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1.2.1函数的概念



1.初中所学的函数的概念是什么? 在一个变化过程中,有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值 与它对应. 那么就说y是x的函数,其中x 叫做自变量,y是因变量.

1.请同学们回忆初中我们学过哪些函数? 答:正比例函数:y =kx (k≠0)
k 反比例函数: y ? (k ? 0) x 一次函数:y =kx+b (k≠0)

/>
二次函数:y =ax2+bx+c (a≠0)

下面,我们将进一步学习函数及其构成 要素,下面先看几个实例:

实例一:炮弹飞行
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位 :m)随着时间t(单位:s)变化规律是 h=130t-5t2
(1)这道题涉及哪两个变量?h是t的函数吗? (2)炮弹飞行1秒,4秒,20秒时,距地面多高? (3)你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集 合A和B表示出来. (4)对于数集A中的任意一个t,(按照对应关系 h=130t-5t2),在数集B中是否都有唯一确定的 高度h和它对应.

实例二:臭氧层空洞面积
近几十年来,大气层中的 臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题,右图 曲线显示了南极上空臭 氧层空洞的面积从 1979—2001年变化情况

面积S的变化范围是数集 B ? ?S 0 ? S ? 26?

? 时间t的变化范围是数集 A?? t 1979? t ? 2001
A中的任意一个时间t,按照图中曲线,在数集B 中都有唯一确定的面积S和它对应

实例三:恩格尔系数
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的 高低,恩格尔系数越低,生活水平越高,下表表明了我国 自”八五”计划以来城镇居民恩格尔系数变化情况

时(年) 恩格尔 系数 (%)

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2

2001

37.9

问题2:

(1)1992年、1998年、2001年恩格尔系数分别是多少? (2)分别写出时间t与恩格尔系数的取值范围,并分别用集 合A和集合B来表示. (3)对集合A中的任何一个时间t,按照表格所示,在集合B中 是否都有唯一的一个值与它对应.
数集

A ? t ? N 1991 ? t ? 2001 ; B ? ?53.8%,52.9%,50.1%,49.9%,48.6%,46.4%,44.5%,41.9%,39.2%,37.9%?

?

?

且数集A中的每一个时间 (年份),在数集B中都有唯一 的恩格尔系数与之对应(按表格).

二、课本的实例 不同点

实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,
实例(2)是用图象刻画变量之间的对应关系, 实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系.
共同点 (1)都有两个非空数集

(2)两个数集之间都有一种确定的对应关 系,即对于每一个x,都有唯一确定的y和它 对应

以上三个实例的共同特点是: 对于数 集A中的每一个x,都按照某种对应关系 f ,在数集B中都有唯一的y和它对应。
记作

?:A→B

设 A,B 是非空的数集 , 如果按照某种确定 的对应关系 f, 使 对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)与之对应 ,那 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函 数,记作,y=f(x), x?A.

此时, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函 数的定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域 是B的子集

函数三要素:定义域,对应法则,值域。

(1) 非空性:A, B 都是非空数集;
(2)方向性: f : A →B确定了集合A到集合B上的函数;

(3) 函数的定义域为 A;值域{f(x)|x∈A}是B的子集,
而值域{f(x)|x∈A}由定义域与对应关系共同确定;

(4)任意性:定义域中的每一个x都有函数值;
(5)唯一性:每一个自变量的值只有唯一的一个函
数值与之对应

(5) 对符号y=f(x)的理解 ①y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是 自变量,它是对应关系 f所施加的对象;习惯用x表示自变

量,也可以用其它字母表示如t,v,u等表示;
②f是对应关系, 表示定义域和值域的一种对应关系,

它可以是解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描述;当
f用解析式表示时,则解析式为函数解析式,函数的对应

关系f可以看成对自变量x施加的某种运算.

③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘 积”,f(x)也不一定是解析式,在研究函数式,除 用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表 示

④因为函数是两个非空数集之间的关系,所 以用什么字母表示自变量,因变量是无关

紧要的,例如f(x)=2x,g(t)=2t表示同一函数

?

