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上海交通大学附属中学2012-2013学年第二学期高一数学期末考试试题



上海交通大学附属中学 2012 学年度第二学期 高一数学期终考试卷
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考号填写清楚. 2.本试卷共有 21 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分.
1.函数 y ?

2arccos x ?1 的值域是____________. 2.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q ? ________. 3.公比为 q 的无穷等比数列 ?an ? 满足: q ? 1 , an ? k (an?1 ? an?2 ? ?) ( n ? N* ) ,则实数 k 的 取值范围为_________. 4.已知角 ? 的终边在射线 y ? ?

4 ? x ( x ≤ 0 )上,则 sin 2? ? tan ? ______. 3 2

5.关于 x 的方程 sin x ? cos x ? cos 2 x ( x ?[??, ? ] )的所有解之和为_________. 6.函数 f ( x) ? sin x ?sin( x ? ? ) 的最小正周期为________. 3 7 .设数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 1 , a3 ? 2 ,且对于任意正整数 n 都有 an ? an?1 ? an?2 ? 1 ,又

an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? ________.
8.已知 x ? (0, ? ) ,函数 f ( x) ?

1 ? cos x ? 8sin 2 sin x

x 2 的最小值是___________.

9.设 x 为实数, [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,如 [2.66] ? 2 , [?2.66] ? ?3 .记 {x} ? x ? [ x] ,

1 则 { x} 的取值范围为 [0, 1) .现定义无穷数列 ?an ? 如下:a1 ? ?a? ,当 an ? 0 时,an?1 ? { } ; an
当 an ? 0 时, an?1 ? 0 . 当 ________.

1 1 ? a ≤ 时,对任意的自然数 n 都有 an ? a ,则实数 a 的值为 3 2

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 10. 设等差数列 ?an ? 满足: 公差 d ? (?1, 0) . ? 1, sin(a4 ? a5 )
若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 ________.

第 1 页 共 8 页

11 . 若 三 个 角 ? 、 ? 、 ? 满 足 : tan ? ? tan ? ? tan ? ?

17 4 , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , 6 5

cot ? ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? ?

17 ,则 tan(? ? ? ? ? ) ? ___________. 5
5 1 2 3 4

12.已知线段 AB 上有 9 个确定的点(包括端点 A 与
B ).现对这些点进行往返标数(从 A → B → A → B →?进行标数, 遇到同方向点不
A B

够数时就“调头”往回数).如图:在点 A 上标 1 称为点 1,然后从点 1 开始数到第二个 数,标上 2,称为点 2,再从点 2 开始数到第三个数,标上 3,称为点 3(标上数 n 的点称 为点 n ) ,?,这样一直继续下去,直到 1,2,3,?,2013 都被标记到点上.则点 2013 上的所有标记的数中,最小的是____________. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 16 分)每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 13.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除”的第二步是 [答] ( (A) 证明假设 n ? k ( k ≥ 1 且 k ? N )时正确,可推出 n ? k ? 1 正确 (B) 证明假设 n ? 2k ? 1 ( k ≥ 1 且 k ? N )时正确,可推出 n ? 2k ? 3 正确 (C) 证明假设 n ? 2k ? 1 ( k ≥ 1 且 k ? N )时正确,可推出 n ? 2k ? 1 正确 (D) 证明假设 n ≤ k ( k ≥ 1 且 k ? N )时正确,可推出 n ? k ? 2 时正确 14.右图是偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )的部分图象,△KML 为 )

1 等腰直角三角形, ?KML ? 90? , KL ? 1 ,则 f ( ) ? 6
[答] ( (A) ? (C) ? )
O

y

x K M L

3 4
1 2

(B) ? (D)

1 4

3 4
[答] ( (D) [?2,2] )

15.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 (A) [? 3 , 3] (B) [? 2, 2] (C) [?1 , 1]

16.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 , a99 ? a100 ?1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ;② a99 ? a101 ?1 ? 0 ;③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ a100 ? 1
使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是 [答] ( )

第 2 页 共 8 页

(A) ①③

(B) ①④

(C) ②③

(D) ②④

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相 应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 4 分. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )在一个周期上的一系列对应值如下表:

x
y

? ?

?

?
4

0 1

? 6
1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

? ?

0

(1)写出 f ( x) 的解析式; (2)在△ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , A 为锐角,且 f ( A) ? ?

