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北京市丰台区2015年高三一模数学理试题+详细解析版



丰台区 2014—2015 学年度第二学期统一练习(一)
2015.3

高三数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内,复数 A. (1, ?1) 答案:A 解析:

7?i 对应

的点的坐标为 3 ? 4i
B. (?1,1) C. (

17 , ?1) 25

D. (

17 , ?1) 5

? 7 ? i ? ? ?3 ? 4i ? ? 25 ? 25i ? 1 ? i ,在复平面上对应的点的坐标是 (1, ?1) 7?i ? 3 ? 4i ? 3 ? 4i ? ? ? 3 ? 4i ? 25
D. 16

4.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 A. 7 B.10 C. 11

答案:C

步骤 开始 第一次 第二次 第三次 解析:计算过程如下: 第四次
2

m 1 2 3 4 5

n 5 5 5 5 5

S 1 2 4 7 11

5.在极坐标系中,曲线 ? ? 6? cos? ? 2? sin ? ? 6 ? 0 与极轴交于 A,B 两点,则 A,B 两点间的距离等 于 A. 答案:B
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 1 页 共 15 页

3

B. 2 3

C. 2 15

D. 4

解析:化简极坐标方程为直角坐标方程 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 6 ? 0 ,易知此曲线是圆心为 ?3,1? ,半径为 2

的圆,如图示:

,可计算 AB ? 2 3

6.上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

A. 4

B. 5

C. 3 2

D. 3 3

答案:D

解析:根据三视图画出此几何体的直观图: 可计算出 AF ? 3 3 ? EG ? 5 ? AG ? 3 2 ∴最长距离为 3 3

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 2 页 共 15 页

8.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 B , C 分别在 x 轴和 y 轴非负半轴上,点 A 在第一象限,且

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 4 ,那么 O , A 两点间距离的
A. 最大值是 4 2 ,最小值是 4 C. 最大值是 4 2 ,最小值是 2 答案:A 解析:因为 ?BAC ? ?BOC ? 90 ,∴A、O 在以 BC 为直径的圆上;又根据题意, BC ? 4 2 ,作出 点 A 的轨迹如图示:
?

B. 最大值是 8 ,最小值是 4 D. 最大值是 8 ,最小值是 2

OA 最长距离为 4 2 ,即 OA 恰为直径时:



OA 最短距离为 4,此时 B 或 C 与原点重合:

第二部分 (非选择题 共 110 分)
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 3 页 共 15 页

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? y ? 4 ? 0, ? 11.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 6____. ? x ? y ? 0, ?
答案:

解析:作出可行域: 可知在 ? 2, 2? 处取得最大值 6 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x , 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是____. 答案: (?1, 0) 解析:函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,可转化为函数 y ? f ( x) 与函数 y ? m 的图像有四 个交点。由题作出函数 y ? f ( x) 的图像:

可知当 m ? (?1,0) 时满足要求 14.已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到集合 A 的
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 4 页 共 15 页

距离, 记作 d ( P, A) . 如果集合 A={(x, y) | x ? y ? 1(0 ? x ? 1)}, 点 P 的坐标为 (2, 0) , 那么 d ( P, A) ? 1; 如果点集 A 所表示的图形是边长为 2 的正三角形及其内部,那么点集 D ? {P | 0 ? d ( P, A) ? 1} 所表示 的图形的面积为 6 ? ? ____. 答案: 解 析 : 根 据 题 意 , 点 P (2, 0) 到 线 段 A={(x, y) | x ? y ? 1(0 ? x ? 1)} 最 短 距 离 为 1 , 如 图 示

若集合 A 表示边长为 2 的正三角形及其内部,则根据题意,满足 D ? {P | 0 ? d ( P, A) ? 1} 所表示的图形

是: ,其面积为 6 ? ? 二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)

16. (本小题共 13 分)

17. (本小题共 14 分)
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 5 页 共 15 页

18.(本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值. 答案: (Ⅰ) x ? y ? 1 ? 0 (Ⅱ)略(Ⅲ) ea ? a 2

