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湖北省荆门市掇刀石中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(a卷) Word版含解析



2014-2015 学年湖北省荆门市掇刀石中学高一(上)期中数学试 卷(A 卷)
一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)M={x|x>﹣1},则下列选项中正确的是() A.0?M B.{0}?M C.φ∈M D.{0}∈M 2. (5 分)cos A. π=() B. C. D.

3. (5 分)y=2sin( x﹣ A.

)的周 期为() C.2π D.4π

B. π

4. (5 分)给出下列四种从集合 A 到集合 B 的对对应:

其中是从 A 到 B 的映射的是() A.(1) (2) B.(1) (2) (3)

C.(1) (2) (4)

D.(1) (2) (3) (4)

5. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域为{x|﹣3≤x≤8,x≠5,值域为{y|﹣1≤y≤2,y≠0},则 y=f (x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)某研究小组在一项实验中获得一组关于 y、t 之间的数据,将其整理后得到如图所 示的散点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是()

A.y=2

t

B.y=2t

2

C.y=log2t

D.y=t

3

7. (5 分)函数 y=sin(2x+ A.x=﹣

)图象的对称轴方程可能是() C.x= D.x=

B.x=﹣

8. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π, 且当 x∈时,f(x)=sinx,则 f( A.﹣ B. )的值为() C. ﹣ D.

9. (5 分)已知函数 f(x)= A.

为增函数,则实数 a 的取值范围为()

10. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡上) 11. (5 分)若 f(x)是一次函数,且 f=4x﹣1,则 f(x)=. 12. (5 分)若 2 =5 =10,则
a b

=.
0.5

13. (5 分)已知 a=log32,b=log30.5,c=1.1 ,那么 a、b、c 的大小关系为(用“<”号表示) . 14. (5 分)已知函数 f(x)=lgx﹣sinx,则 f(x)在(0,+∞)上的零点个数为. 15. (5 分)函数 y=lg(1﹣tanx)的定义域是. 16. (5 分)函数 的单调递增区间为.

17. (5 分)下列叙述正确的有 ①集合 A={(x,y)|x+y=5},B={(x,y)|x﹣y=﹣1},则 A∩B={2,3} ②若函数 的定义域为 R,则实数

③函数
2

是奇函数

④函数 f(x)=﹣x +3x+b 在区间(2,+∞)上是减函数.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax+b 的图象关于 x=1 对称 (1)求实数 a 的值;

(2)若 f(x)的图象过(2,0)点,求 x∈时 f(x)的值域. 19. (12 分) (1)已知 sinx+cosx= ,0≤x≤π,求 tanx 的值

(2)已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求

的值.

20. (13 分)已知△ OAB 是边长为 2 的正三角形,记△ OAB 位于直线 x=t(t>0)左侧的图 形的面积为 f(t) ,求函数 f(t)的表达式.

21. (14 分)对于函数 f(x)=a+

x∈R 是奇函数.

(1)求 a 值; (2)用定义证明:f(x)在 R 上是单调减函数; (3)解不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0. 22. (14 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)若 f(6)=7,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈ 解答: 解:如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对 应,则此对应构成映射. 故(1) 、 (2)构成映射, (3)不能构成映射,因为前边的集合中的元素 a 在后一个集合中有两个元素和它对应,故 此对应不是映射. (4)中 b 在后一个集合中没有元素和它对应,所以(4)是错误的. 故选 A. 点评: 本题考查映射的概念, 即一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一 个元素和它对应,则此对应构成映射. 5. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域为{x|﹣3≤x≤8,x≠5,值域为{y|﹣1≤y≤2,y≠0},则 y=f (x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可. 解答: 解:A.当 x=8 时,y=0,∴A 错误. B.函数的定义域和值域都满足条件,∴B 正确. C.由函数的图象可知,在图象中出现了有 2 个函数值 y 和 x 对应的图象,∴C 错误. D.函数值域中有两个值不存在,∴函数的值域不满足条件,∴D 错误. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的定义以及函数三要素之间的判断, 利用函数的定义是解决本题 的关键,比较基础. 6. (5 分)某研究小组在一项实验中获得一组关于 y、t 之间的数据,将其整理后得到如图所 示的散点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是()

A.y=2

t

B.y=2t

2

C.y=log2t

D.y=t

3

考点: 散点图. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分析图象可知,其增长速度越来越慢,从而确定答案. 解答: 解:分析图象可知, 其增长速度越来越慢, 故选 C. 点评: 本题考查了函数的增长速度,属于基础题.

