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苏教版2017高中数学(必修四)学案 2.2.3 向量的数乘 Word版含解析


2.2.3 向量的数乘 1.掌握向量数乘的运算及其几何意义.(重点) 2.理解两个向量共线的含义,掌握向量共线定理. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. [基础· 初探] 教材整理 1 向量的数乘定义 阅读教材 P68 第一、二、三个自然段,完成下列问题. 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,它的长度和方向规 定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 a =0 时,λa=0;当 λ=0 时,λa=0. 实数 λ 与向量 a 相乘,叫做向量的数乘. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)λa=0,则 λ=0.( ) ) ) (2)对于非零向量 a,向量-3a 与向量 3a 方向相反.( (3)对于非零向量 a,向量-6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍.( 【解析】 (1)若 λa=0,则 λ=0 或 a=0,(1)错误. (2)正确. (3)|-6a|=6|a|,|3a|=3|a|,(3)正确. 【答案】 教材整理 2 (1)× (2)√ (3)√ 向量数乘的运算律 阅读教材 P68 倒数第 2 自然段,完成下列问题. 1.λ(μa)=(λμ)a; 2.(λ+μ)a=λa+μa; 3.λ(a+b)=λa+λb. 1.5×(-4a)=________. 【解析】 【答案】 5×(-4a)=5×(-4)a=-20a. -20a 2.a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则 a+b=________. 【解析】 【答案】 教材整理 3 a+b=(e1+2e2)+(3e1-2e2)=4e1. 4e1 向量共线定理 阅读教材 P70,完成下列问题. 如果有一个实数 λ,使 b=λa(a≠0),那么 b 与 a 是共线向量;反之,如果 b 与 a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数 λ,使 b=λa. 1.已知 e1 和 e2 不共线,则下列向量 a,b 共线的序号是________. ①a=2e1,b=2e2; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; 2 1 ③a=4e1-5e2,b=e1-10e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2. 【解析】 ∵e1 与 e2 不共线,∴①不正确; 对于②有 b=-2a;对于③有 a=4b;④不正确. 【答案】 ②③ → → → 2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b). → → 则AB与BD________. 【解析】 → → → → ∵BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB, → → ∴BD与AB共线. 【答案】 共线 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 向量数乘的基本运算 计算: (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); 7 ?? 2 1? ? 7?1 3? b+6a??; (2)2??3a+2b?-3a-b?-6?2a+7? ? ?? ? ? ? (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 【精彩点拨】 利用向量线性运算的法则化简,先去括号,再将共线向量合 并. 【自主解答】 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. 2 1? 3 1 ? 71 (2)原式=2?3a+2b-3a-b?-62a+7b+2a ? ? 3 1 1 7 1 7

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