9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ) 数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1? z (1) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 1】设复数 z 满足 ? i ,则( ) 1? z (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 【答案】A 1? z ?1 ? i ? ?1 ? i ??1 ? i ? 【解析】由 ? i得 z ? ? ? i ,故 z ? 1 ,故选 A. 1? i 1? z ?1 ? i ??1 ? i ? (2) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 2】 sin 20? cos10? ? cos160? sin10? ? ( (A) ? 【答案】D
1 ,故选 D. 2 (3) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 3】设命题 P: ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ?P 为( ) (A) ?n ? N , n2 ? 2n (B) ?n ? N , n2 ? 2n (C) ?n ? N , n2 ? 2n (D) ?n ? N , n2 ? 2n 【答案】C 【解析】 ?P : ?n ? N , n2 ? 2n ,故选 C. (4) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 4】投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投 篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过测试的概率为( ) (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C32 0.62 ? 0.4 ? 0.63 ? 0.648 ,故选 A.

) (D) ?
1 2

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

【解析】原式 ? sin 20?cos10 ? ? cos20 ?sin10 ? ?sin30 ? ?

(5) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 5】已知 M ? x0 , y0 ? 是双曲线 C: 点,若 MF1 ?MF2<0 ,则 y0 的取值范围是(
???? ? ?????

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 、 F2 是 C 上的两个焦 2
? 2 3 2 3? (D) ? ?? 3 , 3 ? ? ? ?



? 3 3? ? (A) ? ? 3 , 3 ? ? ? ? 【答案】A

? 3 3? ? (B) ? ? 6 , 6 ? ? ? ?

? 2 2 2 2? (C) ? ?? 3 , 3 ? ? ? ?

???? ? ????? x0 2 ? y0 2 ? 1 ,所以 MF1 ? MF2 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? 3 ? x0 , ? y0 2 3 3 2 2 2 ? y0 ? ,故选 A. ? x0 ? y0 ? 3 ? 3 y0 ? 1 ? 0 ,解得 ? 3 3 (6) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1. 62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( ) (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 【答案】B

【解析】由题知 F1 ? 3, 0 , F2

?

?

?

3, 0 且

?

?

? ?

?

1 16 1 1 320 ? 16 ? 【解析】设圆锥底面半径为 r ,则 ? 2 ? 3r ? 8 ,得 r ? .所以米堆的体积为 ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ,故堆 4 3 3 9 4 3 ? ?

2

1

320 ? 1.62 ? 22 ,故选 B. 9 ??? ? ??? ? (7) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 7】设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( ) ???? ? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? 1 ??? (A) AD ? ? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 3 3 3 3 【答案】A ???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 4 ???? 1 ??? 【解析】由题知 AD ? AC ? CD ? AC ? BC ? AC ? AC ? AB ? ? AB ? AC ,故选 A. 3 3 3 3 (8) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 8】函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像 如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为( ) 1 3 1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z (B) (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z (D) (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4 4 4 【答案】D ? ?1 ? ?? ? ? ?? ?4 ? 2 ,取得 【解析】由五点作图知 ? ? ? ? ,所以 f ? x ? ? cos ? ? x ? ? , 4? ? ? 5 ? ? ? ? 3? ? ?4 2
放的米约为

?

?

令 2k? ? ? x ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ? ? x ? 2k ? , k ? Z ,故单调减区

1 4

3 4

1 3? 间为 ? ? 2k ? , 2k ? ? , k ? Z ,故选 D. 4 4? ?

