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【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 第一章 三角函数本章小结学案设计 新人教A版必修4



第一章

三角函数

本章小结
学习目标
1.任意角的概念与弧度制;任意角三角函数的定义; 2.同角三角函数的关系、诱导公式; 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质; 4.函数 y=Asin(ω x+φ )的实际意义;函数 y=Asin(ω x+φ )图象的变换; 5.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.

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学习过程
复习回顾本章知识 一、同角三角函数基本关系式的运用 【例 1】若 tanα =,求: (1)的值; 2 2 (2)2sin α -sinα cosα +cos α 的值.

【例 2】若 sinθ cosθ =,θ ∈(),求 cosθ -sinθ 的值.

【例 3】已知 f(α )=. (1)化简 f(α ); (2)若 α 是第三象限的角,且 cos(α -)=,求 f(α )的值; (3)若 α =-1860°,求 f(α )的值.

二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 【例 4】求下列函数的定义域: (1)f(x)=;(2)f(x)=tan(sin x); (3)f(x)=.

【例 5】求下列函数的周期: (1)y=;(2)y=2sin(x-)sin x;(3)y=.

【例 6】已知函数 f(x)=sin(2x-)+2sin (x-)(x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期;

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1

(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.

【例 7】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin2x-tan x;(2)f(x)=; (3)f(x)=cos(sin x);(4)f(x)=.

【例 8】已知函数 f(x)=lo(sin x-cos x). (1)求它的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性, 若是周期函数,求它的最小正周期.

【例 9】已知函数 f(x)=sin x+2sin xcos x+3cos x,x∈R.求: (1)函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f(x)的单调增区间.

2

2

三、函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与变换 2 【例 10】已知函数 f(x)=2cos ω x+sin2ω x(其中 0<ω <1),若直线 x=为其一条对称轴. (1)试求 ω 的值; (2)作出函数 f(x)在区间[-π ,π ]上的图象.

【例 11】已知函数 f(x)=Asin (ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <),且 y=f(x)的最大值为 2,其 图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 φ ; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f(2014).

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【例 12】设函数 f(x)=cos ω x+sinω xcosω x+a(其中 ω >0,a∈R).且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是. (1)求 ω 的值; (2)如果 f(x)在区间[-]上的最小值为,求 a 的值.

2

四、三角函数的运用

2

【例 13】 某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=f(t),下面 是某日水深的数据:

t/


0 10. 0

3 13. 0

6 9. 9

9 7. 0

12 10. 0

15 13. 0

18 10. 1

21 7. 0

24 10. 0

y/


经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinω x+b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶 停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希 望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

【例 14】如图所示,一个摩天轮半径为 10 米,轮子的底部在地面上 2 米处,如果此摩天 轮每 20 秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心 O 高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过 10 米?

【例 15】如图,ABCD 是一块边长为 100 米的正方形地皮,其中扇形 ATPS 是一半径为 90 米的扇形小山,P 是弧 TS 上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落 在 BC 与 CD 上的长方形停车场 PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值.

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【例 16】 将一块圆心角为 120°、 半径为 20cm 的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)(2) 的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径 OA 上,或让矩形一边与弦 AB 平行,请问哪种裁法 能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.

