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浙江省宁波市2007-2008学年度第一学期高一数学期末试卷



浙江省宁波市 2007-2008 学年度第一学期高一数学期末试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 道题,其中第 21 题、第 22 题分“重点中学做”和“非重点中学做”. 试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.本次试卷不得使用计算器. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1、 设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1, 3,},B={2,3,4},则 A ? (CU B) =??????? 2, ( A、{0} B、{1} C、{0,1} D、{01,2,3,4} ) )

5 2、已知角α 满足 sinα = ,tanα >0,则角α 是 ????????????????( 13
A、第一象限角 B、第二象限角 C、 第三象限角 D、第四象限角 3、 若向量 (cosα ,sinα ) 与向量 (3, 垂直, tanα =?????????????? 4) 则 ( A、 ?



4 3

B、

4 3

C、 ?

3 4

D、

3 4


? x 2 ? 3( x ? 0) ? 4、 已知 f ( x) ? ?1( x ? 0) , f ( f( f )) 则 ( ) ? ? x ? 4( x ? 0) ?

=???????????????? (

A、-4 B、4 C、-3 D、3 5、 已知 tan28°=a,则 sin2008°=???????????????????????? ( A、 ?



1 1? a
2

B、

1 1? a
2

C、

a 1? a
2

D、 ?

a 1 ? a2


6、 在边长为 2 的等边△ABC 中,AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB =????????? ( A、-3 B、3 C、-1 D、1

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?

7、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( ) =?????????(

?

2



A、 3 C、-1

B、1 D、-

3

8、函数 y ? x ? y

1 的图象是????????( x
y y

) y

-1 O

1

x

-1 O

1

x

-1 O 1

x

-1 O

1

x

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A、

B、

C、

D、

9、已知 | OA | =1, | OB |? 3 , OA? =0,点 C 满足:∠AOC=30°, OB 且 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R? ) ,则

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

m =?????????????????( n
C、 3 D、3



A、

1 3

B、

3 3

10、 函数 f ( x) ? lg(sin x ? a) 的定义域为 R, 且存在零点, 则实数 a 的取值范围是???? ( A、[1,2] B、(1,2] C、[2,3) D、[2,3]



第Ⅱ卷(非选择题 共 80 分) 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中横线上.) 11、函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是 12、函数 f ( x) ? lg(8 ? 2 ) 的定义域为
x

. .

13 、 已 知 | a |=2,| b |=3, (a ? 2b) ? (2a ? b) = - 1 , 那 么 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 = . 14、已知钝角α 满足 sinα =cos2α ,则 tanα = 15、若函数 f ( x) ? x ? a 与 g ( x) ? x ? ax ? 2 有相同的零点,则 a=
2

?

?

?

?

? ?

?

?

. .

16、1980 年我国人均收入约为 250 美元,到 2000 年人民生活达到了小康水平,人均收入已超 过 800 美元, 若不低于此增长率递增, 则到 2020 年, 我国的人均收入至少有 美元. 17、给出下列命题:

2 ? 3 ) 是奇函数;②函数 y ? sin x ? cos x 的最大值为 ; 3 2 2 ③函数 y ? tan x 在第一象限内是增函数;
①函数 y ? cos( x ? ④函数 y ? sin(2 x ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

?
12

成轴对称图形.

其中正确的命题序号是 . 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18、 (本小题满分 10 分)已知 0<α < (1)求 cosβ ;

? 3 4 <β < ? ,sinα = ,sinβ = . 5 5 2

(2)求 tan(α +β ).

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19、 (本小题满分 10 分) f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1 . (1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的值域;

(2)作出 y ? f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的简图; (3)说明 f ( x ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到?

20、 (本小题满分 10 分)如图,钢板材料 ABCD,上沿为圆弧 AD,其所在圆的圆心为 BC 中点 O,AB、CD 都垂直于 BC,且 AB=CD= 3 米,BC=2 米,现要用这块钢板材料截 成一块矩形板 EFGH(其中 G,H 在 AD 上,E,F 在 BC 上) ,设∠BOH=θ . (1)求矩形 EFGH 的面积 S 关于θ 的函数表达式 S= f (? ) ; (2)求矩形面积 S 的最大值.

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21、 (非重点中学做,本小题满分 10 分) 已知 f ( x ? 1) ? x? (α 为常数),且函数 y ? f ( x) 的图象经过点(5,2). (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)用单调性定义证明 y ? f ( x) 在定义域内为增函数.

