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《空间直角坐标系》课件(北师大版必修2)


4.3.1空间直角坐标系

问题引入
1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示; x 2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
O M x

直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. y

y O

A(x,y)

x

x

问题引入
3.怎样确切的表示室内灯泡的位置?

问题引入
4.空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢? 当建立空间直角坐标系后,空间中的点M,可以 用有序实数(x,y,z)表示.

z
z

M (x,y,z)

O
x

y

M′

y

x

空间直角坐标系
OABC ? D A B C 是单位正方体.以O为原点,分 如图, 别以射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD '
' ' ' '

的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y 轴、z 轴.这时我们 说建立了一个空间直角坐标系O ? xyz ,其中点O 叫做坐标 原点, x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面.

z
D'

C'

A'

B'

O
A B

C

y

x

空间直角坐标系
右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如 果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直 角坐标系.

空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R. 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x,y,z). z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q 和R,分别过P、Q和R各作一个平面,分别垂直于x 轴、 y 轴和z 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x,y,z)确定的点M.

z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点,分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段OA,OC, OD’的长为单 位长,建立空间直角坐标系O—xyz.试说出正方体的各个顶点 的坐标.并指出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.

z
(0,0,1)

D

'

C

'(0,1,1)

(1,0,1)

A

'

B '(1,1,1)
O(0,0,0) C(0,1,0) y
B(1,1,0)

A (1,0,0)

x

典型例题
| OA |? 3 例1 如下图,在长方体OABC ? D ' A' B 'C ' , ' |? 2 , 写出四点D’, |中, OC |? 4 | OD C,A’,B’的坐标. z

D
A'

'

B'
O B
'

C'
C y

x
'

A

解:D 在z 轴上,且 OD ? 2 ,它的竖坐标是2;它的横坐 ' 标x与纵坐标y都是零,所以点 D 的坐标是(0,0,2). 点C 在y 轴上,且 OC ? 4 ,它的纵坐标是4;它的横 坐标x与竖坐标z 都是零,所以点C的坐标是(0,4,0).
'

同理,点 A 的坐标是(3,0,2).

'

典型例题
| OA |? 3 例1 如下图,在长方体OABC ? D ' A' B 'C ' , ' |? 2 , 写出四点D’, |中, OC |? 4 | OD C,A’,B’的坐标. z

D
A
'

'

B'
O B

C'
C y

x

A

解:点B’在平面上的射影是B,因此它的横坐标x与纵坐 标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同.在xOy平面上,点B 横 坐标x=3,纵坐标y=4;点B’在z轴上的射影是D’,它的竖坐标 与点D’的竖坐标相同,点D’的竖坐标z=2. 所以点B’的坐标是(3,4,2).

典型例题
1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子.

典型例题
1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.

z

O

y

x
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

典型例题
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 1 1 ( , ,0). x 2 2

z

O

y

中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2

知识小结

空间直角坐标系

点在空间直角坐标系中的坐标


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