . 由题意,f (2014) ? f (2013) = b1 ? b2 ? b3 ? ... ? b22014 ? f (2013)
= 1 ? b1 ? 3 ? b2 ?

? 22014 ?1? b22013 ? f (2013) = 1 ? 3 ? 5 ?

? 22014 ? 1

(1 ? 2 2014 ? 1)2 2013 = = 2 4026 . 2

a1 ? 1 ,an?1 (an ? 2) ? an , 1. 已知数列满足: (n ? N ) , 若 bn ?1 ? (n ? p )(
*

1 b1 ? ? p . ? 1) , an

(1) an ?

; .

(2)若数列 {bn } 是单调递增数列,则实数 p 的取值范围为 1. 【答案】 ( 1) a n ?

1 1 2 ; (2) (??, 2) 【解析】由 an?1 (an ? 2) ? an 得 ? ?1 , 2 ?1 an ?1 an
n



1 1 1 1 1 .于是 ? 1 ? 2 n , 从 而 an ? n ? 1 ? 2( ? 1) , 又 ? 1 ? 2 ? 0 , 所 以 2 ?1 an an?1 an a1

bn?1 ? 2n (n? p) , 则 bn ? 2n?1 (n ?1 ? p)(n ? N * ) , 由 bn ? 2n?1 (n ?1 ? p)(n ? N * ) 得

2n (n ? p) ? 2n?1 (n ?1 ? p) ,则 p ? n ? 1 恒成立, n ? 1 的最小值为 2,则 p 的取值范围
是 (??, 2) .

2. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别是 F1 , F2 ,点 P n ?12 , , 3 L ? 在其右支上,且 n ? xn , yn ?? 4 5


满足 | P 1 2 ?F 1F 2 ,则 x2014 的值是 n?1F 2 |?| P nF 1 | , PF

2 2.【答案】5398【解析】 由于 a2 ? 4, b2 ? 5 , 所以 c ? 9 ,c ? 3 , 从而 F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? ,

2 2 2 从 而 x1 ? 3 , 又 | P | Pn |F , | ( xn?1 ? 3)2 ? yn n ?1 F 2? 1 即 ?1 ? ( xn ? 3) ? yn , 由 于

2 2 ? xn ? ? xn ? 9 2 ?1 y ? 5? ? 1? , yn ? 5 ? ? 1? ,从而 ? xn ?1 ? xn ?? xn ?1 ? xn ? ? 6 ? xn ?1 ? xn ? ,由 4 ? 4 ? ? 4 ? 8 8 题意知 xn ? 0 ,于是 xn ?1 ? xn ? ,故 x2014 ? x1 ? (2014 ? 1) ? ? 5398 . 3 3 sin x 3. 已知 f ? x ? ? x . e 2 n ?1

(Ⅰ)求曲线 f ? x ? 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)设函数 F ? x ? ? e f ? x ? ? e cos x , x ? ? ?
2x x

? 2011? 2013? ? ? ? ?1 ? . 过点 M ? , ,0? ? 2 2 ? ? ? 2 ?

作函数 F ? x ? 图像的所有切线,令各切点的横坐标构成数列 ?xn ? ,求数列 ?xn ? 的所有项 之和 S 的值. 3.【解析】 (Ⅰ) f
'

? x? ?

cos x ? e x ? sin x ? e x cos x ? sin x ' ? , f ? 0? ? 1,于是曲线 f ? x ? x 2 x (e ) e

?? ? 2 cos ? x ? ? 4? ? ' ' 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ) f ? x ? ? ,当 f ? x ? ? 0 ,即 x e
? ? ? ?? ? 2 cos ? x ? ? ? 0 , 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ,从而 2 4 2 4? ?
2 k? ? 2 k? ? 3? ? ?? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? ;当 f ' ? x ? ? 0 ,即 2 cos ? x ? ? ? 0 , 4 4 4? ?

?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

3? ? 5? ,从而 2k? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? .从而 f ? x ? 的单 2 4 4

调递增区间为 2k? ? ?
2x

? ?

3? ?? ? 5? ? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? , 单调递减区间为 ?2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? . 4 4? 4 4? ?
x x x

(Ⅲ) F ? x ? ? e f ? x ? ? e cos x ? e sin x ? e cos x ,

F ' ? x ? ? ex cos x ? ex sin x ? ex sin x ? ex cos x ? 2ex cos x ,设切点

? x , e ? sin x
0 x0

0

? cos x0 ? ,则斜率为 2e x0 cos x0 ,于是切线方程为

?

? ?1 ? y ? 2ex0 cos x0 ? ? x ? x0 ? ? ex0 ?sin x0 ? cos x0 ? ,将 M ? , 0 ? 代入得 ? ? 2 ?
? ? ?1 ? 2e x0 cos x0 ? ? ? x0 ? ? e x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? 0 ,即 sin x0 ? ? 2x0 ? ? ? cos x0 ,也就 ? 2 ?
是 tan x0 ? 2 ? x0 ?

? ?

??

?? ?? ? ? 令 y1 ? tan x, y2 ? 2 ? x ? ? , 前一函数图象关于点 ? , 0 ? 对称, ?, 2? 2? ?2 ? ?
? 对称成对出现,在 2

所有切线的切点横坐标构成的数列 ?xn ? 的项也关于

? 2011? 2013? ? 内共构成 1006 对,每对的和为? ,因此数列 ?xn ? 的所有项的和 ? , ? 2 2 ? ? ?
S ? 1006? .


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