7. (5 分)函数 y=sin(2x+ A.x=﹣

)图象的对称轴方程可能是() C.x= D.x=

B.x=﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 分析: 令 2x+ = = 求出 x 的值,然后根据 k 的不同取值对选项进行验证即可. ,∴x= (k∈Z)

解答: 解:令 2x+

当 k=0 时为 D 选项, 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦函数对称轴的求法.属基础题. 8. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π, 且当 x∈时,f(x)=sinx,则 f( A.﹣ B. )的值为() C. ﹣ D.

考点: 函数单调性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 要求 f( ) ,则必须用 f(x)=sinx 来求解,那么必须通过奇偶性和周期性,将

变量转化到区间上,再应用其解析式求解. 解答: 解:∵f(x)的最小正周期是 π ∴f( )=f( ﹣2π)=f(﹣ )

∵函数 f(x)是偶函数 ∴f( )=f( )=sin = .

故选 D 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性, 周期性以及应用区间上的解析性求函数值, 是基础 题,应熟练掌握.

9. (5 分)已知函数 f(x)= A.

为增函数,则实数 a 的取值范围为()

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数单调性的定义去求解, 只需要当 x≤1 时函数也是单调递增函数且二次函数 在 x≤1 时的最大值小于 0 即可.

解答: 解:因为当 x>1 时,函数 y=l gx 为增函数. 所以要使 f(x)为增函数,所以当 x≤1 时,f(x)=﹣x +2x﹣a,单调递增,且 f(1)≤0, 2 2 当 x≤1 时,f(x)=﹣x +2x﹣a=﹣(x﹣1) +1﹣a,此时函数单调递增, 由 f(1)≤0 得﹣1+2﹣a≤0,解得 a≥1. 故选 A. 点评: 本题主要考查分段函数单调性的应用.考查学生的分析问题的能力.
2

10. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域排除 C,再利用 x=﹣1,排除 A,再根据 x 趋向于正穷时,函数 的值趋向于 0,故排除 D,问题得以解决. 解答: 解:因为函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0, +∞) ,故排除 C. 当 x=﹣1 时,y=﹣2,故排除 A, 当 x 趋向于正穷时,函数的值趋向于 0,故排除 D, 故选:B 点评: 本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质, 选特殊的值时关键, 属于基础题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡上) 11. (5 分)若 f(x)是一次函数,且 f=4 x﹣1,则 f(x)=f(x)=2x﹣ 或﹣2x+1.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 利用待定系数法求解该函数的解析式是解决本题的关键. 结合着复合函数表达式的 求解, 根据多项式相等即对应各项的系数相等得出关于一次项系数和常数项的方程组, 通过 方程思想求解出该函数的解析式.

解答: 解:设 f(x)=kx+b(k≠0) , 则 f=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k x+kb+b=4x﹣1, 根据多项式相等得出 ,
2

解得



.因此所求的函数解析式为:f(x)=2x﹣ 或﹣2x+1.

故答案为:f(x)=2x﹣ 或﹣2x+1. 点评: 本题考查函数解析式的求解, 考查确定函数解析式的待定系数法. 学生只要设出一 次函数的解析式的形式, 寻找关于系数的方程或方程组, 通过求解方程是不难求出该函数的 解析式的.属于函数中的基本题型.
a b

12. (5 分)若 2 =5 =10,则

=1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知 2 =5 =10,求 出来代入
a b

的值,故考虑到把 a 和 b 用对数的形式表达

,再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案.
a b

解答: 解:因为 2 =5 =10, 10 10 故 a=log2 ,b=log5 =1 故答案为 1. 点评: 此题主要考查对数的运算性质的问题, 对数函数属于三级考点的内容, 一般在高考 中以选择填空的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握. 13. (5 分)已知 a=log32,b=log30.5,c=1.1 ,那么 a、b、c 的大小关系为 b<a<c(用“<” 号表示) . 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数和指数函数的单调性求解. 解答: 解:∵0=log31<a=log32<log33=1, b=log30.5<log31=0, 0.5 0 c=1.1 >1.1 =1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c. 点评: 本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指 数函数的单调性的合理运用.
0.5

14. (5 分)已知函数 f(x)= lgx﹣sinx,则 f(x)在(0,+∞)上的零点个数为 3 个. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出图象,结合特殊值比较大小,运用 lg10=1,sin (0,2π)内 1 个, (2π,4π)2 个,后面就没有交点了, 解答: 解:函数 f(x)=lgx﹣sinx, 设 g(x)=lgx,h(x)=sinx, =1,sin =1, >10,

∵lg10=1,sin

=1,sin

=1,

>10,

h(x)=sinx, 周期为:2π. ∵(0,2π)内 1 个, (2π,4π)2 个,后面就没有交点了, ∴据图判断:f(x)在(0,+∞)上的零点个数为 3 故答案为;3 个 点评: 本题考查了三角函数的图象, 对数函数的图象, 运用交点判断函数的零点个数问题, 属于容易题. ,k∈Z}.