(9) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 9】执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 , 则输出的 n ? ( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】C 【解析】执行第 1 次, t ? 0.01, S ? 1, n ? 0, m ? 0.5, S ? S ? m ? 0.5, m ? m 2 ? 0.25, n ? 1, S ? 0.5 ? t ? 0.01 ,是,循环; 执行第 2 次, S ? S ? m ? 0.25, m ? m 2 ? 0.125, n ? 2, S ? 0.25 ? t ? 0.01 ,是,循环; 执行第 3 次, S ? S ? m ? 0.125, m ? m 2 ? 0.0625, n ? 3, S ? 0.125 ? t ? 0.01 ,是,循环; 执行第 4 次, S ? S ? m ? 0.0625, m ? m 2 ? 0.03125, n ? 4, S ? 0.0625 ? t ? 0.01 ,是,循环; 执行第 5 次, S ? S ? m ? 0.03125, m ? m 2 ? 0.015625, n ? 5, S ? 0.03125 ? t ? 0.01 ,是,循环; 执行第 6 次, S ? S ? m ? 0.015625, m ? m 2 ? 0.0078125, n ?6, S ? 0.015625 ? t ? 0.01 ,是,循环;

S ? S ? m ? 0.0078125, m ? m 2 ? 0.00390625, n ?7, S ? 0.0078125 ? t ? 0.01 , 执行第 7 次, 否, 输出 n ? 7 , 故选 C. (10) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 10】 ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为( ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 【答案】C
【解析】在 ? x 2 ? x ? y ? 的 5 个因式中,2 个取因式中 x2 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ,其余因
5

2 1 2 C3C2 ? 30 ,故选 C. 式取 y ,故 x5 y 2 的系数为 C5 (11) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组 成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r =( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】B

2

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r ,圆柱的高 1 为 2r ,其表面积为 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r ? 5? r 2 ? 4r 2 ? 16 ? 20? ,解得 r ? 2 故选 B. 2 (12) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 12】设函数 f ( x) ? e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 , 若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 3 (A) [? ,1) (B) [? , ) (C) [ , ) (D) [ ,1) 2e 2e 4 2e 4 2e 【答案】D 【解析】设 g ( x) ? e x (2 x ? 1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使 得 g ( x0 ) 在直线 y ? ax ? a 的下方.因为 g ?( x) ? e x (2 x ? 1) ,所以
1 ? 1 1 1 当 x ? ? 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, ? g ( x)?max ? ?2e 2 .当 x ? 0 时, 2 2 2 g (0) ? ?1 , g (1) ? 3e ? 0 , 直 线 y ? a x ) ? 1 恒 过 点 ,且 1 , 0 且 斜 率 为 a , 故 ?a ? g ( 0 ? ? a ? ?

g (?1) ? ?3e?1 ? ?a ? a ,解得

3 ? a ? 1 ,故选 D. 2e

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 13】若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x2 ) 为偶函数,则 a ? 【答案】1 .

【解析】由题知 y ? ln x ? a ? x 2 是奇函数,所以 ln x ? a ? x2 ? ln ? x ? a ? x 2 ? ln ? a ? x 2 ? x
? ln a ? 0 ,解得 a ? 1 .

?

?

?

? ?

?

?

(14) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 14】一个圆经过椭圆 方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准 16 4



3? 25 ? 【答案】 ? x ? ? ? y 2 ? 2? 4 ?
2 3 3? 25 2 ? 【解析】 设圆心为 ? a,0 ? , 则半径为 4 ? a , 则 ? 4 ? a ? ? a ? 22 , 解得 a ? ? , 故圆的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? . 2? 4 2 ? ? x ? 1 ? 0, y ? (15) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 15】若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 的最大值 x ? x ? y ? 4 ? 0, ?
2

为 【答案】3



y 是可行域内一点与原点连 x y 线的斜率,由图可知,点 A ?1,3? 与原点连线的斜率最大,故 的最大值为 3. x (16) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 16】在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75? , BC ? 2 ,则 AB 的取值范围是 .
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, 【答案】

?

6 ? 2, 6 ? 2

?

【解析】如图所示,延长 BA , CD 交于点 E ,则可知在 ?ADE 中, ?DAE ? 105? , 1 2 6? 2 ?ADE ? 45? , ?E ? 30? ,所以设 AD ? , AE ? x , DE ? x, 2 4 2 3

? 6? 2 ? 6? 2 CD ? m ,因为 BC ? 2 ,所以 ? x?m? 6? 2, x ? m? ? sin15? ? 1 ? ? ? 4 4 ? ? 6? 2 2 6? 2 2 x?m? x? x?m ? 6? 2? x, 所以 0 ? x ? 4 ,而 AB ? 4 2 4 2
所以 AB 的取值范围是

?

