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1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)




50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

中国在近七届奥运 会上获得的金牌数

51

28
15

32

情 景 引 入

16 16

5
23 24 25 26 27 28 29<

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德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 … 记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 (百分数)
100 80 60

40
20 O

2

3

4

5

6

天数

学习新课

观察下列函数的图象,回答当自变量 x 的值增大时,函数值 f ( x) 是如何变化的?
(1) f ( x ) ? x ?1

y

(2) f ( x) ? x y
4

2

o

1

x
-2 -1

1
0

1 2

x

(1) f ( x ) ? x ?1 y

(2) f ( x) ? x 2 y
4

o

x
-2 -1

1
O

x
1 2

(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小 当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大

函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数 函数在(0,+∞)上是增函数

函数

2 f(x)=x :

y

f (x2)
f (x1)
0

在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22

x1 x2

x

任意 x1 ? x2 ,都有

x1 ? x2

2

2

任意 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.

定义
y
y=f(x)

一般地,设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间 某个区间D上的 任意 任意两个自变量的值 x 1 、 x2 , 当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间 某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、 x2 , 当 任意 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.

f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1

f(x2)

说明:
1、x , x 的三大特征:① 属于同一个区间;② 任 意性; ③ 有大小:通常规定 x ? x
1 2 1 2

2、如果函数 y ? f ( x) 在区间D上是增函数或减 函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间上具 有(严格的)单调性,区间D叫做函数 f ( x) 的 单调区间。

1 反比例函数 y ? : x
减 函数 在(-∞,0)上是____ 减 函数 在(0,+∞)上是____
-2 -1

y
1
O

f ( x) ? 1 x
-1 1 2 x

1 问:能否说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x

y

1 函数 y ? : x
减 函数 在(-∞,0)上是____
减 函数 在(0,+∞)上是____

f ( x1 )
f ( x2 )
O

1 f ( x) ? x
x

x1 x2

在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2

当x1< x2时,都有f(x1) > f(x2)

y

取自变量-1< 1,

-1

1
O

1 f ( x) ? x
-1 1

而 f(-1) < f(1)

x

1 ∴不能说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x 因为 x1、x2 不具有任意性.

例题讲解
例1、画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1)y=-x2+2;
(2)y=
1 x 1 x

(x≠0);

(3)y=

+1 (x≠0) .

解:(1)单调增区间为(-∞,0],单调减区间为 (0,+∞).

(2)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
(3)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).

例2、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y = f(x) 的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数?
3 2
-3 -2 -1 -5 -4 -1 -2 y

y ? f ( x)
1 2 3 4 5

1
O

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1) ,[1,3), [3,5].
其中y=f(x)在区间[-2,1),[3,5]上是增函数; 在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数. 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.

例3、利用定义: 证明函数 f ( x) ??2 x ?3 在R上是减函数.
证明:设 则 f ( x1)? f ( x2 ) ?(?2x1 ?3)?(?2x2 ?3)

x1 , x 2 是R上任意两个值,且 x1 ? x 2 ,
设值 判断差符号

? ?2( x1 ? x2 ) ∵ x1 ? x 2 , ∴ x1 ? x2 ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).

作差变形

?2( x1 ? x2 ) ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
∴函数 f ( x) ??2 x ?3在R上是减函数.

下结论


证明函数单调性的步骤:
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.下结论:由定义得出函数的单调性.



上是单调增函数.
证明:任取

1 1、求证:函数 f ( x) ? ? ? 1在区间(-∞,0) x
x ? x ?0
1 2
2

课堂训练

,则
1 2

1 1 1 1 x ?x f (x ) ? f (x ) ? (- -1 ) ? (? ? 1) ? ? ? xx x x x x ? x ? x ? 0 ? x x ? 0, x ? x ? 0 x ?x ? ? 0 即 f (x ) ? f (x ) ? 0 xx
1 1 2 2 1 1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

? f (x ) ? f (x )
1 2

故 f ( x) 在区间 (??,0] 上单调递增。

课堂训练
2、证明:函数f(x)= -2x2+3,在区间(-∞,0]单调递增

证明:任取
1

x ? x ?0
1 2

,则
2 2 1 2

f ( x ) ? f ( x ) ? ?2 x ? 3 ? (?2 x ? 3)
2

? 2 x ? 2 x ? 2( x ? x )( x ? x )
2 2 2 1 2 1 2 1

? x ? x ? 0 ? x ? x ? 0,x ? x ? 0
1 2 2 1 2 1

? 2( x ? x )( x ? x ) ? 0 即 f ( x ) ? f ( x ) ? 0
2 1 2 1 1 2

? f (x ) ? f (x )
1 2

故 f ( x) 在区间 (??,0] 上单调递增。

课堂小结
1.增函数、减函数的定义:

定义
y
y=f(x)

一般地,设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.

f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1

f(x2)

课堂小结

1. 增函数、减函数的定义;
2.图象法判断函数的单调性:
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降

3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号
下结论

布置作业

作业:课本39页A组第1、2、3题



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