⑥当关系所施加的对象与解析式中表述的对象 不一致时,该解析式不能正确施加关系

比如f(x)=x? +1,左端对x施加关系,右端也是关 于x的解析式,所以此式是以x自变量的解析式, 而对于f(x+1)=3x? +2x+1,左端表示对x+1施加 关系,右端是关于x的解析式,二者不统一,所 以此式既不是关于x的函数解析式,也不是关于 x+1的函数解析式

指出那些能代表函数





1 2 3
4


1 -1 2 -2 3 -3
图2


1 4


1 2 3 4
图3



1 2 1 3 1 4



图1



练习
1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数 : (1) A={ 1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},f(x)=2x. 不是

A

B

A

B

A

B

1 2

1
2 3

1 1
2 3 4
(3)

1 2 3
(4)

1 2

3
4
(2)

3
4

4



不是



设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x) 的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是( ) B

判断下列图象能表示函数图象的是( D )
y y

0

x 0 x

(A) y

(B)
y

0

x

0

x

(C)

(D)

例1.下列对应关系是否为A到B的函数
(1) A ? R, B ? {x | x ? 0}, f : x ? y ?| x | 1 (2) A ? R, B ? R, f : x ? y ? x (3) A ? R, B ? Z , f : x ? y ? x (4) A ? ? x ? 2 ? x ? 2? , B ? {1}, f : x ? y ? 1

(5) A ? ?? x, y ? x ? R, y ? R?, B ? R, 对应关系 f : ( x, y ) ? s ? x ? y

?6?A ? ?x x ? 0, x ? R?, B ? ?y y ? R?,
对应关系f : x ? y ? x
2

思考5、函数的本质是什么?
函数的实质是从非空数集A到非空数

集B的一种特殊的对应,这种对应
可以是一对一,多对一,但不能一对多;

B中元素可以有剩余,但A中不能有剩余

(2)如何判断给定的两个变量之 间是否具有函数关系?
①定义域和对应法则是否给出; ②根据所给对应法则,自变量x在其定 义域中的每一个值,是否都有惟一确定 的一个函数值y和它对应。

初中各类函数的对应 法则、定义域、值域分别 是什么?

函数 正比例 函数 反比例 函数 一次函数

对应法则

定义域

值域

y ? kx( k ? 0)

R

R
{ y | y ? 0}

k y ? ( k ? 0) {x | x ? 0} x
y ? kx ? b ( k ? 0)

R

R
4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a 4ac ? b 2 a ? 0时{ y | y ? } 4a

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

R

区间的概念:
设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定: (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为 [a,b]. (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为 (a,b). (3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间,表示为 [a,b)或(a,b].

实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。 满足x≥a,x>a,x≤a,x<a的实数的集合分别表示为 [a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,a]、(-∞,a). 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
注意:在数轴上用实心点表示包括在区间内的端 点,用空心点表示不包括在区间内的端点。

定义

名称

符号

数轴表示

? x a ? x ? b? 闭区间 ? x a ? x ? b?
? x a ? x ? b? ? x a ? x ? b?
开区间
半开半闭 区间 半开半闭 区间

? a, b?

a

b

? a, b ?
? a, b ?

a
a a

b
b b

? a, b ?

? x x ? b?

? ??, b?

? x x ? a?

? a, ???

①:区间是集合 ②:区间是无限集 ③:区间的左端点小于右端点 ④:区间里的数字表示数轴上一点 ⑤:任何区间均可在数轴上表示出来

符号‘?’读作:‘无穷大’ 符号‘-?’读作:‘负无穷大’ 符号‘+?’读作:‘正无穷大’

(注意:?不是一个具体的数, 而是一种符号)

实数集R可以表示为 (-?,+?)
⑥:以“-∞”或“+∞”为区间的一端时, 这一端必须用小括号。

试用区间表示下列实数集 (1){x|5 ≤ x<6} (2) {x|x ≥9}

[5, 6)
[9, ??)

?4? ?x ?1 ? x ? 1且x

( 3)

?x x

? 1或2 ? x ? 3

?0

?

?

1 例2.已知函数f ( x) ? x ? 3 ? x?2 (1)求函数的定义域; 2 (2)求f (?3), f ( )的值; 3 (3)当a ? 0时,求f (a ), f (a ? 1)的值.

思考:能否求得 f (?4) 的值?

f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时 函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变 量x的函数,表示的是变量.

注意:要把数代入函数求函数值,这个数 就必须保证代入有意义,也就是说必须在 定义域范围内的数才能代入求值

4 ? 浙江高考?已知函数f ? x ? ? 1 ? x , 若f ? a ? ? 2, 则实数a的值

函数的定义域
例1.求下列函数的定义域:

(1) y ? x ? x ? 1
2

(2) y ?

1 x ?1
2

(3) y ? x ? 3 x ? 2.

(4) f (x)= x ? 1 ? 1 ? x ? 2

( x ? 1) (5) f ( x) ? ; | x | ?x
0

(6) y ? x ? 2 ?

? 解:由? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? 0, -2 x ≥ ?2, 且x ? 1, 且x ? 2. 故函数的定义域为 { x | x ≥ ?2, 且x ? 1, 且x ? 2}

1 2 x ? 3x ? 2 x+ 2 ≥ 0,

1

2

(7) y ? 5 ? x ? x ? 5.
?5 ? x ≥ 0, ? x ? 5. ? ? x ? 5 ≥ 0,
定义域为 {5}.

