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广东省肇庆市2014届高三4月第二次模拟数学理试题



广东省肇庆市 2014 届高三 4 月第二次模拟 数
参考公式:锥体的体积公式 V ?

学(理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
2

n(ad ? bc) 2 2 .

P( K ? k ) 与 k 对应 2 ? 2 列联表随机变量 K ? (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
值表: 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? (m ? 2m ? 3) ? (m ? 1)i 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 m ?
2

A. ?3

B.3
2

C.1

D.1 或 ?3

2.已知集合 M ? {1, 2}, N ? {1, a } ,若 M ? N ? M ,则实数 a ? A.2 B. 2 C. ? 2 D. ? 2

3.图 1 分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布 的正态分布密度曲线,则下列说法不正确 的是 ... A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等; B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次 为甲、乙、丙; C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次 为甲、乙、丙; D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好 4.若如图 2 所示的程序框图输出的 S 是 31 , 则在判断框中 M 表示的“条件”应该是 A. n ? 3 C. n ? 5 B. n ? 4 D. n ? 6

5.已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, y) ,则“ x ? ?4 且 y ? 2 ” 是“ a ? b ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的体积是
高三数学(理科)第 1 页 共 11 页

A.

20 5 cm3 3
3

B.30 cm D.42 cm

3

C.40 cm

3

7.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a , x ? 1 , ?? x ? 2 a , x ? 1

若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为 A. ?

3 5

B.

3 5
2

C. ?
2

3 4
4 *

D.

3 4

8.设有一组圆 C k : ( x ? k ? 1) ? ( y ? 3k ) ? 2k (k ? N ) . 下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交;

③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 4,a2 ? a3 ? 8 ,则 a5 ? 10.不等式 | x ? 3| ? | 2 x |? 0 的解集为 ▲ . ▲ .

11.若双曲线 12.在 ( x ?

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ?2 x ,则双曲线的离心率等于 ▲ . a 2 b2

1 12 ) 的展开式中, x 3 的系数为 ▲ . 3x

13. 直角坐标系 xOy 中, 已知两定点 A (1, 0) , B (1, 1) . 动点 P( x, y ) 满足 ? 则点 M ( x ? y, x ? y) 构成的区域的面积等于 ▲ .

? ?0 ? OP ? OB ? 2 ? ?0 ? OP ? OA ? 1









14. (坐标系与参数方程选做题)已知 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos t ( t 为参数),C 在点(0,3) ? y ? 3sin t

处的切线为 l,若以直角坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 ▲ . 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,在 ?ABC 中,AB=BC, 圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线 于点 D, BD=4, CD ? 2 7 ,则 AC 的长等于 ▲ .
高三数学(理科)第 2 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知锐角△ABC 的面积等于 3 3 ,且 AB=3,AC=4. (1)求 sin(

?
2

? A) 的值;

(2)求 cos(A ? B) 的值. 17.(本小题满分 12 分) 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机 抽取 200 名学生,得到如下 2? 2 列联表: 喜欢数学课 男 女 合计 30 20 50 不喜欢数学课 60 90 150 合计 90 110 200

(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关 系”? (2)若采用分层抽样的方法从不喜欢 数学课的学生中随机抽取 5 人,则男生和女生抽 ... 取的人数分别是多少? (3)从(2)随机抽取的 5 人中再随机抽取 3 人,该 3 人中女生的人数记为 ? ,求 ? 的 数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且?DAB=60?. 侧面 PAD 为正三角形,其所在的平 面垂直于底面 ABCD,G 为 AD 边的中点. (1)求证:BG?平面 PAD; (2)求平面 PBG 与平面 PCD 所成二面角的平面角的 余弦值; (3) 若 E 为 BC 边的中点, 能否在棱 PC 上找到一点 F, 使平面 DEF?平面 ABCD,并证明你的结论. 19.(本小题满分 14 分) 如图 6,圆 C : ( x ? 2) ? y ? 36 ,P 是圆 C 上的任意
2 2

一动点,A 点坐标为(2,0) ,线段 PA 的垂直平分线 l 与半 径 CP 交于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹 G 的方程; (2)已知 B,D 是轨迹 G 上不同的两个任意点,M 为 BD 的中点. ①若 M 的坐标为 M(2,1) ,求直线 BD 所在的 直线方程;②若 BD 不经过原点,且不垂直于 x 轴,点 O 为轨迹 G 的中心. 求证: 直线 BD 和直线 OM 的斜率之积是常数 (定值) . 20.(本小题满分 14 分) 已知正项数列 { x n } 满足 x n ?

