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山东省青岛市2011届高考第一次模拟测试数学(理)试题2011.3



青岛市高三教学质量统一检测

2011.03

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:台体的体积公式为: V ? 下底面积, h 为台体的高.
1 3 ( S1 ? S 2 ? S 1 S 2 ) h ,其中 S 1 , S 2 分别为台体的上



第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z ?
A .1 ? i
2i i ?1

,则复数 z 的共轭复数为
C .1 ? i

B . ?1 ? i

D . ?1 ? i

2. 已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? { x | y ? lg( x ? 1)} ,则 ( ?U A ) ? B 等 于
A . { x | x ? 2 或 x ? 0} B . { x | 1 ? x ? 2} D . { x | 1 ? x ? 2}

C . { x | 1 ? x ? 2}

3. 下列四个函数中,在区间 ( 0 , 1) 上是减函数的是
1 x 1
1
x

A . y ? log 2 x

B. y ?

C . y ? ?( ) 2

D . y ? x3

4. 已知直线 l 、 m ,平面 ? 、 ? ,且 l ? ? , m ? ? ,则 ? // ? 是 l ? m 的
A .充要条件
C .必要不充分条件
2 x

B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件
2

5. 二项式 ( x ?
A .1 5

) 的展开式中, x 项的系数为

6

B . ?15

C . 30

D . 60

6. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是
A . y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2

B . y ? 3x
2

2

C . y ? ? 9 x或 y ? 3 x
2

2

D . y ? -x 或 y ? 9x
2

7. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为 2 和 4 ,腰长为 2 的等腰梯形,则该几何体的体积是 正视图 侧视图

A.

2 8? 3

B.

7? 3

C . 2 8?

D . 7?

?x ? y ? 0 ? 8. 若 ? x ? y ? 0 ,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 3 ,则 a 的值是 ? y ? a ?

A .1

B .2

C .3

D .4

9. 已知等差数列 { a n } 的前项和为 S n ,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点,且
???? ???? ? ??? ? O N ? a1 5 O M ? a6 O P(直线 M P 不过点 O ),则 S 20 等于
A .1 5 B .1 0
a1 a3 a2 a4

C . 40

D . 20
3 1 ? s in x cos x

10. 定义运算:

? a 1 a 4 ? a 2 a 3 ,将函数 f ( x ) ?

向左平移 m 个单位

( m ? 0) ,所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是
A.

?
6

B.

?
3

C .

5? 6

D.

2? 3

11. 下列四个命题中,正确的是
A .已知函数 f ( a ) ?

?

a 0

sin xd x ,则 f [ f (

?
2

)] ? 1 ? c o s 1 ;

B .设回归直线方程为 ? ? 2 ? 2 .5 x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位; y
C .已知 ? 服从正态分布 N (0 , ? ) ,且 P ( ? 2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P (? ? 2) ? 0.2
2

D .对于命题 p : ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则
2

?

p : ? x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0
2

12. 若 f ( x ) ? 1 ?

1 f ( x ? 1)

, 当 x ? [0 , 1] 时 , f ( x ) ? x , 若 在 区 间 ( ? 1 , 1] 内

g ( x ) ? f ( x ) ? m x ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是

A . [0 ,

1 2

)

B .[

1 2

, ?? )

1 C . [0 , ) 3

D . (0 ,

1 2

]

第Ⅱ卷

(选择题

共 60 分)
y
0.039

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区,时速 0 .0 2 8 频率分布直方图如右图所示,则时速超过 60 km / h 的汽 0 .0 1 8 车数量为
0.010 0 .0 0 5

30

40

50

60

70

80 x

14. 执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值 为 1 6 ,图中判断框内 ? 处应填的数为 15. 若不等式 | 2 a - 1 |? | x 成立,则实数 a 的取值范围 16. 点 P 是曲线 y = x 2 - ln x 上任意一点,则点 P 到 直线 y = x - 2 的距离的最小值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 m = (sin x , - 1) , 向量 n = ( 3 cos x , r
1 2
1 x

开始
a = 1, b = 1

| 对一切非零实数 x 恒

a? ?

b= 2

b

输出 b

a= a+ 1

结束

u r

u r r u r ) ,函数 f ( x ) = ( m + n ). m .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a ,b , c 分别为 D A B C 内角 A , B ,C 的对边, A 为锐角, a = 2 3 , c = 4 , 且 f ( A ) 恰是 f ( x ) 在 [0 ,
p 2 ] 上的最大值,求 A , b 和 D A B C 的面积 S .