6 ? 2, 6 ? 2 .

?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 17】 (本小题满分 12 分) Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 an ? 0 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设 b n ?
1 ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和. a n a n ?1

an ? 2an ? 4Sn ? 3

解: (Ⅰ)由 an2 ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an?12 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3 ,

可得 an?12 ? an2 ? 2 ? an?1 ? an ? ? 4an?1 ,即 2 ? an?1 ? an ? ? an?12 ? an2 ? ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 由于 an ? 0 ,可得 an?1 ? an ? 2 .又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1 (舍去) , a1 ? 3 所以 ?an ? 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1 . ……6 分

(Ⅱ)由 an ? 2n ? 1 可知, bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 3(2n ? 3)

……12 分

(18) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 18】 (本小题满分 12 分)如图, 四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120? , E , F 是平面 ABCD 同一侧 AE ? EC . 的两点, BE ? 平面 ABCD , DF ? 平面 ABCD , BE ? 2DF , (Ⅰ)证明:平面 ACE ? 平面 AFC . (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 解: (Ⅰ)连接 BD ,设 BD ? AC ? G ,连接 EG , FG , EF . 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB ? 1 , 由 ?ABC ? 120? ,可得 AG ? GC ? 3 . 由 BE ? 平面ABCD , AB ? BC ,可知 AE ? EC . 又 AE ? EC ,所以 EG ? 3 ,且 EG ? AC . 2 在 Rt?EBG 中,可得 BE ? 2 ,故 DF ? . 2 6 在 Rt?FDG 中,可得 FG ? . 2
2 3 2 ,可得 EF ? . 2 2 从而 EG 2 ? FG 2 ? EF 2 ,所以 EG ? FG ,又 AC ? FG ? G ,可得 EG ? 平面AFC . 因为 EG ? 平面AEC ,所以 平面AEC ? 平面AFC . ……6 分 ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB , GC 方向为 x 轴, y 轴正方向, GB 为单位长,建立空间直角

在直角梯形 BDFE 中,由 BD ? 2 , BE ? 2 , DF ?

? 2? ? 1,0, 坐标系 G ? xyz .由(Ⅰ)可得 A 0, ? 3, 0 , E 1, 0, 2 , F ? ? , C 0, 3, 0 . ? 2 ? ? ? ??? ? ? 2? ? 1, ? 3, 所以 AE ? 1, 3, 2 , CF ? ? ……10 分 ?. ? 2 ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

4

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 AE ? CF 3 故 cos AE, CF ? ??? ,所以直线 AE 与直线 CF 所成角余弦值为 ? . ? ??? ? ?? 3 3 AE CF

?

?

……12 分

(19) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 19】 (本小题满分 12 分)某公司为确定下一 年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售 量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传 费 x1 和年销售量 y1 ? i ? 1, 2,?,8? 数据作了初步处理, 得到下面的散点图及 一些统计量的值.

? x

? ? y
56.3

?? w

??x
1 x ?1

1

? ?x

?

2

? ? w ? w?
1 x ?1 1

? ?

2

??x
1 x ?1

1

? ?x

?? y ? y ?

? ?

? ? w ? w?? y ? y ?
1 x ?1 1

? ?

? ?

6.8 289.8 ? ? 1 1 表中 w1 ? x1 , w ? ? w1 . 8 x ?1

46.6

1.6

1469

108.8

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 z ? 0.2 y ? x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 ? u1 , v1 ? , ? u2 , v2 ? ……. . ? un , vn ? ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小二乘估计分
?? 别为: ?

? ?u
n i ?1 n

i

? u vi ? v
i

??

?

? ?u
i ?1

?u

?

2

?u . ? ?v?? ,?

解: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.……2 分
?? (Ⅱ)令 w ? x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于 d

? ? w ? w?? y
8 i ?1 i 8 i ?1 i

i

?y
2

?

? ? w ? w?

?