1 x n ?1

? 2 ( n ? N * ).

高三数学(理科)第 3 页 共 11 页

(1)证明: x n ?

1 ? 2; xn

(2)证明: x n ? x n ?1 ; (3)证明:

n ?1 n ?1 . ? xn ? n n
1 x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x , a ? R . (1)若 a=1,判断函数 f ( x) 是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)设函数 g ( x) ? ? 数 a 的取值范围.

a .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实 x

高三数学(理科)第 4 页 共 11 页

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B

8 题解析:圆 C k 的圆心(k-1,3k)在直线 y=3(x+1)上运动,因此存在定直线 y=3(x+1) 与所有的圆均相交;因圆 C k 的半径 rk ?

2k 2 在变化,故①③错,②正确.
2 2 4

对于④:假设存在某个圆经过原点,则 (k ? 1) ? (3k ) ? 2k (*) ,下面转化为这个关 于 k 的方程是否有正整数解,可以从 k 的奇偶性分析: ①若 k 为奇数,则 k-1 为偶数,3k 为奇数,于是 ( k ? 1) 为偶数, (3k ) 为奇数,从而方
2 2

程(*)的左边为奇数,但方程(*)的右边为偶数,矛盾! ②若 k 为偶数,则 k-1 为奇数,3k 为偶数,于是 ( k ? 1) 为奇数, (3k ) 为偶数,从而方
2 2

程(*)的左边为奇数,但方程(*)的右边为偶数,矛盾! 综上知,假设不成立,故④正确. 二、填空题 9.

64 3

10.[-3,1] 14. ? sin ? ? 3

11. 5

12.

22 3

13.4

15.

3 7 2

13 题解析:由 ?

? ?0 ? OP ? OB ? 2 ? ?0 ? OP ? OA ? 1

,得 ?

?0 ? x ? y ? 2 ?0 ? x ? 1

1 ? x ? (s ? t ) ? ?s ? x ? y ?0 ? x ? y ? 2 ?0 ? s ? t ? 2 ? 2 设 M(s,t) ,则 ? ,解得 ? ,由 ? ,得 ? . ?t ? x ? y ?0 ? x ? 1 ?0 ? s ? 2 ? y ? 1 (s ? t ) ? ? 2
三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ S ?ABC ? ∴ sin A ?

1 1 AB ? AC ? sin A ? ? 3 ? 4 ? sin A ? 3 3 , 2 2

(2 分)

3 . 2
高三数学(理科)第 5 页 共 11 页

(3 分)

又△ABC 是锐角三角形,∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? ∴ sin(

?
2

1 , 2

(4 分) (5 分)

? A) ? cos A ?
2

1 . 2
2 2

(2)由余弦定理 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A ∴ BC ?

(7 分)

32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 4 ?

1 ? 13 2

(8 分)

由正弦定理得 sin B ?

AC ? sin A 2 39 ? , BC 13
2

(9 分)

又 B 为锐角,得 cos B ? 1 ? sin B ?

13 . 13

(10 分) (11 分)

∴ cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B

1 13 3 2 39 7 13 ? ? ? ? ? 2 13 2 13 26
17.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ K 2 ?
200(30 ? 90 ? 60 ? 20) 2 ? 6.061 ? 5.024 , 90 ?110 ? 50 ?150

(12 分)

(2 分) (4 分) (5 分) (6 分)

∴约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. (2)男生抽取的人数有: 女生抽取的人数各有:
60 ? 5 ? 2 (人) 60 ? 90

90 ? 5 ? 3 (人) 60 ? 90

(3)由(2)可知,男生抽取的人数为 2 人,女生抽取的人数为 3 人, 所以 ? 的取值为 1,2,3. (7 分)

? P(? ? 1) ?

1 2 1 3 C3 C2 C32C2 C3 3 6 1 ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? , , , 3 3 3 C5 10 C5 10 C5 10

所以 ? 的分布列为:

?
P(? )

1

2

3

3 10

6 10

1 10
(10 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 1?