1 ,求△ABC 的面积. 2

18. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分. 已 知 集 合 C ? ?( x,y ) xy ? 3x ? y ? 1 ? 0? , 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 3 , 且 当 n ≥ 2 时 , 点

(an?1, an ) ? C ,数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 . 1 ? an

(1)试判断数列 ?bn ? 是否是等差数列,并说明理由; (2)若 lim(
n ??

s t ,求 s t 的值. ? ) ? 1( s , t ? R ) an bn

19. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分. 如图, 一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆 的直径, O 为半圆的圆心, AB ? 1, BC ? 2 ,现要将此铁皮剪出
A P M

O

D

第 3 页 共 8 页

B

N

C

一个等腰三角形 PMN ,其底边 MN ? BC . (1)若 ?MOD ? 30? ,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的三角形铁皮 PMN 面积的最大值.

20. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,满足 Sn ? 2an ? bn ( n ? N* ). (1)若 bn =n, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? (?1)n ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn 的表达式.

21. (本题满分 10 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小 题满分 5 分. 将边长分别为 1、2、3、4、?、 n 、 n ? 1 、?( n ? N* )的 正方形叠放在一起,形成如图所示的图形 .由小到大,依次记各 阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、?、第 n 个阴影部分图 形 . 设前 n 个阴影部分图形的面积的平均值为 f (n) . 记数列 ?an ?

? f (n) 当n为奇数 满足 a1 ? 1, an +1 ? ? . ? f (an ) 当n为偶数
(1)求 f (n) 的表达式; (2)写出 a2 、 a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式. (3)记 围.

0

1

2

3 4

5

6

b bn ? 2 a b ,且 n ? 0 恒成立,求 s 的取值范 ? ad ? bc .若 bn ? an ? s ( s ? R ) bn ?1 bn ?1 c d

第 4 页 共 8 页

上海交通大学附属中学 2012-2013 学年第二学期 高一期末考试数学
一. 填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. ? 0, ? ? 3. ? ??, ?2? ? ? 0, ??? 5.0 7.4025 9. 2 ? 1 11.11 2. 3 或 ? 3 4.

26 25

6. ? 8.4 10. ? 12.2

? 4? 3? ? , ? ? 3 2 ?

二. 选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 13.C 14.D 15.A 16. B

三. 解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 4 分. 解:(1) f ( x) ? cos 2 x ; (4 分) (2)? f ( A) ? ?

1 1 ,即 cos 2 A ? ? , 2 2 π 又? A 为锐角,? A ? , (5 分) 3 BC AC ? 在 △ ABC 中,由正弦定理得: , sin A sin B AC ? sin A 3 , ? sin B ? ? BC 3 π 又 BC ? AC ,? B ? A ? , 3 6 , (6 分) ? cos B ? 3

? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 2? 3 , (7 分) 6

第 5 页 共 8 页

1 3 2? 3 ? S△ ABC ? ? AC ? BC ? sin C ? 2 2

(8 分)

18.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分. (1)∵当 n ? 2 时,点 ?a n ?1 , a n ? 恒在曲线 C 上 ∴ an?1an ? 3an?1 ? an ? 1 ? 0 由 bn ? (1 分)

1 得 1 ? an 当 n ? 2 时, 1 1 an ? an ?1 an ? an ?1 1 bn ? bn ?1 ? ? ? ? ? ? (3 分) 1 ? an 1 ? an ?1 1 ? an ? an ?1 ? an an ?1 ?2an ? 2an ?1 2 1 ∴数列 ?bn ? 是公差为 ? 的等差数列. (4 分) 2 1 1 (2)∵ a1 ? 3 ,∴ b1 ? ?? 1 ? a1 2 1 1 ? 1? ∴ bn ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? n (6 分) 2 2 ? 2? 2 1 1 ∴? n ? , 则 an ? 1 ? (8 分) n 2 1 ? an
s 2? ? ? n ? t ? ?1 ? ? ? s n2 ? tn ? 2t s t 2 n? ? ∴ ? ? ? 2 1 1 ? 2? an bn ? n2 ? n ? n ?1 ? ? 2 2 ? n?

? s t ? ? lim? ? n?? a ? n bn

? ? ? ?1 ?

∴s ?1

t ∴s ?1

(10 分)

19.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分. (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 , ∵ ?MOD ? 30? ,∴ MN ?

S? PMN

1 3 ,(1 分) (2 分) OQ ? 2 2 1 1 3 3 6?3 3 (5 分) ? MN ? AQ ? ? ? (1 ? )? 2 2 2 2 8

(2)设 ?MOD ? ? ,?? ? [0,

?

MQ ? sin ? , OQ ? cos ? (6 分) 1 ? S? PMN ? MN ? AQ ? (1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) 2 1 ? (1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ) (7 分) 2 令 sin ? ? cos? ? t ?[1, 2] ,

2

],

M

A P

O

D

B

1 t ? 1 (t ? 1) ? S? PMN ? (t ? 1 ? )= 2 2 4
2

N

C

2

(8 分)

第 6 页 共 8 页

? 当 t ? 2 ,即 ? ?