21、 (重点中学做,本小题满分 10 分)

? 3 3 1 1 x,sin x) , b ? (cos x,sin x) , x ? [0, ? ] . 2 2 2 2 ? ? ? ? ? (1)当 x ? 时,求 a ? b 及 | a ? b | 的值; 4 ? ? ? ? (2)求 f ( x) ? m | a ? b | ?a ? b ( m ? R )的最大值.
已知向量 a = (cos

?

22、 (非重点中学做,本小题满分 10 分)

? 3 3 1 1 x,sin x) , b ? (cos x,sin x) , x ? [0, ? ] . 2 2 2 2 ? ? ? ? ? (1)当 x ? 时,求 a ? b 及 | a ? b | 的值; 4 ? ? ? ? (2)求 f ( x) ? m | a ? b | ?a ? b ( m ? R )的最大值.
已知向量 a = (cos 22、 (重点中学做,本小题满分 10 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为 M、m,集合 A
2

?

= {x | f ( x) ? x} . (1)若 A={1,2},且 f (0) =2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={2},且 a≥1,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值.

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宁波市 2007 学年度第一学期高一数学期末试卷答题卷
题号 得分 一 二 三 18 19 20 21 22 总分 复分签名

得分 一、选择题:(每小题 4 分,共 40 分) 1 线 2 3 4 5 6 7 8 评卷人 9 10

学号 题

得分 二、填空题:(每小题 7 分,共 28 分) 评卷人 ; 13、 ; 14、



11、 要

;12、

15、 姓名 内 不

;16、

; 17、



三、解答题: (本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18、解: 得分 评卷人

班级 密 学校 密
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线 封

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19、解:

得分 评卷人

20、解: 得分 H A G D 评卷人

θ B E O F C

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21、解:

得分 评卷人

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22、解: 得分 评卷人



生 答



不 得 过

此 线

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宁波市 2007-2008 学年度第一学期高一数学期末试卷参考答案
一、选择题:(每小题 4 分,共 40 分) 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 C 10 B

二、填空题:(每小题4分,共 28 分) 11、

?;

12、(3,+∞);

13、120°; 17、①④.

14、 ?

3 ; 3

15、1 或-1; 16、2560;

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18、解: (1)∵ sin ? ?

4 ? , ? ? ?? 5 2

又∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ∴ cos ? = (2)∵ sin ? ?

?

3 ? 2 2 , 0 ? ? ? , sin ? ? cos ? ? 1 5 2 4 3 ∴ cos ? ? ∴ tan ? ? 5 4 4 又∵ tan ? ? ? 3 3 4 ? (? ) tan ? ? tan ? 7 3 ∴ tan(? ? ? ) ? = 4 =? 25 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 ? (? 4 ) 4 3

3 5

10 分

19、解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1 = cos 2 x ? 3 sin 2 x = 2sin(2 x ? ∵ x ? [0,

?
6

)

?
2

]



?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 1 ? , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 6

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∴所求值域为[-1,2] (2)图略 (3)法 1:可由 y ? sin x 的图象先向左平移 短到原来的

? 个单位,再将图象上各点的横坐标缩 6

1 倍而得到。 2 1 倍,再将图 2

法 2:可由 y ? sin x 的图象先将图象上各点的横坐标缩短到原来的 象向左平移

? 个单位而得到。 12

20、解: (1)在 Rt△ABO 中,由 AB= 3 ,BO=1 得:r=AO=2 在 Rt△HEO 中,由 OH=r=2, ∠BOH=θ ,得:HE=2sinθ ,EO=2cosθ , ∴S= f (? ) =EF×EH=8 sinθ ×cosθ =4sin2θ . (2)由(1)得 S=4sin2θ ,∴θ =45°时,Smax=4 米 . 21、 (非重点中学做)解: (1)∵ f ( x ?1) ? x
?
2

∴ f ( x) ? ( x ?1) ,
?

?

又 y ? f ( x) 的图象过点(5,2)∴ f (5) ? (5 ?1) ? 2 , ? ? log 4 2 = ∴ f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? (2)设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ? 1 ? x2 ? 1 =
1

1 2

x ?1

x1 ? x2 <0 x1 ? 1 ? x2 ? 1

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ y ? f ( x) 在定义域内为增函数. 21、 (重点中学做)解: (1)∵ a = (cos

? 3 3 1 1 x,sin x) , b = (cos x,sin x) 2 2 2 2 ? ? 3 1 3 1 3 1 ∴ a ? b ? cos x cos x ? sin x sin x = cos( x ? x ) = cos x 2 2 2 2 2 2

?