3 6 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 10 10 10
高三数学(理科)第 6 页 共 11 页

(12 分)

18.(本小题满分 14 分) (1)证明:连结 BD. 因为 ABCD 为棱形,且∠DAB=60° ,所以?ABD 为正三角形. 又 G 为 AD 的中点,所以 BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. 解: (2)∵△PAD 为正三角形,G 为 AD 的中点,∴PG⊥AD. ∵PG?平面 PAD,由(1)可得:PG⊥GB. 又由(1)知 BG⊥AD. ∴PG、BG、AD 两两垂直. (5 分) (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

故以 G 为原点,建立如图所示空间直角坐标系 G ? xyz ,

PG ? PD cos 30? ? 3 , GB ? AB sin 60? ? 3 ,
(6 分)

所以 G(0,0,0) , D(0,1,0) , P 0, 0, 3

?

?

,C

?

3, 2, 0

?

, (7 分)

??? ? ??? ? PD ? 0,1, ? 3 , PC ?

?

?

?

3, 2, ? 3

?

? ? ??? ? ? · PD ? 0 ? ?n ? y ? 3z ? 0 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x,y,z ),∴? ? ??? , 即? ? · PC ? 0 ? ? ?n ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ,y ? 3,∴n ? (?1 ,3, 1) 令 z ? 1,则 x ? ?1 (8 分) ???? 2, 0? , 又平面 PBG 的法向量可为 AD ? ? 0, (9 分)
设平面 PBG 与平面 PCD 所成二面角的平面角为 ? ,则

? ???? n · AD 2 3 15 ???? ? ? ∴ cos ? ? ? 5 |n· | | AD | 2 5
即平面 PBG 与平面 PCD 所成二面角的平面角的余弦值为 (3)当 F 为 PC 的中点时,平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 PC 的中点 F,连结 DE,EF,DF,CG,且 DE 与 CG 相交于 H. 因为 E、G 分别为 BC、AD 的中点,所以四边形 CDGE 为平行四边形, 故 H 为 CG 的中点. 又 F 为 CP 的中点,所以 FH//PG. 由(2) ,得 PG?平面 ABCD,所以 FH?平面 ABCD. 又 FH?平面 DEF,所以平面 DEF⊥平面 ABCD. (12 分) (13 分) (14 分)

15 . 5

(10 分) (11 分)

高三数学(理科)第 7 页 共 11 页

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)圆 C 的圆心为 C(-2,0) ,半径 r=6, CA ? 4 . 连结 QA ,由已知得 QA ? QP , 所以 QC ? QA ? QC ? QP ? OP ? r ? 6 ? CA . (1 分) (2 分) (3 分)

根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹 G 是中心在原点,以 C、A 为焦点,长轴长等于 6 的椭圆, 即 a=3,c=2, b ? a ? c ? 9 ? 4 ? 5 ,
2 2 2

(4 分)

所以,点 Q 的轨迹 G 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 5

(5 分)

(2)①设 B、D 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) , 则?
2 2 ? ?5 x1 ? 9 y1 ? 45 2 2 ? ?5 x 2 ? 9 y 2 ? 45

(6 分)

两式相减,得 5( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 当 BD 的中点 M 的坐标为(2,1)时,有 ?

(7 分)

? x1 ? x 2 ? 4 , ? y1 ? y 2 ? 2

(8 分)

所以 20( x1 ? x2 ) ? 18( y1 ? y 2 ) ? 0 ,即 k BD ? 故 BD 所在的直线方程为 y ? 1 ? ?

y1 ? y 2 10 ?? . x1 ? x 2 9

(9 分)

10 ( x ? 2) ,即 10 x ? 9 y ? 29 ? 0 . (10 分) 9

②证明:设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x 2 , 由①可知 k BD ?

y1 ? y2 5( x1 ? x2 ) ?? , x1 ? x2 9( y1 ? y2 )

(11 分)

又 kOM ?

y1 ? y2 x1 ? x2
5( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2 5 ? ? ? (定值). 9( y1 ? y 2 ) x1 ? x 2 9

(12 分)

所以 k BD ? k OM ? ?

(14 分)

20.(本小题满分 14 分) 证明: (1) 方法一:因为 xn ? 0 ,所以 x n ?

1 1 ? 2 xn ? ?2, xn xn

(1 分)

高三数学(理科)第 8 页 共 11 页

故 xn ?