108.8 ? 68 , 1.6

? ? y?d ? w ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6 ,所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ? c y ? 100.6 ? 68w , 因此 y 关于 w 的线性回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x .

……6 分

(Ⅲ) (i)由(Ⅱ)知,当 x ? 49 时,年销售量 y 的预报值 ? y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 , ? ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 . 年利润 z 的预报值 z

……9 分 ? (ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值 z ? 0.2 ? 100.6 ? 68 x ? x ? ? x ? 13.6 x ? 20.12 .

?

?

……12 分 x2 ( 20 ) 【 2015 年新课标全国Ⅰ,理 20 】 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ? 与直线 4 y ? kx ? a ? a ? 0? 交与 M , N 两点, (Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由. 解: (Ⅰ)由题设可得 M 2 a , a , N ?2 a , a ,或 M ?2 a , a , N 2 a , a .

13.6 ? 取得最大值. ? 6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

所以当 x ?

?

?

?

?

?

?

?

?

5

又 y? ?

x x2 ,故 y ? 在 x ? 2 a 处的导数值为 a . 2 4 C 在点 ?2 a , a 处的切线方程为 y ? a ? a x ? 2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 .

?

?

?

?

故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 和 ax ? y ? a ? 0 . ……5 分 (Ⅱ)存在符合题意的点.证明如下: 设 P ? 0, b ? 为符合题意的点, M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k 2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 的方程得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 .故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . 从而 k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? ? a ? b ?? x1 ? x2 ? k ? a ? b ? .当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 ? 0 , ? ? ? x1 x2 x1 x2 a 则直线 PM 的倾角与直线 PN 的倾角互补,故 ?OPM ? ?OPN ,所以点 P ? 0, ?a ? 符合题意.……12 分

1 (21) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 21】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x . 4 (Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线;
(Ⅱ)用 min ?m, n? 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ( x ? 0) ,讨论 h ? x ? 零点的个数. 解: (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ? x0 ,0? ,则 f ( x0 ) ? 0 , f ?( x0 ) ? 0 ,代入可解得 x0 ?

1 3 ,a ? ? . 因 4 2

3 此,当 a ? ? 时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线. ……5 分 4 (Ⅱ)当 x ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,从而 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? g ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ?1, ?? ? 无零点.

5 5 当 x ? 1 时,若 a ? ? ,则 f (1) ? a ? ?0 , h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0 ,故 x ? 1 是 h( x) 的零点;若 4 4 5 5 a ? ? ,则 f (1) ? a ? ? 0 . h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0 ,故 x ? 1 不是 h( x) 的零点. 4 4 g ( x ) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x) 在 ? 0,1? 的零点个数. 当 x ? ? 0,1? 时,
2 (i) 若 a ? ?3 或 a ? 0 , 则f 故 f ( x) 在 ? 0,1? 单调. 而 f (0) ? () 3 ? x a ? 在 ? 0,1? 无零点, ? ?x

所以当 a ? ?3 时, f ( x) 在 ? 0,1? 有一个零点;当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0,1? 无零点.

1 5 ,f (1) ? a ? , 4 4

? ? a a? a ? (ii) 若 ?3 ? a ? 0 , 则 f ( x) 在 ? 0, ? ? 单调递减, 在 ? ? ,1? 单调递增, 故在 ? 0,1? 中, 当x? ? 时, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 3 a ? 2a a 1 a? f ( x) 取得最小值, 最小值为 f ? ? ? ? ①若 f ? ? ? ? 0 , 即? ? ? a 0 ,f ( x) 在 ? 0,1? ? ? . ? ? ? ? 3? 3 3 4 3? 4 ? ? ? ? 3 3 a? a? 无零点. ②若 f ? ? ? ? 0 , 即 a ? ? , f ( x) 在 ? 0,1? 有唯一零点. ③ f ? ? ? ? 0, 即 ?3? a , ?? ? ? ? ? 3? 3? 4 4 ? ? 1 5 5 3 5 由于 f (0) ? , f (1) ? a ? ,所以当 ? ? a ? ? 时, f ( x) 在 ? 0,1? 有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 时, 4 4 4 4 4 f ( x) 在 ? 0,1? 有一个零点.