∴x?

?
4

时, a ? b ?

? ?
?2

2 , 2

又 | a ? b |2 = a ? b ? 2a ? b = 2 ? 2 cos x ∴x?

? ?

?2

? ?

?
4

时, | a ? b | = 2 ? 2

? ?

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(2)∵ x ? [0, ? ] ,

∴0≤ cos

∴ f ( x) ? m | a ? b | ?a ? b = 2m | cos

? ?

? ?

x ≤1 2 x x x | ? cos x = ?2 cos 2 ? 2m cos ? 1 2 2 2

令 t= cos ∴ 当

m 2 m2 x ?1 (0≤t≤1)则 f ( x) ? ?2t 2 ? 2mt ?1 = ?2(t ? ) ? 2 2 2

m >1 即 m ? 2 时,此时 t=1, f ( x)max ? 2m ? 3 2

当 0≤

m2 m m ?1 ≤1 即 0≤m≤2 时,此时 t= , f ( x) max ? 2 2 2



m <0 即 m<0 时,此时 t=0, f ( x)max =-1 2

?2m ? 3(m ? 2) ? 2 ?m ? 1(0 ? m ? 2) ∴ f ( x) max ? ? 2 ? ??1(m ? 0) ? ? ? 3 3 1 1 22、 (非重点中学做)解: (1)∵ a = (cos x,sin x ) , b = (cos x,sin x ) 2 2 2 2 ? ? 3 1 3 1 3 1 ∴ a ? b ? cos x cos x ? sin x sin x = cos( x ? x ) = cos x 2 2 2 2 2 2
∴x?

?
4

时, a ? b ?

? ?
?2

2 , 2

又 | a ? b |2 = a ? b ? 2a ? b = 2 ? 2 cos x ∴x?

? ?

?2

? ?

?
4

时, | a ? b | = 2 ? 2 ∴0≤ cos

? ?

(2)∵ x ? [0, ? ] ,

∴ f ( x) ? m | a ? b | ?a ? b = 2m | cos

? ?

? ?

x ≤1 2 x x x | ? cos x = ?2 cos 2 ? 2m cos ? 1 2 2 2

令 t= cos

m 2 m2 x 2 ?1 (0≤t≤1)则 f ( x) ? ?2t ? 2mt ?1 = ?2(t ? ) ? 2 2 2

∴ 当

m >1 即 m ? 2 时,此时 t=1, f ( x)max ? 2m ? 3 2

当 0≤

m2 m m ?1 ≤1 即 0≤m≤2 时,此时 t= , f ( x) max ? 2 2 2

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m <0 即 m<0 时,此时 t=0, f ( x)max =-1 2

∴ f ( x) max

?2m ? 3(m ? 2) ? 2 ?m ? ? ? 1(0 ? m ? 2) ? 2 ??1(m ? 0) ?

22、 (重点中学做)解: (1)∵ f (0) =2, ∴c=2 ∵A={1,2}, ∴ ax2 ? (b ?1) x ? 2 ? 0 有两根为 1,2.

?2 ? a ? 1? 2 ? 由韦达定理得, ? ?1 ? b ? 1 ? 2 ? a ?
∴ f ( x) ? x ? 2x ? 2
2

∴?

?a ? 1 ?b ? ?2

∵ x ? [?2, 2] , ∴ M= f (?2) =10,m= f (1) ? 1 (2)∵A={2}, ∴ ax ? (b ?1) x ? c ? 0 有相等的两根为 2.
2

?c ?a ? 2? 2 ?c ? 4a ? 由韦达定理得, ? ,? ?1 ? b ? 2 ? 2 ?b ? 1 ? 4a ? a ?
4a ? 1 2 1 ) ?2? 2a 4a 4a ? 1 1 3 7 ?[ , ] ∵ a ? 1 , ∴对称轴为 x ? =2? 2a 2a 2 4 1 1 )=2? ∵ x ? [?2, 2] , ∴M= f (?2) =10,m= f (2 ? 2a 4a 1 ∴ g (a) ? M ? m ? 8 ? 4a 33 ∴ g ( a ) min ? g (1) ? 4
∴ f ( x) ? ax ? (4a ?1) x ? 4a = a ( x ?
2

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