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《选修2-2》试卷化作业(七)



高二、一部数学试卷化作业(七) ——《导数及其应用》单元检测卷
一、选择题 1.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? a?x ? b?x 2 (a、b 为常数) ,则( (A) f ' ( x) ? a (B) f ' ( x) ? b ) (C) f ' ( x0 ) ? a (D)

f ' ( x0 ) ? b ) )

2.函数 y=f(x)的图像在点(5,f(5))处的切线方程是 x+y-8=0,则 f (5) ? f ' (5) 等于( (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

3.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ? 1 上任意一点,P 点处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围为( (A) [0,



?

2 ) ? [ ? ,? ) 2 3

(B) [0,

?

5 ) ? [ ? ,? ) 2 6

(C) [ ? , ? )

2 3

(D) (

? 5

, ?] 2 6

4.函数 y ?

6 6 (D) ? 3 (3x ? 1) (3x ? 1) 2 5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)= -1,其中导函数 f ' ( x) 满足 f ' ( x) ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的
(C) ? 是( )

1 的导数是( ) (3x ? 1) 2 6 6 (A) (B) 3 (3 x ? 1) (3x ? 1) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 )? )? (B) f ( ) ? (C) f ( (D) f ( k ?1 k ?1 k k ?1 k ?1 k ?1 k k 3 2 6.函数 f ( x) ? x - ax - x ? 9 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( )
(A) f ( ) ? (A) a ? 1 (B) a ? 1 ) (B) x=1 为 f(x)的极小值点 (D) x= -1 为 f(x)的极小值点 ) (C) a ? 1 (D) 0 ? a ? 1

7.设函数 f ( x) ? xe x ,则( (A) x=1 为 f(x)的极大值点 (C) x= -1 为 f(x)的极大值点

8.设 x=t 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|最小时 t 的值为( (A) 1 (B)

1 2

(C)

5 2

(D)

2 2

9.用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长与宽之比为 2:1,则该长方体的最大体积为 ( ) (A) 2 m3 10.将和式的极限 lim (A) (B) 3 m3 (C) 4 m3 (D) 5 m3

?

1 dx 0 x
1

1p ? 2 p ? 3 p ? ? ? n p ( p ? 0 )表示成定积分为( ) n ??? n p ?1 1 1 1 x 1 p p (B) ? x p dx (C) ? ( ) dx (D) ? ( ) dx 0 x 0 n 0

11.若函数 f(x),g(x)满足 组 函 数 : ① f ( x ) ? sin

?

1

-1

f ( x) g ( x)dx ? 0 ,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三

1 1 x , g ( x) ? cos x ; ② f ( x) ? e x , g ( x) ? ln(x ? 3) ; ③ f ( x) ? x 2 , 2 2
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g ( x) ? lg
(A) 0

2? x .其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( 2? x
(B) 1 (C) 2 (D) 3



12.若函数 f(x)在 R 上可导,且 f ( x) ? f ' ( x) ,则当 a ? b 时下列不等式成立的是( (A) e a f (a) ? e b f (b) 二、填空题 13. (B) e b f (a) ? e a f (b) (C) e a f (a) ? e b f (b)



(D) e b f (a) ? e a f (b)

?(
0

1

1 ? (1 ? x) 2 ? x)dx ?
x2 ? a 在 x=1 处取得极值,则 a 的值为 x ?1
*

14.若函数 f ( x) ?

15.设曲线 y ? x n?1 ( n ? N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn , 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 16.已知函数 f ( x ) ? x ? e ?
2 x

1 2 (x<0)与 g ( x) ? x ? ln(x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 2

的取值范围为 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? (?a 2 ? a ? 2) x ? 1 . 3 2

(1)当 a=2 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在区间(2,3)上至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

2 18.在曲线 y ? x ( x ? 0 )上某一点 A 处作曲线的切线使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为

1 , 12

试求切点 A 的坐标以及过切点 A 的切线方程.

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19.设函数 f ( x ) ? ln x ?

m (m?R ) x
x 零点的个数. 3

(1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求函数的单调区间与极值; (2)讨论函数 g ( x) ? f ' ( x) ?

20.已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ? M,且在 M 处的切线相同. (1)用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (2)证明: f ( x) ? g ( x) .

1 2 x ? 2ax (a>0) , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b .设两曲线有公共点 2

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21.我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用 20 年,每厘米厚 的隔热层建造成本是 6 万元,天宫一号每年的能源消耗费用 C(万元)与隔热层厚度 x(厘米)满足关系式:

C ( x) ?

k ( 0 ? x ? 10 ) ,若无隔热层,则每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 3x ? 5

使用 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 C(x)和 f(x)的表达式; (2)当隔热层修建多少厘米厚时,总费用 f(x)最小?

22.已知函数 f ( x) ? ln

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x ? (0,1)时, f ( x) ? 2( x ? (3)设实数 k 使得 f ( x) ? k ( x ?

1? x . 1? x

x3 ); 3

x3 ) 对当 x ? (0,1)恒成立,求 k 的最大值. 3

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