课堂小结 主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质,这是本章的核心知识点,主要的思想方法 就是数形结合思想和分类讨论思想. 拓展提升 1.若 sinθ =-,cosθ =,则角 2θ 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 sinθ =k-1,cosθ =4-3k,且 θ 是第二象限角,则 k 应满足的条件是( ) A.k> B.k=1 C.k= D.k>1 3.已知=-,那么的值是( ) A. B.C.2 D.-2 4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是( ) ①最小正周期是 π ;②图象关于点(,0)对称 A.y=cos(2x-) B.y=sin(2x+) C.y=sin() D.y=tan(x+) 5.为了使函数 y=sinω x(ω >0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值是 ( ) A.98π B.π C.π D.100π 2 6.函数 f(x)=cos x+sin x 在区间[-]上的最小值是( ) A. B.C.-1 D. 7.函数 f(x)=sin(2x+φ )+cos(2x+φ )的图象关于原点对称的充要条件是( ) A.φ =2kπ -,k∈Z B.φ =kπ -,k∈Z C.φ =2kπ -,k∈Z D.φ =kπ -,k∈Z 8. 在△ABC 中 ,C>, 若函数 y=f(x) 在 [0,1] 上为单调递减函数 , 则下列命题正确的是 ( ) A.f(cos A)>f(cos B) B.f(sin A)>f(sin B) C.f(sin A)>f(cos B) D.f(sin A)<f(cos B) 9.同时具有性质“(1)最小正周期是 π ;(2)图象关于直线 x=对称;(3)在[-]上是增函 数”的一个函数是( ) A.y=sin() B.y=cos(2x+) C.y=cos(2x-) D.y=sin(2x-) 10.若把一个函数的图象按 a=(-,-2)平移后得到函数 y=cos x 的图象,则原图象的函数

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解析式是( ) A.y=cos(x+)-2 B.y=cos(x-)-2 C.y=cos(x+)+2 D.y=cos(x-)+2 11.为了得到函数 y=sin(2x-)的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象( A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

)

12.若函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象(部分)如图所示,则 ω 和 φ 的取值是( ) A.ω =1,φ = B.ω =1,φ =C.ω =,φ = D.ω =,φ =13.若函数 f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不变 ,横坐标伸长到原来的两倍,然后再 将整个图象沿 x 轴向右平移个单位长度,向下平移 3 个单位长度,恰好得到 y=sin x 的图象, 则 f(x)= . 14.函数 y=Asin(ω x+φ ),(A>0,ω >0)为奇函数的充要条件是 ;为偶函数的 充要条件是 . 15.一正弦曲线的一个最高点为(,3),从相邻的最低点到这最高点的图象交 x 轴于(-,0), 最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 . 16.已知方程 sin x+cos x=k 在 0≤x≤π 上有两解,求 k 的取值范围.

17.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<)的最小值是-2,其图象相邻最高点与最低点 横坐标的差是 3π ,又图象过点(0,1),求函数解析式.

18.已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x(A,B,ω 是实常数,ω >0)的最小正周期为 2,并且当 x=时,f(x)max=2. (1)求 f(x). (2)在闭区间[]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在, 请说明理由.

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参考答案
一、同角三角函数基本关系式的运用 【例 1】解:(1)=-3-2; (2)原式=. 2 2 2 【例 2】解:(cosθ -sinθ ) =cos θ +sin θ -2sinθ cosθ =1-, ∵θ ∈(),∴cosθ <sinθ .∴cosθ -sinθ =-. 【例 3】解:(1)f(α )==-cosα . (2)∵cos(α -)=-sinα , ∴sinα =-,又 α 是第三象限的角, ∴cosα =-=-=-, ∴f(α )=. (3)∵α =-1860°=-6?360°+300°, ∴f(α )=f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-6?360°+300°)=-cos60°=-. 二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 【例 4】解:(1)由-tan x≥0,得 tan x≤,∴kπ -<x≤kπ +(k∈Z). ∴f(x)的定义域为(kπ -,kπ +](k∈Z). (2)∵-<-1≤sin x≤1<,∴x∈R.即 f(x)的定义域为 R. (3)由已知 ∴(k∈Z), ∴原函数的定义域为(2kπ -,2kπ )∪(2kπ ,2kπ +)(k∈Z). 【例 5】解:(1)y==tan(2x+), ∴周期 T=. (2)y=-2sin xcos x=-sin2x,故周期 T=π . (3)y==tan(4x+),故周期 T=. 【例 6】解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-) =2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1 =2sin[2(x-)-]+1 =2sin(2x-)+1, ∴T==π . (2)当 f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有 2x-=2kπ +. 即 x=kπ +(k∈Z). 故所求 x 的集合为{x|x∈R,x=kπ +,k∈Z}. 【例 7】解:(1)∵f(x)的定义域为 x≠kπ +(k∈Z),故其定义域关于原点对称, 又 f(-x)=sin(-2x)-tan(-x)=-sin2x+tan x=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)∵x=时,1+sin x+cos x=2,而 x=-时,1+sin x+cos x=0, ∴f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(sin x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (4)由 lgcos x≥0 得 cos x≥1,又 cos x≤1,∴cos x=1,故此函数的定义域为 x=2kπ (k ∈Z),关于原点对称,此时 f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