18. (本小题满分 12 分)如图,P D C E 为矩形,A B C D 为梯形, 平面 P D C E ^ 平面 A B C D ,
? BAD ? ADC 90 , A B = A D =
1 2 C D = a , PD =

P 2a .

E

(Ⅰ)若 M 为 P A 中点,求证: A C // 平面 M D E ; (Ⅱ)求平面 P A D 与 P B C 所成锐二面角的余弦值.

M D
C

A

B

19. (本小题满分 12 分)某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年假的次数进行的调 查统计结果如下表所示: 休假次数 人数
0
5

1
10

2
20

3
15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从该单位任选两名职工, h 表示这两人休年假次数之和, “函数 f ( x ) = x 2 - h x - 1 用 记

在区间 ( 4 , 6 ) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; (Ⅱ)从该单位任选两名职工,用 x 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量 x 的分 布列及数学期望 E x .

20.(本小题满分 12 分)已知数列 { b n } 满足 b n + 1 = 和. (Ⅰ)求证:数列 { b n 1 2

1 2

bn +

1 4

,且 b1 =

7 2

,T n 为 { b n } 的前 n 项

} 是等比数列,并求 { b n } 的通项公式;

(Ⅱ)如果对任意 n ? N * ,不等式

12k 1 2 + n - 2Tn

? 2n

7 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)当 a =
1 4

2 3

x + 2ax + 3x .

3

2

时,求函数 f ( x ) 在 [ - 2 , 2] 上的最大值、最小值;
1 2

(Ⅱ)令 g ( x ) = ln( x + 1) + 3 - f ( x ) ,若 g ( x ) 在 ( 值范围.

,+

) 上单调递增,求实数 a 的取

22.(本小题满分 14 分)已知圆 C 1 : ( x + 1) 2 + y 2 = 8 ,点 C 2 (1 , 0 ) ,点 Q 在圆 C 1 上运动,
Q C 2 的垂直平分线交 Q C 1 于点 P .

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)设 M 、 N 分别是曲线 W 上的两个不同点,且点 M 在第一象限,点 N 在第三象限,若
uuur uuu r uuur O M + 2 O N = 2 O C 1 , O 为坐标原点,求直线 M N 的斜率 k ;

(Ⅲ)过点 S (0 , -

1 3

) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定

点 D ,使以 A B 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

青岛市高三教学质量统一检测

2011.03

高中数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. ACBBD DBABA AD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
1 3 , ] 2 2

13.

38

14. 3

15. [ ?

16.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? ( m ? n ) ? m ? s in x ? 1 ?
2

??

?

??

3 s in x c o s x ?

1 2

…………2 分

?

1 ? cos 2 x 2

?1?

3 2

s in 2 x ?

1 2

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

cos 2 x ? 2

? s in ( 2 x ?

?
6

) ? 2 …………5 分 2? 2 ? ? …………6 分

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: f ( A ) ? s in ( 2 A ?
x ? [0,

?
6

)?2

?
2

] 时, ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?
?
6 ?

?
6

?

?
2

时 f ( x ) 取得最大值 3

?
2

,A ?

?
3

…………8 分

由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A ∴ 1 2 ? b ? 1 6 ? 2 ? 4 b ?
2

1 2

∴ b ? 2 ………10 分

从而 S ?

1 2

b c s in A ?

1 2

? 2 ? 4 s in 6 0 ? 2 3 …………12 分
?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明:连结 P C ,交 D E 与 N ,连结 M N , ? P A C 中, M , N 分别为两腰 P A , P C 的中 点 ∴ M N // A C …………2 分

因为 M N ? 面 M D E ,又 A C ? 面 M D E ,所以 A C // 平面 M D E …………4 分 (Ⅱ) 设平面 P A D 与 P B C 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分别以
D A , D C , D P 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,

则 P (0, 0, 2 a ), B ( a , a , 0), C (0, 2 a , 0)
??? ? ??? ? P B ? ( a , a , ? 2 a ), B C ? ( ? a , a , 0) …………6 分 ?? 设平面 P A D 的单位法向量为 n1 , ?? 则可设 n1 ? (0,1, 0 ) …………7 分 ?? ? 设面 P B C 的法向量 n 2 ? ( x , y ,1) ,应有
?? ??? ? ? ? n ?P B ? ( x , y ,1) ?( a , a , ? 2 a ) ? 0 ? 2 ? ? ?? ???? ? n 2 ?B C ? ( x , y ,1) ?( ? a , a , 0 ) ? 0 ?