解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2 x , f (0) ? 1 , 所以 f ? ( x) ? ex ? 2 . 因为 f ? (0) ? e0 ? 2 ? ?1 ,即切线的斜率为 ?1 , 所以切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ? ( x) ? ex ? 2 . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x0 ? ln 2 . 当 x ? (??, ln 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递减, 当 x ? (ln 2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2, ??) 上单调递增, 所以当 x ? ln 2 时,函数最小值是 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 命题得证. (Ⅲ)因为 f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ? ( x) ? ex ? a . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x ? ln a ? 0 . ????????8 分 ????????4 分

1 a ?1 ? ? 0, a a 所以 M (a) ? a ? ln a 在 (1, ??) 上单调递增,且 M (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ,
当 a ? 1 时,设 M (a) ? a ? ln a ,因为 M ?(a ) ? 1 ? 所以 M (a) ? a ? ln a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 a ? ln a . 所以当 x ? (0,ln a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln a) 上单调递减; 当 x ? (ln a, a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln a, a) 上单调递增. 所以 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值等于 max{ f (0), f (a)} ,
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 6 页 共 15 页

因为 f (0) ? e0 ? a ? 0 ? 1 , f (a ) ? ea ? a 2 , 不妨设 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ? 1( a ? 1 ), 所以 h?(a) ? ea ? 2a . 由(Ⅱ)知 h?(a) ? ea ? 2a ? 0 在 (1, ??) 恒成立, 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 h(1) ? e1 ?12 ?1 ? e ? 2 ? 0 , 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ?1 ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 f (a ) ? f (0) . 所以当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 . ????????13 分

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,右顶点 A 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点.直线 l : ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.

???? ?

??? ? ????

答案: (Ⅰ)

x2 2 ? y 2 ? 1(Ⅱ) k ? ? 4 2

解析: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 8x , 所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) , 所以 a ? 2 . 又因为 e ?
2

c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2

所以 b ? a ? c ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????4 分

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 7 页 共 15 页

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

???? ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , ? y ? k ( x ? 1) ?
得 x1 ? x2 ? 2 ? 即M(

?2k 8k 2 ?2 ?2? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k 2 +1 4k ? 1 4k ? 1

?2 ?2 k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上,

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1 由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直, ?2k ? (?2k ) 2 2 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 4k ? 1 . ????????14 分 ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
所以

20.(本小题共 13 分) 如果数列 A :a1 ,a2 ,?,am (m ? Z ,且 m ? 3) ,满足:① ai ? Z ,? ② a1 ? a2 ? ? ? am ? 1,那么称数列 A 为“Ω”数列. (Ⅰ)已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是否为“Ω”数 列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0. 答案: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列(Ⅱ)不存在(Ⅲ)略 解析: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列. (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, ????????2 分

m m ? ai ? (i ? 1, 2,?, m) ; 2 2

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 8 页 共 15 页

则由 a1 ? a2 ? ? ? am ? 1

得 a1 ? am ?

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
????????7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列: 设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) ,

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? S n ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,?, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因为区间 [ ?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个,所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) , 2 2

那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. ????????13 分

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 9 页 共 15 页

丰台区 2015 年高三年级第二学期数学统一练习(一)


题号 答案 1 A 2 B

学(理科)参考答案
3 C 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

?2 2

10.4,24

11.6 14.1, 6 ? ?

12. (?1, 0)

13.3,

12 10 5

注:第 10,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos
2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2

?

? 3 1 (x ? ) . sin ?x ? c o ? s x ? s i n? 6 2 2
2?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

因为 f ( x ) ? sin( 2 x ? 所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

), x?R ,

?
6

) ?1.
????????8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. (Ⅱ)令 2k? ?

(k ? Z ) , 2 6 2 2? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 得 2k? ? 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) .????????13 分

16.(本小题共 13 分)
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 10 页 共 15 页

3 ?3 q? ? ?4 10 解: (Ⅰ)因为 ? ?p ? q ? 1 ?1 ? 5 ?
所以 p ?

2 2 ,q ? . 5 5

????????4 分

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A, 则 P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 .

5

5 4

5 4

5

答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 .

5
(Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.

