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上海市上海理工大学附属中学2013届高三12月月考数学(文)试题(无答案)



一、填空题(每题 4 分,共 56 分)
a 1、已知集合 M ? 3, 2 , N ? ?a, b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ? _______________

?

?

2 、 在 三 角 形 ABC 中 , 若 则 ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7, 则 三

角 形 ABC 的 面 积 S=_________________ 3、若 x ?

?

?
3

是方程 2cos( x ? a) ? 1 的解,其中 ? ? (0, 2? ) ,则 ? ? ________________

4、两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本,将它们任意地 排成一排, 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是_________________ (结果用分数表示) 5 、 在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , 且 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n , 点 ( an , an ?1 ) 在 直 线

x ? y ? 3 ? 0 上则 lim
n ??
n

an ? ______________ (n ? 1) 2
n

6、 在二项式 (1 ? 3 x) 和 (5 x ? 2) 的展开式中第一个二项式的各项系数之和记为 an , 第二个 二项式的二项式系数之和记为 bn ,则

lim 3a
n ??

2an ? 3bn ? ___________ n ? 4bn
1 ,则 a1 的取值范围是 a1

7、无穷等比数列 ?an ? 中首项 a1 ? 0 ,前 n 项和 S n 满足 lim S n ?
n ??

_______________ 8、 在等比数列

? an ? 中, an ? 0 ,且 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a 4 ? a5 的最小值为

______ .

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ( n ? N *) ,那么 f (n ? 1) ? f (n) ? ___________ n ?1 n ? 2 n ? 3 2n ? ? ? ? ? ? 10、向量 a ? (2, ?3) , a / / x 且 a?x ? ?26 ,且 x 的坐标是________________。
9、设 f (n) ? 11、已知单位向量 a, b ,它们的夹角为
? ?

? ? ? ,则 3a ? b 的值为________________ 3

12、对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为函数

f ( x) 的 “下确界” 则函数 f ( x) ? sin x ? ,

2 的 为_______________ , x ? (0, ? ) , “下确界” sin x

13 、 若 不 等 式 log a ( x ? 2 x ? 3) ? ?1 对 x ? R 都 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
2

_______________

其中正确的命题是_______________ 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15、若 a、b、c 是常数,则 “ a ? 0 且 b ? 4ac ? 0 ”是“对任意的 x ? R, ax ? bx ? c ? 0 ”
2
2

的(

) B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
x

A. 充分不必要条件

16、在 P(1,1) 、 Q(1,2) 、 M (2,3) 和 N ( , ) 四点中,函数 y ? a 的图像与其反函数的图 像的公共点只可能是点( ) C。 M D。 N

1 1 2 4

A. P
*

B。 Q

17、设 ?an ?(n ? N ) 是等差数列, s n 是其前 n 项的和,且 s5 ? s6 , s6 ? s7 ? s8 ,则下列结论 错误的是 ( B )

A. d<0

a7 ? 0

C. s9 ? s5

D. s6与s7均为sn的最大值

(1 ? n ? 2009 ) ?1 , ? 18、已知数列 ?an ? ,对于任意的正整数 n , a n ? ? ,设 S n 表 1 n ? 2009 . (n ? 2010 ) ?? 2 ? ( 3 ) ?

示数列 ?an ? 的前 n 项和.下列关于 lim S n 的结论,正确的是(
n ? ??

) .

A. lim S n ? ?1
n???

B. lim S n ? 2008
n???

C. lim Sn ? ?
n ? ??

(1 ) ?2009 , ? n ? 2009 ( n? N * ) ) ?? 1 . (n ? 2010

D.以上结论都不对

三、解答题(共 74 分) 19、直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面为等腰直角三角形, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2 ,
0

AA1 ? 2 2 , E , F 分别是 BC , AA1 的中点。
求(1)求直线 EF 与 A1 B 成的角。 (2)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积。(本题 12 分)

20、已知 f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? a(a ? R)
2

(1)求函数 f ( x) 的递增区间 (2)若 x ? ? 0,

? ?? ,函数 f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值. ? 2? ? ? ?? 上有且仅有一解,求实数 a 的取值范围. ? 2? ?

(3)关于 x 的方程 f ( x) ? 2 在 x ? ? 0,

(本题 14 分)

21、某企业去年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若 不进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次投入 资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一 年)的利润为 500 (1 ?

1 ) 万元( n ? N * ) 2n

(1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累积纯利润为 An 万元,进行技术改 造后的累积纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An 和 Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年后,进行技术改造后的累积纯利润超过 不进行技术改造的累积纯利润?(本题 14 分) 22 、 若 存 在 常 数 k , 使 得 对 定 义 域 D 的 任 意 两 个 不 同 的 实 数 x1, x2 均有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k x1 ? x2 成立,则称在 D 上满足利普希兹(Lipschitz)条件。
(1) 试举出一个满足利普希兹(Lipschitz)条件的函数及常数 k 的值,并加以验证; (2) 若函数 f ( x) ? (本题 16 分)

x ? 1 在 ?0,??? 上满足利普希兹(Lipschitz)条件,求常数 k 的最小值;



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