z

P

E

M? D A

N

y
C

x

B

? 2 ?x ? ?ax ? ay ? 2a ? 0 ? ? 2 即: ? ,解得: ? ,所以 ?? ax ? ay ? 0 2 ? ? y ? ? ? 2
?? ? n2 ? ( 2 2 2 2 ,1) …………10 分

,

?? ?? ? 2 n1 ? n 2 1 2 ? ? ∴ c o s ? ? ??? ?? ? …………11 分 2 | n 1 || n 2 | 1 ? 2

所以平面 P A D 与 P B C 所成锐二面角的余弦值为 19. (本小题满分 12 分)

1 2

…………12 分

解:(Ⅰ) 函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 1 过 (0, ? 1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有
2

? f (4) ? 0 ? 1 6 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ?? ? 即: ? ,解得: ? 4 6 ? f (6 ) ? 0 ? 3 6 ? 6? ? 1 ? 0

所以,? ? 4 或? ? 5 …………3 分 当 ? ? 4 时, P1 ?
C 20 ? C 10C 15
2 1 1

C 50

2

?

68 245

,当? ? 5 时, P2 ?

C 20 C 15 C 50
2

1

1

?

12 49

…………5 分

? ? 4 与 ? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式

所以 P ? P1 ? P2 ?

68 245

?

12 49

?

128 245

…………6 分

(Ⅱ) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值 分别是 0,1, 2, 3 ,…………7 分 于 是 P ?? ? 0 ? ?
C5 ? C
2 2 1 0

?C
2

2

2 0

?C

2 1 5

?

2 7

, P ( ? ? 1) ?

C 5C 10 ? C 10C 20 ? C 15C 20
1 1 1 1 1 1

C 50
1 1

C 50 C 5C 15 C 50
2 1 1

2

?

22 49



P (? ? 2 ) ?

C 5C 20 ? C 10 C 15
1 1

C 50

2

?

10 49

, P (? ? 3 ) ?

?

3 49

…………10 分

从而 ? 的分布列:
?

0
2

1
22 49

2
10 49

3
3 49

P
2 7 22 49

7

? 的数学期望: E ? ? 0 ?

? 1?

? 2?

10 49

? 3?

3 49

?

51 49
1 2



…………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 对任意 n ? N * ,都有 b n ? 1 ? 则{b n ?
1 2 } 成等比数列,首项为 b1 ? 1 2 1 2 bn ? 1 4

,所以 b n ? 1 ?
1 2

?

1 2

(bn ?

1 2

)

? 3 ,公比为

…………2 分

所以 b n ?

1

1 n ?1 1 n ?1 1 ? 3? ( ) , b n ? 3 ? ( ) ? …………4 分 2 2 2 2
1
n ?1

(Ⅱ) 因为 b n ? 3 ? ( )
2

?

1 2

所以 T n ? 3(1 ?

1 2

?

1 2
2

? ... ? 2

1
n ?1

)?

n 2

3(1 ? ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

n 2

? 6 (1 ?

1 2
n

)?

n 2

…………6 分

因为不等式

12k (1 2 ? n ? 2 T n )

? 2 n ? 7 ,化简得 k ?

2n ? 7 2
n

对任意 n ? N * 恒成立…………7 分

设 cn ?

2n ? 7 2
n

,则 c n ? 1 ? c n ?

2 ( n ? 1) ? 7 2
n ?1

?

2n ? 7 2
n

?

9 ? 2n 2
n ?1

…………8 分

当 n ? 5 , c n ? 1 ? c n , { c n } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , c n ? 1 ? c n , { c n } 为单调递增数列
1 16 ? c4 ? c5 ? 3 32

,所以, n ? 5 时, c n 取得最大值 对任意 n ? N * 恒成立, k ?

3 32 3 32

…………11 分 …………12 分

所以, 要使 k ?

2n ? 7 2
n

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) a ?
1 4

时, f ( x ) ? ?

2 3

x ?
3

1 2

x ? 3 x , f ? ( x ) ? ? 2 x ? x ? 3 ? ? (2 x ? 3)( x ? 1)
2

2

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 或 x ?
x
( ? 2, ? 1)

3 2

…………2 分
( ? 1, 3 2 ) 3 2 ( 3 2 , 2)

?1

f ?( x )

?

0
11 6

?

0

?

f (x)

?

?

?
3 2

27 8

?

可以看出在 x ? ? 1 取得极小值,在 x ? 而 f (?2) ?
4 3 , f (2) ? 27 8 8 3

取得极大值…………5 分
11 6

由此, 在 [ ? 2, 2 ] 上, f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得最小值 ?

,在 x ?

