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2014-2015学年湖北省黄石市有色一中高二(下)期中数学试卷(文科) (Word版含解析)


2014-2015 学年湖北省黄石市有色一中高二(下)期中数学试卷(文科)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填在答题卡上) 1. (5 分) (2015 春?黄石校级期中)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={x|y=
2

},则

(?RA)∪(?RB)=( ) A. ∪ B. C. ,k∈Z. 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 余弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查. 18. (12 分) (2015 春?黄石校级期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn﹣1=0 (n≥2,n∈N) ,a1= . (1)求证:数列{ }为等差数列.并求数列{an}的通项公式 an. ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn 的值.

(2)记数列{bn}的通项公式为 bn=

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n≥2 时,化简 Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0,从而可得 从而证明{ }是等差数列;再求数列{an}的通项公式 an; = ;从而可得 Tn=b1+b2+…+bn=1+ + +…+ + , =2 及 =2;

(2)化简 bn=

2Tn=2+

+ +…+

+

;利用错位相减法求 Tn 的值.

解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,又 an+2SnSn﹣1=0, 则有 Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0①, 若 Sn=0,则 a1=S1=0 与 a1= 矛盾,故 Sn≠0; 由①得 所以数列{ 故 =2,又 =2;

}是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. ; ,而 n=1 时,a1= ;

=2+2(n﹣2)=2n,Sn=

当 n≥2 时,an=﹣2SnSn﹣1=﹣

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(2)bn=

=



∵Tn=b1+b2+…+bn=1+ +

+…+

+

①,

2Tn=2+

+ +…+

+

②;

∴②﹣①得,Tn=3+ + 故 Tn=4﹣ .

+…+



=4﹣



点评: 本题考查了等差数列的判断与证明及数列前 n 项和的应用,同时考查了错位相减法 的应用,属于中档题. 19. (10 分) (2013?合肥二模)某校在筹办 2013 年元旦联欢会前,对学生“是喜欢曲艺还是 舞蹈节目”作了一次调查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示: 喜欢曲艺 喜欢舞蹈 总计 40 18 58 男生 15 27 42 女生 55 45 100 总计 (I)若从喜欢舞蹈节目的 45 名学生中按性别分层随机抽取 5 名,则女生应该抽取几名? (II)在(I)中抽取的 5 名学生中取 2 名,求恰有 1 名男生的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由表中数据可得,求得每个个体被抽到的概率,则女生应该抽取的女生数是用 此概率乘以女生的总人数所得的结果. (II)在(I)中抽取的 5 名学生中取 2 名,所有的取法有 2×3=6 种,由此求得恰有 1 名男生的概率. 解答: 解: (I)由表中数据可得,每个个体被抽到的概率为 = ,从喜欢舞蹈节目的 45 种,求恰有 1 名男生的取法有

名学生中按性别分层随机抽取 5 名,则女生应该抽取的女生数为 27× =3. (II)在(I)中抽取的 5 名学生中取 2 名,所有的取法有 法有 2×3=6 种, =10 种,求恰有 1 名男生的取

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故恰有 1 名男生的概率为

= .

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,分层抽样的定义和方法,属于基础题. 20. (12 分) (2015 春?黄石校级期中)一个多面体如图所示,四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形,AB=FB,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB,且 ED=1. (1)求证:平面 ACE⊥平面 ACF. (2)求多面体 AED﹣BCF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 OE⊥平面 ACF,即可证明平面 ACE⊥平面 ACF. (2)多面体 ADE﹣BCF 的体积 V= ,分别求出体积,即可求多

面体 AED﹣BCF 的体积. 解答: (1)证明:连接 BD,AC 与 BD 交于点 O,连接 OE,OF. ∵四边形 ABCD 是四边形 ABCD 是正方形,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB ∴DE⊥平面 ABCD,AE=CE,OE⊥AC ① 又∵DE=1,CD=2, 则 OE= ,OF= ,EF=3 2 2 2 ∴OE +OF =EF ,则 OE⊥OF ② 由①,②得,OE⊥平面 ACF, ∴平面 ACF⊥ACE; (2)解:由(1)可知,三棱锥 E﹣ACD,三棱锥 F﹣ABC 的高分别是 DE,BF.且 AC⊥ 平面 BDEF, 故多面体 ADE﹣BCF 的体积 V= 而 , , =2

∴多面体 ADE﹣BCF 的体积 V=4.

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点评: 本题考查了面面垂直的判定,考查了用分割法求多面体的体积,考查了学生的空间 想象能力与推理论证能力.