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【例 8】解:(1)由 sin x-cos x>0? sin(x-)>0, ∴2kπ <x-<2kπ +π (k∈Z). ∴定义域为(2kπ +,2kπ +)(k∈Z). ∵sin(x-)∈(0,],∴值域为[-,+∞). (2)∵定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数. (3)∵sin x-cos x=sin(x-)>0, ∴f(x)的递增区间为[2kπ +,2kπ +)(k∈Z), 递减区间为(2kπ +,2kπ +](k∈Z). (4)∵f(x+2π )=lo[sin(x+2π )-cos(x+2π )]=lo(sin x-cos x)=f(x), ∴f(x)是周期函数,最小正周期 T=2π . 【例 9】解:(1)f(x)=+sin2x+=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+), ∴当 2x+=2kπ +,即 x=kπ +(k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+. 函数 f(x)取得最大值时自变量 x 的集合为{x|x∈R,x=kπ +(k∈Z)}. (2)f(x)=2+sin(2x+). 由题意得:2kπ -≤2x+≤2kπ +(k∈Z), 即:kπ -≤x≤kπ +(k∈Z). 因此函数 f(x)的单调增区间为[kπ -,kπ +](k∈Z). 三、函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与变换 2 【例 10】解:(1)f(x)=2cos ω x+sin2ω x=1+cos2ω x+sin2ω x=2sin(2ω x+)+1. ∵x=是 y=f(x)的一条对称轴, ∴sin()=±1. ∴=kπ +,k∈Z,∴ω =k(k∈Z). ∵0<ω <1,∴ω =. (2)用五点作图(略) 2 【例 11】解:(1)y=Asin (ω x+φ )=cos(2ω x+2φ ).∵y=f(x)的最大值为 2,A>0. ∴=2,A=2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为 2,ω >0, ∴)=2,ω =. ∴f(x)=cos(x+2φ )=1-cos(x+2φ ). ∵y=f(x)过(1,2)点, ∴cos(+2φ )=-1. ∴+2φ =2kπ +π ,k∈Z,∴2φ =2kπ +,k∈Z, ∴φ =kπ +,k∈Z,又∵0<φ <,∴φ =. (2)∵φ =,∴y=1-cos(x+)=1+sinx. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又∵y=f(x)的周期为 4,2014=4?503+2, ∴f(1)+f(2)+?+f(2014)=4?503+f(2013)+f(2014)=2012+2+1=2015. 【例 12】解:(1)f(x)=cos2ω x+sin2ω x++a=sin(2ω x+)++a. 依题意得 2ω ?? ω =. (2)由(1)知,f(x)=sin(x+)++a.又当 x∈[-]时, x+∈[0,],故-≤sin(x+)≤1,从而 f(x)在区间[-]上的最小值为=-+a,故 a=. 四、三角函数的运用 【例 13】解:(1)由已知数据,易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10, ∴y=3sint+10.

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(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5 米. ∴3sint+10≥11.5,∴sint≥,解得:2kπ +t≤2kπ +(k∈Z),12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在 同一天内,取 k=0 或 k=1,∴1≤t≤5,或 13≤t≤17. ∴该船可在当日凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口内最多停留 16 个小时.