3 2

处取得最小值

…………6 分

(Ⅱ) g ( x ) ? ln( x ? 1) ? 3 ? f ?( x ) ? ln( x ? 1) ? 3 ? ( ? 2 x 2 ? 4 ax ? 3) ? ln( x ? 1) ? 2 x 2 ? 4 ax
1 x ?1 4 x ? 4 (1 ? a ) x ? 1 ? 4 a
2

g (x) ?
'

? 4 x ? 4a ?

x ?1

…………7 分

在 (?

1 2

, ? ? ) 上恒有 x ? 1 ? 0 4 ? 4a 8 ? a ?1 2

考察 h ( x ) ? 4 x 2 ? 4(1 ? a ) x ? 1 ? 4 a 的对称轴为 x ? ? (i)当
a ?1 2 a ?1 2 ? ? 1 2 1 2 1 2

,即 a ? 0 时,应有 ? ? 16(1 ? a ) 2 ? 16(1 ? 4 a ) ? 0

解得: ? 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 0 时成立…………9 分 (ii)当
? ?

,即 a ? 0 时,应有 h ( ?

) ? 0 即: 1 ? 4 (1 ? a ) ?

1 2

? 1 ? 4a ? 0

解得 a ? 0 …………11 分 综上:实数 a 的取值范围是 a ? 0 …………12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 Q C 2 的垂直平分线交 Q C 1 于点 P . 所以 PQ ? PC
PC
2

2

? PC 1 ? PC 1 ? PQ ? QC 1 ? 2 2 ? C 1 C 2 ? 2

所以动点 P 的轨迹 ? 是以点 C 1 , C 2 为焦点的椭圆……………2 分 设椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

则 2 a ? 2 2 , 2 c ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,则椭圆的标准方程为 (Ⅱ) 设 M ( a1 , b1 ), N ( a 2 , b 2 ) ,则 a1 2 ? 2 b1 2 ? 2, a 2 2 ? 2 b2 2 ? 2 因为 O M ? 2 O N ? 2 O C 1 则 a1 ? 2 a 2 ? ? 2, b1 ? 2 b2 ? 0 由①②解得 a 1 ?
1 2 , b1 ? 14 4

x

2

? y

2

? 1 ……4 分

2



???? ?

????

???? ?


, a2 ? ? 5 4 , b2 ? ? 14 8

……………7 分

所以直线 M N 的斜率 k ?

b 2 ? b1 a 2 ? a1
1 3

?

3 14 14

……………8 分

(Ⅲ)直线 l 方程为 y ? k x ?
1 ? y ? kx ? ? ? 3 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? 2 ?

,联立直线和椭圆的方程得:

得 9(1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 12 kx ? 16 ? 0 …………9 分

由题意知:点 S ( 0 , ? ) 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点,
3

1

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 则 x 1 ? x 2 ?

4k 3 (1 ? 2 k )
2

, x1 x 2 ? ?

16 9 (1 ? 2 k )
2

假设在 y 轴上存在定点 D ( 0 , m ) ,满足题设,则 D A ? ( x1 , y1 ? m ), D B ? ( x 2 , y 2 ? m ) 因为以 A B 为直径的圆恒过点 D , 则 D A ? D B ? ( x1 , y1 ? m ) ? ( x 2 , y 2 ? m ) ? 0 ,即: x1 x 2 ? ( y1 ? m )( y 2 ? m ) ? 0 因为 y 1 ? k x 1 ?
1 3 , y2 ? kx2 ? 1 3
2

??? ?

????

??? ???? ?

(*)

则(*)变为 x1 x 2 ? ( y1 ? m )( y 2 ? m ) ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? m ( y1 ? y 2 ) ? m …………11 分

? x1 x 2 ? ( kx1 ?

1 3

)( kx 2 ?

1 3

) ? m ( kx1 ?

1 3
2

? kx 2 ?

1 3

)?m

2

? ( k ? 1) x1 x 2 ? k (
2

1 3

? m )( x1 ? x 2 ) ? m ?

2 3
2

m?

1 9

? ?

1 6 ( k ? 1)
2

9 ( 2 k ? 1)
2
2 2

? k(

1 3

? m)
2

4k 3 ( 2 k ? 1)
2

? m ?

2 3

m ?

1 9

?

1 8 ( m ? 1) k ? (9 m ? 6 m ? 1 5 ) 9 ( 2 k ? 1)
2

由假设得对于任意的 k ? R , D A ? D B ? 0 恒成立, 即?
?m ? 1 ? 0 ?
2

??? ???? ?

?9m ? 6m ? 15 ? 0 ?
2

解得 m ? 1 ……13 分

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………14 分



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