15. (5 分)函数 y=lg(1﹣tanx)的定义域是{x|

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件建立条件关系即可得到结论. 解答: 解:要使函数有意义,则 1﹣tanx>0, 即 tanx<1, ∴ ,k∈Z,

∴函数的定义域为:{x| 故答案为:{x| ,k∈Z}

,k∈Z},

点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要求掌握常见函数成立 的条件,比较基础.

16. (5 分)函数 .

的单调递增区间为

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: y=sin( 的单调递增区间. 解答: 解:∵y=sin( ∴由 2kπ+ 4kπ+ ≤x≤ ≤ x﹣ ≤ ﹣ x)=﹣sin( x﹣ +2kπ(k∈Z)得: ) , ﹣ x)=﹣sin( x﹣ ) ,利用复合三角函数的单调性即可求得其在上

+4kπ(k∈Z) , ﹣ x)的递增区间为(k∈Z) ,

∴y=sin( 又 x∈, ∴y=sin(

﹣ x)在 x∈上的递增区间为和.

故答案为:和. 点评: 本题考查复合三角函数的单调性, 由 2kπ+ ( ≤ x﹣ ≤ +2kπ (k∈Z) 求得 y=sin

﹣ x)的递增区间是关键,也是易错点,属于中档题.

17. (5 分)下列叙述正确的有②④ ①集合 A={(x,y)|x+y=5},B={(x,y)|x﹣y=﹣1},则 A∩B={2,3} ②若函数 的定义域为 R,则实数

③函数
2

是奇函数

④函数 f(x)=﹣x +3x+b 在区间(2,+∞)上是减函数. 考点: 函数奇偶性的判断 ;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 先求得直线 x+y=5 和直线 x﹣y=﹣1 交点为(2,3) ,可得 A∩B={(2,3)},故 ①不正确. 根据函数 ②正确. 由于函数 偶函数,故③不正确. 由于二次函数 f (x) =﹣x +3x+b 的图象的对称轴为 x= , 利用二次函数的性质可得④正确.
2

的定义域为 R,可得 ax +x﹣3≠0 恒成立,求得 a<﹣

2

,故

,定义域不关于原点对称,此函数为非奇非

解答: 解:由于解方程组

可得

,故直线 x+y=5 和直线 x﹣y=﹣1 交

点为(2,3) . 若集合 A={(x,y)|x+y=5},B={(x,y)|x﹣y=﹣1},则 A∩B={(2,3)},故①不正确. 若函数 的定义域为 R, 则 ax +x﹣3≠0 恒成立, 故△ =1+12a<0, 且 a≠0.
2

解得 a<﹣ 由于函数

,故②正确. ,故此函数的定义域不关于原点对称,故此

函数为非奇非偶函数,故③不正确. 由于二次函数 f(x)=﹣x +3x+b 的图象的对称轴为 x= ,且图象是开口向下的抛物线, 故函数在区间(2,+∞)上是减函数,故④正确, 故答案为 ②④. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性、 单调性的判断和证明, 函数的定义域以及求两条直线 的交点坐标,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax+b 的图象关于 x=1 对称 (1)求实数 a 的值; (2)若 f(x)的图象过(2,0)点,求 x∈时 f(x)的值域. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用二次函数的对称轴,求出 a 的值. (2)利用函数的图象经过(2,0) ,求出 b,通过函数的定义域,求出函数的值域. 2 解答: 解: (1)因为函数 f(x)=x +ax+b 的图象关于 x=1 对称, 所以 ,∴a=﹣2.
2

(2)因为 f(x)的图象过(2,0)点,

所以 0=2 ﹣2×2+b,所以 b=0. 2 所以函数 f(x)=x ﹣2x x∈时 f(x)的最小值为:f(1)=﹣1;最大值为:f(3)=3, 所以函数的值域为: . 点评: 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题, 需注意区间 与对 称轴的位置关系.

