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椭圆的定义、标准方程



第一讲 椭圆的定义、标准方程和几何性质
1、椭圆的定义:把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 2a(2a 大于|F1F2|)的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离2c叫做椭圆的焦距.其中a2 =b2+c2,2a叫做椭圆的长轴,a为长半轴,2b叫做短轴,b叫做短半轴。 注意: (1)两定点??两点间的距离 (2)轨迹上任意点到两定点的

距离的和确定; (3)当 |PF1| + |PF2| > |F1F2| 时,轨迹是椭圆; 当 |PF1| + |PF2| = |F1F2| 时,轨迹是线段 |F1F2| ; 当 |PF1| + |PF2| < |F1F2| 时,形不成轨迹。 (4)在 |PF1| + |PF2| 不变的情况下,若两点间距离变长, ,则所画出的椭圆较扁,若 两点间距离变短, ,则所画出的椭圆较圆,因此,椭圆的形状与两定点间的距离及与两定点 F1,F2 的距离之和有关。 例1取长度为10cm的细绳,把它的两端固定在画图板上的F 1,F2两点,当绳长大于 两点间的距离时,可以画出一个椭圆,如果椭圆上的一点P到F1的距离为4cm,则|P F2|的长度为 。 例2动点P到两定点F 1(-4,0) ,F2(4,0)的距离的和是8,则动点P的轨迹 为: 。 2、椭圆的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上, 中心在原点的椭圆标准方程是: x 2
a
2

y (其中 a>b>0, 且 a2=b2+c2) ?b 2 ? 1,

2

焦点是F1(-c,0) ,F2(c,0) ,中心在坐标原点,焦距为2c。 (2) 焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是
y2 a2 x (其中 a>b>0,且 a2=b2+c2) ?b 2 ? 1,
2

焦点是F1(0,-c) ,F2(0,c) ,中心在坐标原点,焦距为2c。
2 例3已知椭圆的方程为 x 8

y ?m 2 ? 1,焦点在x轴上,则其焦距为:

2



例4判断下列方程是否表示椭圆,若是,求出a,b,c的值。
2 (1) x2 2 (3) x4

? ?

y2 2 y2 2

?1 ?1

2 (2) x4

?
2

y2 2

?1

(4) 4 y

? 9 x 2 ? 36

二、椭圆的简单的几何性质: 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图形

焦点坐标 对称性

F1 (?c, 0) , F2 (c, 0)

F1 (0, c) , F2 (0, ?c)

关于 x 轴, y 轴,原点对称
A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,

关于 x 轴, y 轴,原点对称
A1 (0, ?a) , A2 (0, a ) , B1 (?b, 0) , B2 (b, 0)

顶点坐标
B1 (0, ?b) , B2 (0, b)

范围 长轴短轴 离心率
离心率的定义: e

?a ? x ? a , ?b ? y ? b
长轴: 2a ;短轴: 2b .
0?e? c ?1 a

?b ? x ? b , ?a ? y ? a
长轴: 2a ;短轴: 2b .
0?e? c ?1 a

?

c a

,即 e ?

2 1? ( b a ) ,范围:0<e<1。

椭圆的形状与e的关系:e→0,即c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置圆,此时也可以 认为圆为椭圆在e=0时的特殊例子;e→1,即c→a,椭圆变扁,直至成为极限位置线 段F1F2,此时也可以认为线段F1F2为椭圆在e=1时的特例。 例5已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0) ,a=3b,求椭圆的标准方程.

例6 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 3 和 3 ,过 P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5

2 5

有关椭圆问题的易错辨析: 1、对椭圆的定义理解不全面 平面内一点M到两定点F1(0,-5) ,F2(0,5)的距离和为10,求M轨迹的形状

2、焦点位置不清 已知椭圆的焦点在坐标轴上,且过点A(5,4) ,离心率e= 5 ,求次椭圆的标准方程。
3

3、对椭圆的标准方程理解有误
1 求经过点A( 1 ,B( ? 1 3 ,3) 2 ,0)的椭圆的标准方程。

椭圆的灵活运用: 1、求与焦点有关的距离之和
x 把椭圆 25
2

y ? 16 ? 1的长轴AB分成8等分,过每个等分点作x轴的垂线,交椭圆的上半部

2

分分别为P1,P2?P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则 PF 1 2、求离心率范围
2 设椭圆 x2 2

? P2 F ? ??? ? P7 F ?

a

y ?b 2 ? 1( a ? b ? 0) 上任意一点P,它的两个焦点的连线互相垂直,求离心率

e的取值范围。

求椭圆方程的基本方法 1、定义法 等腰直角三角形ABC中,斜边BC的长为 4

2 ,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个

在线段AB上,且椭圆经过A、B两点,求该椭圆的标准方程。

2、待定系数法 求经过两点P1(5, ?3 3 ) 、P2(-8, 18 5 )的椭圆的标准方程。

3、代入法 已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点P1 ( 求椭圆的方程。

6, 1) , P ( ? 3, ? 2)


【基础练习】 1、已知椭圆的焦点是F1(-1,0)F2(1,0) ,P为椭圆上的一点,且|F1F2| 是|PF1|,|PF2|的等差中项,求椭圆的方程。

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在 a 2 b2 ??? ? ??? ? 椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2PB ,则椭圆的离心率是( )
2、 (2009 浙江文)已知椭圆
21 世纪教 育网

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3
2 2

D.

1 2

3.(2009 陕西卷文) “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 4.(2009 全国卷Ⅰ文)已知椭圆 C : 交 C 于点 B。若 FA ? 3FB ,则 AF = (A) (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 2

??? ?

??? ?

????

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

5.(2009 北京文)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 9 2
.

| PF2 |?

; ?F1 PF2 的大小为

6、已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1,0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的 a 2 b2

弦长为 1 .求椭圆 C1 的方程;

7、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

求椭圆 E 的方程;



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