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高中数学奥赛辅导:不等式专题讲义



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高中数学奥赛辅导资料系列

不等式
知识梳理
1.不等式的概念与性质(要注意不等式性质成立的条件) 2.基本不等式 (1)利用基本不等式证明不等式 (2)运用基本不等式求值

a?b 2 ) ;②“积定和最小” : a ? b ? 2 ab . 2

运用重要不等式最值要注意满足三个条件: “正、定、等”.即 a 、 b 都是正数,和或积是定值, a 与 b 能相等.
①“和定积最大” : ab ? ( 补充: 均值不等式 设 a1 , a 2 ,? ? ?, a n 是 n 个正实数, 记 Hn ?

n 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a 2 an

;G n ?

n

a1 a 2 ? ? ? a n ,

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均数、算术平均数、平方平均数,这四个平均数具有如下关系:

a ? a2 ? ? ? ? ? an An ? 1 ; Qn ? n

2 2 ? ? ? ? ? an a12 ? a 2 他们分别称为 n 个正数的调和平均数、几何平 n

H n ? Gn ? An ? Qn ,上式等号成立的条件是 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n .

3.不等式的证明 综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造(方程、函数)法、放缩法、反证法 4.不等式的解法 ① 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了. ② 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式,我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已 学过的知识解答. ③ 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论. ④ 一元高次不等式用根轴法. ⑤ 解不等式的方法中,尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法, 5.不等式的综合应用 (1)应用基本不等式求最值(和一定,积最大;积一定,和最小). (2) “有解”与“恒成立”问题. (3)应用不等式求值范围,在与解析几何的综合考查中较常见.

例题选讲

例 1.若 (log 2 3) ? (log 5 3) ? (log 2 3)
x x

?y

? (log 5 3) ? y ,则下列关系成立的是
D. x ? y ? 0

A. x ? y ? 0

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0
2

例 2.若关于 x 的不等式 2? | x ? a |? x 至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围是____.
1

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例 3.在算式 4×□+9×△=?的□和△中分别填入两个正整数,使它们的倒数之和的最小值为 则正整数?的值为_________.

5 , 6

例 4:解关于 x 的不等式

a ? x ? 1? ?1 x?2

? a ? 0?

例 5: (1)已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: ?
2 2 2

1 ? ab ? bc ? ca ? 1 2

(2)已知 1 ? x ? y ? 2 ,求证:
2 2
2 2 2

1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 2

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例 6:证明: ( 1)

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?1 2 m ?1 m ? 2 2m 1 1 1 7 ( 2) 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 4 n 2 3 1 2 ? 1 3 ? ??? ? 1 n

( 3) n ? 1 ?

?2 n

2

m

1 ?c?0 3 a b c (4)已知△ABC 的三边长是 a, b, c ,且 m 为正数,求证: ? ? a?m b?m c?m
(3)设 a ? b ? c ? 1 , a ? b ? c ? 1 ,且 a ? b ? c ,求证: ?

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2

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例 7:已知两个函数 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 其中 k 是实数。 (1)对任意 x ? [?3,3] ,都有

f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围

(2)存在 x ? [?3,3] ,使 f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围 (3)对于任意的 x1 , x 2 ? [ ?3,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 k 的取值范围

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A.9 B. 3 3 C.16 D. 4 3 2. ( a ? 3) x ? ( 4a ? 2) x 对 a ? (0,1) 恒成立,则 x 的取值范围是____________。
2

1.已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,则 8a ? 1 ? 8b ? 1 ? 8c ? 1 的最大值为

3.Mn(n=3,4,5,……)为正整数,若 a>b>c 且对满足条件的任意 a,b,c 都有 时,M3 的最大值为

1 1 M3 + ≥0 ? a ?b b?c c?a

,若 a1>a2>a3……>an(n=3,4,5,……),且对满足条件的任意 an 都有

1 1 Mn ? +……+ ≥0,则 Mn 的最大值为 an ? a1 a1 ? a2 a2 ? a3

4. 解下列不等式 (1)

(x ?1)(x ? 4)2 (x ? 3) 2 ≤0; (2)解关于 x 的不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 x ?1

5.已知 a >0,解关于 x 的不等式

ax 2 ? 2 ax ? 1

?x

3

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练习巩固

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6. (1)已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证: lg a ? lg b ? lg c < lg

a?b b?c c?a ? lg ? lg 2 2 2

(2)已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,求证: a ? b ? 2 , ab ? 1
3 3

(3)若 a >0,求证: a ?

1 1 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 a a

(4)已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ,且 a ? b ? a ? b ,求证: 1 ? a ? b ?
2 2 3 3

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7.求证: (1) 1 ?

1

2 2

?

1

3 3

? ??? ? 1 5

1

n n

?3

(2) (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ?

1 3

1 ) ? 2n ? 1 2n ? 1

(n ? 1,2,3,? ? ?)

4

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4 3



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