2

19. (12 分) (1)已知 sinx+cosx= ,0≤x≤π,求 tanx 的值

(2)已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求

的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 把已知等式两边平方求出 2sinxcosx 的值, 再利用完全平方公式及同角三角函 数间的基本关系求出 sinx 与 cosx 的值,即可确定出 tanx 的值; (2)根据角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求出 t anα 的值,原式利用诱导公式及同角三角函 数间的基本关系化简,把 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)把 sinx+cosx= ①,两边平方得: (sinx+cosx) =1+2sinxcosx= 2sinxcosx=﹣ <0,
2

,即

∵0≤x≤π,∴sinx>0,cosx<0,即 sinx﹣cosx>0, ∴(sinx﹣cosx) =1﹣2sinxcosx=
2

,即 sinx﹣cosx= ②,

联立①②,解得:sinx= ,cosx=﹣ , 则 tanx=﹣ ; (2)∵角 α 终边上一点 P(﹣4,3) , ∴tanα=﹣ , 则原式= =tanα=﹣ .

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 20. (13 分)已知△ OAB 是边长为 2 的正三角形,记△ OAB 位于直线 x=t(t>0)左侧的图 形的面积为 f(t) ,求函数 f(t)的表达式.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 应用题. 分析: 由于△ OAB 位于直线 x=t(t>0)左侧的图形的形状在 t 取不同值时,形状不同, 故可以分当 0<t≤1 时(此时满足条件的图形为三角形)和当 1<t≤2 时(此时满足条件的图 形为四边形)及 t>2 时(此时满足条件的图形为三角形 OAB)三种情况进行分类讨论,最 后综合讨论结果,即可得到函数 f(t)的表达式. 解答: 解:由图, 当 0<t≤1 时, 此时满足条件图形为以 t 为底,以 t 为高的三角形 ∴ 当 t>2 时, 此时满足条件图形为△ OAB ∴ (3 分) 当 1<t≤2 时, 此时满足条件图形为△ OAB 减一个以(2﹣t)为底,以 边形 ∴ (3 分)

(2﹣t)为高的三角形所得的四

(3 分)

综上可得

(1 分)

点评: 本题考查的知识点是分段函数的求法, 其中根据已知中的图形, 合理的设置分类标 准是解答本题的关键. 21. (14 分)对于函数 f(x)=a+ x∈R 是奇函数.

(1)求 a 值; (2)用定义证明:f(x)在 R 上是单调减函数;

(3)解不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应 用. 分析: (1)先利用 f(0)=0 求出 a 的值,然后验证即可; (2)按照:取值、作差变形、判断符号下结论的步骤进行; (3)利用单调性构造关于 t 的不等式即可. 解答: 解: (1)因为 x∈R,所以 f(0)=0,解得 a=﹣1, 经验证 a=﹣1 时,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,故 a=﹣1 即为所求; (2)由(1)知 f(x)= 任取 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2) =
x



=



因为 y=2 是 R 上的增函数,且 x1<x2, 所以 ,所以上式>0,

所以 f(x1)>f(x2) . 故 f(x)在 R 上是减函数. (3)结合函数 f(x)是奇函数,所以 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0 可化为: f(2t+1)≤f(5﹣t) , 又因为函数 f(x)在 R 上是减函数, 所以 2t+1≥5﹣t,解得 .

点评: 本题考查了函数的奇偶性性质,以及利用奇偶性和单调性求解不等式的问题思路, 难度不大. 22. (14 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)若 f(6)=7,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈ 分析: (1)利用赋值法,m=n=0 求 f(0) ; (2)设 x1,x2 是 R 上任意两个实数,且 x1<x2,令 m=x2﹣x1,n=x1,通过函数的单调性 的定义直接证明 f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)由原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x )+1<3,化为 f<f(1) ,对任意的 x∈<2 * 而当 n∈N 时,f(n)=f(n﹣1)+f(1)﹣1=f(n﹣2)+2f(1)﹣2 =f(n﹣3)+3f(1)﹣3=…=nf(1)﹣(n﹣1) 所以 f(6)=6f(1)﹣5,所以 f(1)=2 故不等式可化为 f<f(1)…(9 分) 2 由(2)可知 f(x)在 R 上为增函数,所以﹣x +(a+1)x﹣2<1 2 即 x ﹣(a+1)x+3>0 在 x∈

有 解得 而 ,所以 …(13 分) 综上所述:实数 a 的取值范围是 …(14 分) 注: (i) (ii)两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分,最后综上所述错误扣一分 点评: 本题考查函数的恒成立, 构造新函数求解函数的最值, 函数的单调性的判断与应用, 考查计算能力.



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