【例 14】解:(1)以 O 为坐标原点,以 OP 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,设摩天轮上某人在 Q 处,则在 t 秒内 OQ 转过的角为 t,所以 t 秒时,Q 点的纵坐标为 t,故 在 t 秒时此人相对于地面的高度为 y=10sint+12(米). (2)令 y=10sint+12≤10,则 sint≤-. ∵0≤t≤20,∴10.64≤t≤19.36,故约有 8.72 秒此人相对于地面的高度不超过 10 米. 【例 15】解:如图,连接 AP,设∠PAB=θ (0°<θ <90°),延长 RP 交 AB 于 M,

则 AM=90cosθ ,MP=90sinθ ,PQ=MB=AB-AM=100-90cosθ , PR=MR-MP=100-90sinθ , 故矩形 PQCR 的面积 S=PQ?PR=(100-90cosθ )(100-90sinθ ) =10000-9000(sinθ +cosθ )+8100sinθ cosθ . 2 设 sinθ +cosθ =t(1<t≤),则 sinθ cosθ =(t -1), 2 ∴S=(t-) +950, 2 故当 t=时,Smin=950(m ). 2 当 t=时,Smax=14050-9000(m ). 【例 16】解:按图(1)的裁法:矩形的一边 OP 在 OA 上,顶点 M 在圆弧上,设∠MOA=θ ,则 MP=20sinθ ,OP=20cosθ ,所以矩形 OPMN 的面积 S=400sinθ cosθ =200sin2θ ,即当 θ =时,Smax=200. 按图(2)的裁法:矩形一边 PQ 与弦 AB 平行, 设∠MOQ=α ,在△MOQ 中, ∠OQM=90°+30°=120°, 由正弦定理得:MQ=sinα . 又∵MN=2OMsin(60°-α )=40sin(60°-α ), ∴S=MQ?MN=sinα sin(60°-α ) =sinα (cosα -sinα ) =sin2α -) =sin(2α +30°)-. ∴当 α =30°时,Smax=. 2 由于>200,所以用第二种裁法得到面积最大的矩形,最大面积为 cm . 拓展提升

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1.D 解析:由 sin2θ =2sinθ cosθ =-<0, 2 2 cos2θ =cos θ -sin θ =>0 可得角 2θ 的终边在第四象限. 2 2 2.C 解析:由 sinθ >0,cosθ <0 及 sin θ +cos θ =1 可得 k=. 3.A 解析:=-1. 4.D 5.B 解析:49?T≤1,即≤1,∴ω ≥. 2 2 6.D 解析:f(x)=1-sin x+sin x=-(sin x-) +,当 x=-时,f(x)取最小值. 7.D 解析:f(x)=sin(2x+φ )+cos(2x+φ )=2sin(2x+φ +),令 φ +=kπ 可得. 8.C 解析:根据 0<A+B<,得 0<A<-B<,所以 sin A<sin(-B)=cos B. 9.D 解析:由性质(1)和(2)可排除 A,C 两项,再求出 y=sin(2x-)的增区间即可. 10.D 解析:将函数 y=cos x 的图象按-a 平移可得原图象的函数解析式. 11.B 解析 : ∵ y=sin(2x-)=cos[-(2x-)]=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)], ∴将 函 数 y=cos2x 的图象向右平移个单位长度. 12.C 解析:由图象知,T=4()=4π =, ∴ω =.又当 x=时,y=1,则 sin(+φ )=1,+φ =2kπ +,k∈Z,当 k=0 时,φ =. 13.cos2x+3 14.φ =kπ (k∈Z) φ =kπ +(k∈Z) 15.y=3sin(π x+) 16.解:原方程 sin x+cos x=k?sin(x+)=k,在同一坐标系内作函数 y1=sin(x+)与 y2=k 的图象.对于 y=sin(x+),令 x=0,得 y=1.

∴当 k∈[1,)时,观察知两曲线在[0,π ]上有两交点,方程有两解. 17.解:易知:A=2,半周期=3π ,∴T=6π ,即=6π ,从而 ω =. 设 y=2sin(x+φ ),令 x=0,有 2sinφ =1. 又|φ |<,∴φ =. 故所求函数解析式为 y=2sin(x+). 18.解:(1)由 T==2,得 ω =π , ∴f(x)=Asinπ x+Bcosπ x. 由题意可得解得 ∴f(x)=sinπ x+cosπ x=2sin(π x+). (2)令 π x++kπ ,k∈Z,所以 x=+k,k∈Z. 由+k≤≤k≤, 故 k=5,在[]上只有 f(x)的一条对称轴 x=.

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