????????7 分

1 1 1 P( X ? 7) ? ? ? , 5 4 20 2 1 2 3 2 P( X ? 9) ? ? ? ? ? ; 5 4 5 4 5
所以 X 的分布列为: X P 7

1 3 2 1 1 P( X ? 8) ? ? ? ? ? , 5 4 5 4 4 2 3 3 P( X ? 10) ? ? ? . 5 4 10
8 9 10

1 20

1 4

2 5

3 10
????????13 分

17.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)设 PA 中点为 G,连结 EG , DG . 因为 PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形. 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB , CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD . 所以四边形 CDGE 为平行四边形. 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 所以 CE //平面 PAD . ????????4 分 (Ⅱ)如图建立空间坐标系,则 B(4,0,0) , C (4,4,0) ,

P

G

E

A

D

B

C

z P

E (4,0,2) , P(0,0, 4) , D(0,4,0) ,
所以 PC ? (4,4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) ,

??? ?

??? ?

E

A

D y

??? ? PD ? (0,4, ?4) . ?? 设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ,
B x

C

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 11 页 共 15 页

?? ??? ? ? m ? PC ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? 所以 ? ?? ??? . ?? ? 2 x ? z ? 0 m ? PE ? 0 ? ? ?
?x ?1 ?? ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? (1,1, 2) . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? PD ? ?? ? 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ? ??? PD m

?4 3 ? . 6 6 ?4 2

所以 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值是

3 . 6

????????9 分

(Ⅲ)依题意,可设 F (a,0,0) ,则 FE ? (4 ? a,0, 2) , DE ? (4, ?4,2) . 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ?

?

? ???? ? ?n ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?? 则 ? ? ??? . ? (4 ? a ) x ? 2 z ? 0 n ? FE ? 0 ? ? ?

z P

? x?2 ? a ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? , 2 ? ? ?z ? a ? 4
a 2 因为平面 DEF ? 平面 PCE , ?? ? a 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? ? 2a ? 8 ? 0 , 2 12 12 ? 4 , 点 F ( , 0, 0) . 所以 a ? 5 5 AF 3 ? . 所以 AB 5
所以 n ? (2, , a ? 4) . 18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2 x , f (0) ? 1 , 所以 f ? ( x) ? ex ? 2 . 因为 f ? (0) ? e0 ? 2 ? ?1 ,即切线的斜率为 ?1 , 所以切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

E

A

D y

F B x C

????????14 分

????????4 分

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 12 页 共 15 页

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ? ( x) ? ex ? 2 . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x0 ? ln 2 . 当 x ? (??, ln 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递减, 当 x ? (ln 2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2, ??) 上单调递增, 所以当 x ? ln 2 时,函数最小值是 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 命题得证. (Ⅲ)因为 f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ? ( x) ? ex ? a . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x ? ln a ? 0 . ????????8 分

1 a ?1 ? ? 0, a a 所以 M (a) ? a ? ln a 在 (1, ??) 上单调递增,且 M (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ,
当 a ? 1 时,设 M (a) ? a ? ln a ,因为 M ?(a ) ? 1 ? 所以 M (a) ? a ? ln a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 a ? ln a . 所以当 x ? (0,ln a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln a) 上单调递减; 当 x ? (ln a, a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln a, a) 上单调递增. 所以 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值等于 max{ f (0), f (a)} , 因为 f (0) ? e0 ? a ? 0 ? 1 , f (a ) ? ea ? a 2 , 不妨设 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ? 1( a ? 1 ), 所以 h?(a) ? ea ? 2a . 由(Ⅱ)知 h?(a) ? ea ? 2a ? 0 在 (1, ??) 恒成立, 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 h(1) ? e1 ?12 ?1 ? e ? 2 ? 0 , 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ?1 ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 f (a ) ? f (0) . 所以当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 . 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 8x , 所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) ,
丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 13 页 共 15 页

????????13 分

所以 a ? 2 . 又因为 e ?
2

c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2

所以 b ? a ? c ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????4 分

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

???? ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , ? y ? k ( x ? 1) ?
得 x1 ? x2 ? 2 ? 即M(

?2k 8k 2 ?2 ?2? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k 2 +1 4k ? 1 4k ? 1

?2 ?2 k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上,

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1 由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直, ?2k ? (?2k ) 2 2 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 4k ? 1 . ????????14 分 ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
所以 20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列. (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, 则由 a1 ? a2 ? ? ? am ? 1 得 a1 ? am ? ????????2 分

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
????????7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列:

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 14 页 共 15 页

设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) ,

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? S n ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,?, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因为区间 [ ?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个,所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) , 2 2

那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 15 页 共 15 页



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