21. (12 分) (2014?湖北校级模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短 轴端点点恰好是抛物线 x =8 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(2,3) 、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动 点, ①若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆 C 的一个顶点恰好是抛物线 此列式解出出 a,b 的值,即可得到椭圆 C 的方程. (Ⅱ)①设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 ,将直线的方程代入椭 的焦点,离心率等于 .由

圆的方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得 四边形 APBQ 的面积,从而解决问题. ②设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为﹣k,PA 的直线方程为 y﹣3=k(x﹣2)将直线的 方程代入椭圆的方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 再结合根系数的关系利用弦长公 式即可求得 x1+2,同理 PB 的直线方程为 y﹣3=﹣k(x﹣2) ,可得 x2+2,从而得出 AB 的斜 率为定值 .

解答: 解: (Ⅰ)设 C 方程为

,则





,得 a=4

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∴椭圆 C 的方程为

.…(4 分) ,

(Ⅱ)①解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为
2 2

代入

,得 x +tx+t ﹣12=0

由△>0,解得﹣4<t<4…(6 分) 2 由韦达定理得 x1+x2=﹣t,x1x2=t ﹣12. ∴ 由此可得:四边形 APBQ 的面积 ∴当 t=0, .…(8 分) = = .

②解:当∠APQ=∠BPQ,则 PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k 则 PB 的斜率为﹣k,直线 PA 的直线方程为 y﹣3=k(x﹣2)


2 2 2

(1)代入(2)整理得(3+4k )x +8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k) ﹣48=0 ∴ …(10 分)

同理直线 PB 的直线方程为 y﹣3=﹣k(x﹣2) ,可得



…(12 分)

所以 AB 的斜率为定值 .…(14 分) 点评: 本题考查的知识点是椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题,其中根据已知 条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键.
3

22. (14 分) (2015 春?黄石校级期中)已知函数 f(x)=ax +

+bx(a,b 为常数)

(1)若 y=f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 x﹣y+6=0,求函数 f(x)的解析式;
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(2)在(1)的条件下,求函数 y=f(x)的图象与 y=﹣ +m 的图象交点的个数; (3)当 a=1 时,?x∈(0,+∞) ,lnx≤f'(x)恒成立,求 b 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,根据导数的几何意义即可求函数 f(x)的解析式; (2)求出函数的导数,求出函数的极值即可 (3)将不等式恒成立转化为求函数的最值即可. 2 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 f′(x)=3ax +(2﹣3a)x+b,由题知 ∵y=f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 x﹣y+6=0, ∴
3

,即

,解得 a=﹣1,b=3.

则 f(x)=﹣x +

+3x.
3

(Ⅱ)由 f(x)=﹣x +
2

+3x,可得 f′(x)=﹣3x +5x+3, ,

2

则 y=﹣ +m=﹣ (﹣3x +5x+3﹣9x﹣3)+m=

则由题意函数 f(x)的图象与 y=﹣ +m 的图象交点的个数等价于方程﹣ x+
3

+3x=
3 2

实根的个数,

即 m=﹣x +x +x 根的个数. 3 2 等价于 g(x)=﹣x +x +x 的图象与直线 y=m 的交点个数,…(6 分) 2 g′(x)=﹣3x +2x+1=﹣(x﹣1) (3x+1) , 由 g′(x)>0,解得 由 g′(x)<0,解得 x< <x<1,此时函数递增, 或 x>1,此时函数递减. )=
3 2

则函数 g(x)的极小值为 g(

,极大值为 g(1)=1…(8 分)

根据上面的讨论,作出 g(x)=﹣x +x +x 的大致图象与直线 y=m 的位置如图,由图知, 当 当 m= 当 m< <m<1 时,函数 f(x)的图象与 y=﹣ +m 的图象有三个不同交点; 或 m=1 时,函数 f(x)的图象与 y=﹣ +m 的图象有两个不同交点; 或 m>1 时,函数 f(x)的图象与 y=﹣ +m 的图象有 1 个交点.…(10 分)
3

(Ⅲ)当 a=1 时,f(x)=﹣x

+bx,f′(x)=3x ﹣x+b,
2

2

若,?x∈(0,+∞) ,lnx≤f′(x)恒成立,等价于 lnx≤3x ﹣x+b,
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即 b≥lnx﹣3x +x 在(0,+∞)上恒成立, 2 令 h(x)=lnx﹣3x +x,只需 b≥h(x)max. h′(x)= 故当 x∈(0, )时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当 x∈( ,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递增. ∴h(x)max=h( )=﹣ln2﹣ , ∴b≥﹣ln2﹣ , 因此 b 的范围是[﹣ln2﹣ ,+∞) . 点评: 本题主要考查导数的综合应用,涉及的知识点有导数的几何意义以及函数极值和导 数之间的关系,利用导数求函数的最值,综合性较强,运算量较大. ,

2

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