3 5 3 5 3 综上,当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有两个零点;当 a ? ? 4 4 4 4 4 5 或 a ? ? 时, h( x) 有三个零点. ……12 分 4 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个 题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) 【2015 年新课标全国Ⅰ,理 22】 (本题满分 10 分) (选修 4-1:几何证明选讲)如图 AB 是 ? O 直径, AC 是 ? O 切线, BC 交 ? O 与点 E . (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.
6

解: (Ⅰ)连接 AE ,由已知得 AE ? BC , AC ? AB . 在 Rt?AEC 中由已知得 DE ? DC ,故 ?DEC ? ?DCE . 连接 OE ,则 ?OEB ? ?OBE .又 ?ACB ? ?ABC ? 90? , 所以 ?DEC ? ?OEB ? 90? ,故 ?OED ? 90? , DE 是 ? O 的切线 (Ⅱ)设 CE ? 1 , AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x .
2

……5 分

由射影定理, AE 2 ? CE ?BE ,所以 x2 ? 12 ? x2 ,解得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60? . ……10 分 (23) 【2015 年新课标全国Ⅰ, 理 23】 (本小题满分 10 分) (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 直角坐标系 xOy 中. 直 线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
2 2

(Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程;

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4 解: (Ⅰ)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,
(Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?

C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 . ……5 分 ? (Ⅱ)将 ? ? 代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 . 4 1 故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 .由 C2 半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 . ……10 分 2 (24) 【2015 年新课标全国Ⅰ, 理 24】 (本小题满分 10 分) (选修 4-5: 不等式选讲) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? a ,
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? 0 . 当 x ? ?1 ,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解;当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得
a ?0.

2 ? x ?1; 3

?2 ? 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 .所以 f ( x) ? 1 解集为 x ? ? , 2 ? . ……5 分 ?3 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? 1 ? (Ⅱ)由题设可得 f ( x) ? ?3x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a ,所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?

2 2 ? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0 ? , C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为 ? a ? 1? . 为 A? 3 ? 3 ? 2 2 由题设得 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 .所以 a 的取值范围为 ? 2, ?? ? . 3

……10 分

7


赞助商链接

更多相关文章:
2013-2015年高考理科数学全国新课标试题答案word解...
2013-2015年高考理科数学全国新课标试题答案word解析版_高考_高中教育_教育...求 X 的分布列及数学期望. 20.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 ...
2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版 - 2015 年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题 1、已知集合 A={–2,–1,0,1,2},B={x|(x–1)...
2015年高考新课标I卷理科数学试题答案解析(word精校版)
2015年高考新课标I卷理科数学试题答案解析(word精校版)_高考_高中教育_教育专区。2015年高考新课标I卷理科数学试题答案解析(word精校版)可编辑2015...
2015年高考新课标理科数学试题及答案(精校版-解析版-...
2015年高考新课标理科数学试题及答案(精校版-解析版-word版) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 理科数学 第Ⅰ卷一、选择题: (本大题共 ...
2015年高考全国卷1理科数学试题及答案解析(word精校版)...
2015 年高考全国卷 1 理科数学试题及答案解析 (word 精校版)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷...
2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案解析,公式全部mathtype编辑,格式工整。...
2015年高考新课标理科数学试题及答案(精校版,解析版,...
2015年高考新课标理科数学试题及答案(精校版,解析版,word版)_高考_高中教育_...2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 理科数学第Ⅰ卷一、选择题:...
...课标Ⅰ理科数学试题及答案(精校版-解析版-word版)_...
2016年高考新课标Ⅰ理科数学试题及答案(精校版-解析版-word版) - 所有公式都用公式编辑器编辑,图象用几何画板作图
2017年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2017年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2017年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案解析,公式全部mathtype编辑,格式工整。...
2016全国Ⅰ高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2016全国Ⅰ高考理科数学试卷及答案解析(word版) - 2016 年普通高等学校招生全统一考试 理科数学 ★祝考试顺利★ 第卷一、选择题:本题共 12 小题,每小...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图