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33点到直线的距离与两条平行线间的距离


一:复习与回顾: 复习与回顾: 两点间的距离公式: 两点间的距离公式:

可得两点p1 x1,y1),p2 x2,y2)间的距离 ( ( 公式:p1 p2 |= (x2 x1 ) + ( y2 y1 ) |
2 2

二:问题:在平面直角坐标系中,如果已 问题:在平面直角坐标系中, 知某点p的坐标为(x0,y0)直线l的方程为 知某点p的坐标为( 直线l Ax+B y+C=0,怎样由点的坐标和直线的方 y+C=0, 程直接求点p到直线的距离呢? 程直接求点p到直线的距离呢?

1:点到直线的距离: :点到直线的距离: 根据定义,点到直线的距离d是点 根据定义,点到直线的距离 是点 p到直线 的垂线段的长。(如图) 到直线l的垂线段的长。(如图 到直线 的垂线段的长。(如图) 设点p 到直线l的垂线段为PQ l PQ, 设点p 到直线l的垂线段为PQ, 垂足为Q PQ⊥l, 垂足为Q,由PQ⊥l,可知直线 R PQ的斜率为B/A( 的斜率为B/A PQ的斜率为B/A(A≠0)根据点 斜式可以写出PQ的方程, PQ的方程 斜式可以写出PQ的方程,并由 PQ与 的方程求出Q的坐标, PQ与l的方程求出Q的坐标,再 由两点距离公式求出|PQ| |PQ|, 由两点距离公式求出|PQ|,
y P d 0 Q S x

方法二: 方法二: 构造直角三角形边为求斜边上的高, 构造直角三角形边为求斜边上的高, 设A≠0,B≠0,这时直线与x 轴y轴都 ≠0, ≠0,这时直线与x 有交点,过点p 轴的平行线, 有交点,过点p作x轴的平行线,交l l R 于点( ),作 轴的平行线交l 于点(x1,y0),作y轴的平行线交l ),如何求RS的坐标 如何求RS的坐标? 于S(x0,y2),如何求RS的坐标?
0 y P d Q S x

到直线A +By+C=0 点p(x0,y0)到直线Ax+By+C=0 的距离. 的距离.

d=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

当A=0或B=0时,以上公式也适用. A=0 B=0 以上公式也适用.

求点p0(-1 例1:求点 0(-1,2)到下列直 线的距离: 线的距离: (1)2x+y-10=0 + -10= (2)3x=2 =

例2:已知点A(1,3),B(3,1), 已知点A(1 A( ),B(3 C(-1 ABC的面积 C(-1,0)求ABC的面积. ABC的面积.

到直线3 - 例3:已知点A( ,6),到直线3x-4y=2的 已知点A(a, ),到直线 A( = 距离d取下列各值 取下列各值. 的值( 距离 取下列各值.求a的值(1)d=4,(2)d 的值 = ,(2 >4

两条平行线间的距离定义: 两条平行线间的距离定义: 两条平行线间的距离是指夹 在两平行线间的公垂线段的长度. 在两平行线间的公垂线段的长度.
设直线l1 设直线 1∥l2如何求它们之间的距离? 如何求它们之间的距离?

在一条直线上取一点,可以转化为点到 在一条直线上取一点, 直线的距离. 直线的距离.

已知两条平行直线l1 2的一般方程为: 已知两条平行直线 1和l2的一般方程为: l1:Ax+B +C1=0; 1:A +B +By+C L2:Ax+B +C2=0 :A +By+C +B 求证:: 1 2的距离为: 求证::l1与l2的距离为: ::

d=

|c1 c2 | A2 + B 2

已知直线l 例4:已知直线l1:2x-7y-8=0; 21y l2=6x-21y-1=0; 是否平行?若平行, 的距离为多少? L1与l2是否平行?若平行,l1与l2的距离为多少?


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