求函数 y= x-2· x+2 的定义域. 【错解】 y= x-2· x+2 = x2-4, 由 x2-4≥0,得 x≥2 或 x≤-2, ∴函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤-2}.
【错因】 求函数定义域时,不能先进行变形,否则,会使定义
域发生改变,造成错误.因此,必须根据原始函数解析式来求定义域 .

【正解】

? ?x-2≥0 由? ? ?x+2≥0

? ?x≥2 , 得? ? ?x≥-2

, 得 x≥2,

∴函数的定义域为{x|x≥2}.

如何确定函数的定义域?
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ⑤ 如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的,则定义域是
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)

⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义 域是指表格中实数的集合.
(7)如果是实际问题,是 使实际问题有意义的实数的集合

函数定义域要用集合或区间形式表示。

2kx ? 8 例:当k为何值时,函数f ( x) ? 2 的 kx ? 2kx ? 1 定义域的R?
解: ? f ( x)的定义域为R, ? kx2 ? 2kx ? 1 ? 0对一切 x ? R都有意义. ?当k ? 0时,? ? (2k ) 2 ? 4k ? 0 ?0 ? k ? 1 当k ? 0时,kx2 ? 2kx ? 1 ? 1 ? 0, 对x ? R有意义. ?当0 ? k ? 1时,函数f ( x)的定义域为R.

已知函数

y ?

mx ? 6mx ? m ? 8
2

的定义域为R,求m的取值范围

1、抽象函数是指没有给出函 数的具体解析式,只给出了一 些体现函数特征的式子的一类 函数。

抽象函数定义域的求法
一、已知 f ( x) 的定义域,求 f ? g ( x)? 的定义域 , 5? , 例1 :已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1

求 f (3x ? 5) 的定义域.
其解法是:若

f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,

则在 f ? g ( x)? 中, a ≤ g ( x) ≤ b ,从中解得 x 的 取值范围即为 f ? g ( x)? 的定义域.

练习

1.已知f(x)定义域是[-1,1], 求函数f(2x-1)的定义域

二、已知 f ? g ( x)? 的定义域,求 f ( x) 的定 义域 例 2: 已知函数

f (2 x ? 2) 的定义域为

, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域. ?0
其解法是:若 f ? g ( x)? 的定义域为 m ≤ x ≤ n , 则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义 域.

3.已知f(2x+3)定义域是[4,5), 求f (x)的定义域

已知f(g(x))的定义域求f(h(x))的定义域

2.已知f (2 x ? 1)的定义域为 [0,1), 求f (1 ? 3x)的定义域 .
解: ? f (2 x ? 1)的定义域为 [0,1),即0 ? x ? 1, ? ?1 ? 2 x ? 1 ? 1,? f ( x)的定义域为 [?1,1), 2 即 ? 1 ? 1 ? 3x ? 1,? 0 ? x ? . 3 2 ? f (1 ? 3x)的定义域为(0, ]. 3

已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2], 求函数y=f(4x-1)的定义域。

三、运算型的抽象函数
例3 若

? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5)
的定义域.

f ( x) 的定义域为 ??3, 5? ,求

求由有限个抽象函数经四则运算
得到的函数的定义域,其解法是:

先求出各个函数的定义域,然后再
求交集.

f (2 x) 1.已知f ( x)定义域为 [?1, 1],求g ( x) ? 3x ? 1 的定义域

2.已知函数f ( x)的定义域为 [?2, 4],求函数 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x)的定义域。

例:已知

x2 f ( x) ? , 2 1? x ?1? 求f ?1? ? f ?2? ? f ? ? ? f ?3? ? ?2? ?1? f ? ? ? f ?4? ? ? 3? ?1? f ? ?的值 ?4?

1 例 :已知f ?x ? ? ,求 1? x ? ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2013?? ? ? f ?1? ? ? ?1? f ? ? ??? ?2? ? 1 ?? f? ?? ? 2013??

已知a, b ?? N , f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? . f ?1? ? 2,
?

f ? 2 ? f ? 3? f ? 2012 ? f ? 2013? 则 ? ?L ? ? 的值 f ?1? f ? 2 ? f ? 2011? f ? 2012 ?

已知函数f ?x ?满足f ?ab? ? f ?a ? ? f ?b? 且f ?2? ? p, f ?3? ? q, 求f ?36?的值

函数值域的求法

明确:
?函数的值域是由全体函数值所构成 ?函数的值域取决于定义域和对应法则, 不论用什么方法求函数的值域应先考虑

其定义域.