?
4

时, (9 分)

S? PMN 取得最大值,

? S? PMN 的最大值为

3? 2 2 . (10 分) 4

20.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分. (1)由 Sn ? 2an ? n (*) 当 n=1 时,可得 a1 ? ?1 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1 (**) (*)与(**)相减得 an ? 2an ?1 ? 1 , an ? 1 ? 2? an ?1 ? 1?

故 ?an ? 1 ? 是以 a1 ? 1=-2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 所以 an ? 1 ? ?2 ? 2n ?1 ,得 an ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 1 ? 2n (2)由 Sn ? 2an ? (?1)n (n ? 1) 得: Sn?1 ? 2an?1 ? (?1)n?1, n ? 2 两式相减得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n , n ? 2 解法一:

4 2 4 2 an ? 2an ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2an ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 3 3 3 3 2 2 an ? (?1) n ? 2(an ?1 ? (?1) n ?1 )(n ? 2) 3 3 2 1 2 ? ? 故数列 ?an ? (?1) n ? 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 2 的等比数列.[ 3 3 3 ? ? 2 1 n ?1 n 所以 an ? ( ?1) ? ? 2 , 3 3 1 n ?1 2 n 即 an ? ? 2 ? ( ?1) . 3 3
解法二:两边同除以 (?1) ,得到
n

an a 1 ? ?2 n ?n ? 2, n ? 2 n (?1) (?1) ?1

? a 1 ? an ? ? ? ?2 ? n?n ? ? ?, n ?1 (?1) ? (?1) ? a a 1 2 ? n n ? ?2 n?n ? 3? , ? ? , ?1 3 (?1) (?1) ? a 2 1 2? ? ? n n ? ? 是以 ?a1 ? ? ? 为首项, ?2 为公比的等比数列. 3 3 ? (?1) 3 ?


?

an 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? (?2)n ?1 n (?1) 3 ? 3 ? 1 n ?1 2 n 整理后得到 an ? ? 2 ? ( ?1) . 3 3

21.(本题满分 10 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小题满分 3 分,第 2 小题
第 7 页 共 8 页

满分 5 分. (1) 由题意,第 1 个阴影部分图形的面积为 2 ? 1 ,第 2 个阴影部分图形的面积为
2 2

42 ? 32 ,??,第 n 个阴影部分图形的面积为 ? 2n ? ? (2n ? 1) 2 .
2

? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ?? 2n ? ? (2n ? 1) 2 ? ? ? 故 f ( n) ? n 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? ? 2n ? 1 (2 分) n (2) a1 ? 1
2 2

?2

a2 ? f (1) ? 3 a3 ? f (a2 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 (3 分) 当 n 为偶数时, an ? f (n ? 1) ? 2n ? 1
?1 ? 故 an ? ?2n ? 1 ? 4n ? 5 ? (n ? 1) (n为偶数)

(4 分)

当 n 为大于 1 的奇数时, an ? f (an?1) ? 2an ?1 ? 1 ? 2 ?2(n ?1) ?1? ? 1 ? 4n ? 5 (5 分)

(n为大于1的奇数)

(n ? 1) ?1 ? s ? (3) 由(2)知 bn ? ?2n ? 1 ? s (6 分) (n为偶数) ?4n ? 5 ? s (n为大于1的奇数) ? bn bn ? 2 又 ? 0 恒成立 ? bn ?1bn ? bn ?1bn ? 2 ? bn ?1 (bn ? bn ? 2 ) ? 0 恒成立 bn ?1 bn ?1
(ⅰ) 当 n ? 1 时, bn?1 (bn ? bn?2 ) ? 0 恒成立, 即 b2 (b1 ? b3 ) ? (3 ? s)(?6) ? 0 恒成立,于是 3 ? s ? 0 ? s ? ?3 (ⅱ)当 n 为偶数时, bn?1 (bn ? bn?2 ) ? 0 恒成立, (7 分)

即 [4(n ?1) ? 5 ? s] ?[(2n ?1 ? s) ? ? 2(n ? 2) ?1? s ?] ? ? 4n ?1? s ? (?4) ? 0 恒成 立,于是 4n ? 1 ? s ? 0 恒成立, s ? ? ?4n ? 1?max ? ?7 (8 分)

(ⅲ)当 n 为大于 1 的奇数时, bn?1 (bn ? bn?2 ) ? 0 恒成立

即 ? 2(n ? 1) ? 1 ? s ? ? ? ? ?8 ? ? 0 恒成 ?? 4n ? 5 ? s ? ? ? 4(n ? 2) ? 5 ? s ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? s ?? 立,于是 2n ? 1 ? s ? 0 恒成立, s ? (?2n ? 1)max ? ?7 (9 分) (10 分)

综上所述: s ? ?3

第 8 页 共 8 页



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