1 ? 2 ,当且仅当 x n ? 1 时,等号成立. xn

(2 分)

方法二: 因为 xn ? 0 ,所以 x n ?

1 1 2 ? 2 ? ( xn ? ) ? 0, xn xn

(1 分)

故 xn ?

1 ? 2 ,当且仅当 x n ? 1 时,等号成立. xn 1 1 ? 2 ,又 x n ? ? 2, xn x n ?1

(2 分)

(2)由(1)知 x n ?

所以

1 1 ? ,所以 x n ? x n ?1 . x n x n ?1

(4 分)

(3)先证: xn ?

n ?1 n
(5 分)

当 n=1 时,不等式显然成立; 假设当 n=k( k ? N )时不等式成立,即 xk ?
*

k ?1 . k

(6 分)

当 n=k+1 时,由 x n ?

1 x n ?1

? 2 得 x k ?1 ?

1 ? 2 ? xk

1 k ? , (7 分) k ?1 k ?1 2? k
(8 分)

即当 n=k+1 时,不等式成立; 综上,对一切 n ? N 都有 xn ?
*

再证: xn ?

n ?1 n
1 x n ?1

n ?1 成立. n

(9 分)

由 xn ? 0 及 xn ?

* ? 2 ( n? N* ) ,得 xn ? 2 ( n ? N ) ,

所以当 n=1 时,不等式显然成立; 当 n ? 2 时,假设存在 k,使得 xk ? 则有 x k ?1 ?

(10 分)

k ?1 , k

(11 分)

1 ? 2 ? xk

1 k k ? ,即 x k ?1 ? , k ?1 k ?1 k ?1 2? k
(12 分) (13 分)

所以 x k ? 2 ?

k ?1 k ?2 3 , x k ?3 ? ,┅, x 2 k ? 2 ? , x 2 k ?1 ? 2 , k ?2 k ?3 2
1 ? 2 矛盾. x2k
高三数学(理科)第 9 页 共 11 页

与题设 x 2 k ?1 ?

n ?1 成立. n n ?1 n ?1 * 所以对一切 n ? N 都有 成立. ? xn ? n n
所以对一切 n ? N * 都有 xn ? 21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 因为 f ?( x) ? 1 ?

(14 分)

1 2 x ?1 2 ? ?( ) ? 0, 2 x x x

1 ? 2 ln x ,其定义域为(0,+?). x
(1 分) (2 分) (3 分)

所以 f ( x) 在(0,+?)上单调递增, 所以函数 f ( x) 不存在极值. (2)函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x 的定义域为 (0, ??) .

1 x

f ?( x) ? a(1 ?
当 a ? 0 时,

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )? ? x x2 x2

因为 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,所以 f ( x) 在(0,+?)上单调递减. (4 分) 当 a ? 0 时, 当 x ? (0,??) 时,方程 f ?( x) ? 0 与方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有相同的实根.
2

(5 分)

? ? 4 ? 4a 2 ? 4(1 ? a 2 )

1? 1? a2 1? 1? a2 ①当 0 ? a ? 1时,?>0,可得 x1 ? , x2 ? ,且 0 ? x1 ? x 2 a a
因为 x ? (0, x1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递增; 因为 x ? ( x1 , x 2 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 上单调递减; 因为 x ? ( x2 ,??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( x 2 ,??) 上单调递增; (6 分) (7 分) (8 分)

②当 a ? 1时, ? ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,故 f ( x) 在(0,+?)上单调 递增. (9 分)

综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为(0,+?) ;当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间为

(0,

1? 1? a2 1? 1? a2 1? 1? a2 1? 1? a2 ) 与( ,??) ; , ); 单调减区间为 ( 当 a ? 1时, a a a a
(10 分)

f ( x) 的单调增区间为(0,+?).
高三数学(理科)第 10 页 共 11 页

(3)由存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 得 ax0 ? 2ln x0 ,即 a ?

2 ln x0 . x0

(11 分)

令 F ( x) ?

2ln x ,等价于“当 x ? [1, e] 时, a ? F ( x) min ”. x
2(1 ? ln x) ,且当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 , x2

(12 分)

因为 F ?( x) ?

所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增, 故 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 .

(13 分) (14 分)

高三数学(理科)第 11 页 共 11 页



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