方法一、直接法
例1.已知函数f(x)=2x-3, x∈{0,1,2,3,5},

求f(x)的值域

方法二:观察法:通过对函数解析式进行简单
变形,利用熟知的基本函数的值域,观察出函数 的值域。

例:求y ? 2 x ? 3的值域
1 2.求函数y ? 的值域 x ?1 1 3.求函数y ? 的值域 x?2 1 4.求函数f ?x ? ? 2 的值域 x ?1

方法3:分离常数法

通过将分式的分子常数化,再利用 已知反比例函数的值域,从而得出 函数的值域,一般称为分离常数法.

x ?1 例 : ?1?求函数y ? 的值域 x ?1 2x ?1 ?2?求函数 y ? 的值域 x ?3

5x ? 4 练习: 1.求函数 y ? 的值域 . x ?1
5 x ? 4 5( x ? 1) ? 9 9 解:y ? ? ? 5? x ?1 x ?1 x ?1 9 ? ? 0,? y ? 5, x ?1 ?函数的定义域为 (??,5) ? (5,??)

3x ? 5 思考:如何求 y ? 的值域 . 4x ? 6
3 19 19 ( 4 x ? 6) ? 3x ? 5 4 3 2 解:y ? ? ? ? 2 4x ? 6 4x ? 6 4 4x ? 6 19 3 3 2 ? ? 0,? y ? .?函数的定义域为 { y | y ? }. 4x ? 6 4 4

3x ? 2 2.求函数 y ? 的值域 . 7x ? 2

cx+d 方法归纳:形如y= ax+b
c ? ? 的值域: ? y y ? , 且y ? R ? a ? ?

(a≠0)函数

x ? x ? R?, 求 它 的 值 域 已知函数 y? 2 x ?1

2

(4)配方法:若函数是二次函数形式即 2 可化为f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 型的函数,则 可通过配方后再结合二次函数的图像 求值域。但要注意有给出定区间时其 值域的求法。

例5. 已知函数f ( x) ? x ? 4x ? 8
2

(1)求函数的值域 (2)求函数在 [3, 6]的值域 (3)求函数在 [?2, 1]的值域 (4)求函数在 [1 , 4]的值域

注意:利用配方法时,关键在于确 定对称轴的位置。利用数形结合解题

练习:已知函数 y ? ?3x ? 3x ? 6,
2

分别求它在下列区间上 的值域
(1) x ? [1, 2] (2) x ? [?2, 2]

(3)换元法
对于含根号的无理函数较常用换 元法求值域。

例6.求函数y ? x ? 1 ? 2x的值域.
注意:运用换元法时务必注意换元 后的字母的取值范围。

例6.求函数y ? x ? 1 ? 2x的值域.
1 2 1 解:令u ? 1 ? 2 x (u ? 0),则x ? ? u ? , 2 2 1 2 1 1 y ? ? u ? u ? ? ? (u ? 1) 2 ? 1 2 2 2 1 由函数图象可知,当 u ? 0时,y ? , 2 1 ?函数y ? x ? 1 ? 2 x的值域为(??, ]. 2

归纳总结:形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。

练习:求函数 y ? 5 ? x ? 3x ? 1 的值域

y ? 5 ? x ? 3x ?1
1 解:令 t ? 3 x ? 1 , 则x ? (t 2 ? 1) 3 且t ? 0, 1 1 3 65 ? y ? 5 ? ( t 2 ? 1) ? t ? ? ( t ? ) 2 ? 3 3 2 12 3 65 ? ? 0,? ymax ? 2 12 65 ?值 域 为 ( ? ?, ] 12

归纳总结:形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。 练习:求函数y=2x+ 1-2x 的值域。

值域逆向问题举例
? 25 ? 1.函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ?0, m? , 值域为 ?? ,?4?, ? 4 ? 求m的取值范围
2

3? 25 25 ? 解 : ? y ? x ? 3x ? 4 ? ? x ? ? ? ?? 2? 4 4 ? 3 ?m ? 注意逆向思 2 维 又 y max ? ?4 ? f ?0 ?
2

2

?m ? 3 3 ? ? m的取值范围是 m ? ? , 3 ? ? ? 2 ?

例7.下列函数哪个与函数 y ? x相等? ( 1 )y ? ( x ) ; (2) y ? x ;
2 3 3

x (3) y ? x ; (4) y ? x
2

2

函数相等的要点
定义域 对应关系

完全一致

练习:判断下列各组函 数是否是同一函数 x ?1 (1) f ( x) ? 与g ( x) ? x ? 1; x ?1
2

(2) f ( x) ? x 与g ( x) ?| x |;
2

(3) f ( x) ? x 与g ( x) ? 1;
0

(4) f ( x) ? ( x ) 与g ( x) ? x;
2



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