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2012年高考数学精英备考专题讲座:第一讲 函数 理科


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第一讲 函数
第一节 初等函数
函数是高中知识的主干知识,是高中知识的一条主线,它涉及了函数的概念和性质,基 本初等函数,数列,不等式,方程,导数,解析几何和立体几何等,是历年高考的重点、热 点和必考点.初等函数(由基本初等函数经过运算或复合组成的)是基础. 一般地, 在高考 试题中,考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是 选择题或填空题,综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在 0.5~0.8 之间. 考试要求: 考试要求: ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函 数的定义域和值域;③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性;④了解反函数的概念
x x 及指数函数 y = a 与对数函数 y = log a 互为反函数;⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的

运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质. 题型一 判定初等函数的性质 例 1 求函数 y = 点拔

2 3 1 sin x + sin 2 x ? sin x ? 1 的值域. 3 2

函 数 是 三 次 函 数 与 三 角 函 数 复 合 函 数 而 成 的 , 令 t = sin x, t ∈ [ ?1,1] 得

2 1 y = t 3 + t 2 ? t ? 1 ,本题 3 2 2 3 1 2 就转化为求 y = t + t ? t ? 1 , t ∈ [?1,1] 的值域. 三次函数求值域常用导数的方法. 3 2 2 1 , 则 y = f (t ) = t 3 + t 2 ? t ? 1 , ∴ 解 令t = sin x, t ∈ [ ?1,1] 3 2
y′ = 2t 2 + t ? 1 = (2t ? 1)(t + 1) ,
由 y ′ > 0 ,得 t > 或 t < ?1 ;由 y ′ < 0 ,,得 ?1 < t <
2 1 1 2

,列表:

t

?1
0

1 (?1, ) 2
?
减函数

1 2
0 有极小值

1 ( ,1) 2
+
增函数

1 2

y'
y

-

5 6

1 1 2 1 1 1 1 31 ∴ t = , 函数有极小值 f ( ) = × + × ? ? 1 = ? 2 3 8 2 4 2 24 2
又 f (?1) = ? + + 1 ? 1 = ? , , f (1) =
3 2 6 2 1 1 2 3

+ ? 1 ? 1 = ? ,∴ y ∈ [?
2 6

1

5

31 24

,? ].
6

1

易错点 ①令 t = sin x, t ∈ [ ?1,1] ,忽略了 t ∈ [?1,1] ;②错误地认为最值一定在端点处取得.

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变式与引申 1: 函数 y = 题型二 抽象函数的性质

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3sin x+1 的值域为_____________ sin x ? 2

例 2 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x,y 都有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且当 x > 0 时,

f ( x ) > 0,f ( ?1) = ?2 ,求 f ( x ) 在 [ ?2 ,1] 上的值域.
点拔 此题 f ( x) 是抽象函数,但是初等函数中,可以找到一个具体函数满足条件,如

f ( x) = 2 x ,由此
猜想抽象函数 f ( x) 在 [ ?2,1] 是递增函数, 再用定义证明递增.: x1 < x 2 , x1 ,x 2 ∈ R , 设 且 则 x 2 ? x1 > 0 ,再利用 x > 0, f ( x) > 0 判断 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系.下面只要求出

f (?2), f (1) 的值就行.
解 设 x1 < x 2 ,且 x1 ,x 2 ∈ R ,则 x 2 ? x1 > 0 ,由条件当 x > 0 时, f ( x ) > 0

∴ f ( x 2 ? x1 ) > 0 又 f ( x 2 ) = f [( x 2 ? x1 ) + x1 = f ( x 2 ? x1 ) + f ( x1 ) > f ( x1 ) ∴ f ( x) 为 增 函 数 , ∴ f (1) = ? f (1) = 2 ,
令 x = y = ?1 得 f ( ?2) = 2 f ( ?1) = ?4 令 x = y = 0 得 f (0) = 0 , 再 令 用 x = 1, y = ?1 得 出

∴ f ( x ) 在[ ?2 ,1] 上的值域为 [?4,] 2

易错点 利用性质“当 x > 0 时, f ( x) > 0 ”证明单调性,易出错. 变式与引申 2: 设函数 y= f (x) 是定义在 R 上的函数,并且满足下面三个条件: ①对任意 正数 x, y 有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ;②当 x > 1 时, f ( x ) < 0 ;③ f (3) = ?1 .

+∞ (1)求 f (1)、f ( ) 的值; (2)证明 f ( x) 在 ( 0, ) 上是减函数.
题型三 函数奇偶性的判断 例 3 判断函数 f ( x) = x 2 + ( x ≠ 0, a ∈ R ) 的奇偶性.
x a

1 9

第一步: 看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原 点拔 利用定义判断函数的奇偶性: 点对称,则 为非奇偶非函数;若定义域关于原点对称,则进行第二步:验证 f ( ? x) 与 f ( x ) 的关系,若

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f (? x) = f ( x) (或 f ( x) ? f (? x) = 0,

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f ( x) = 1 )则 f ( x) 为偶函数;若 f (? x) = ? f ( x) f (? x)

(或 f ( x) + f ( ? x) = 0,

f ( x) = ?1 )则 f ( x) 为奇函数.当难于得出 f (? x) ≠ f ( x) 和 f (? x)

f (? x) ≠ ? f ( x) 的时候,可以考虑验证特殊值.
解 当 a = 0 时, f ( x) = x 2 为偶函数; 当 a ≠ 0 时, f (1) = 1 + a, f ( ?1) = 1 ? a , ∵ a ≠ 0 ,∴ 1 ? a ≠ 1 + a, f (? x) ≠ f ( x) ;∵ a ≠ 0 , ?(1 ? a ) ≠ 1 + a ,? f (? x) ≠ f ( x) ,∴ f ( x) 既 不是奇函数也不是偶函数. 易错点 ①用定义判断奇偶性时,容易漏掉 a = 0 的情况. ② a ≠ 0 的情况难于得出 f ( ? x) 与 f ( x ) 的关系,易出错. 变式与引申 3: 设 a 为实数,函数 f ( x) = x 2 + | x ? a | +1( x ∈ R ) .讨论 f ( x) 的奇偶性. 函数思想的应用 题型四 函数思想的应用 例 4 关于 x 的方程 x 2 ? | x | + a ? 1 = 0 有四个不同的解,求 a 的取值范围. 点拔 此题有多种思考方法:法 1: 原方程看作含绝对值的方程,则采用去绝对值的方法, 分段讨论解一 元二次方程: x 2 ? x + a ? 1 = 0( x > 0) 和 x 2 ? x + a ? 1 = 0( x < 0) .原方程有四个不同的解, 等价于 x 2 ? x + a ? 1 = 0( x > 0) 有 2 个不等的正解,且 x 2 ? x + a ? 1 = 0( x < 0) 有 2 个不同 的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题. 法 2:把原方程看作是关于 x 的一元二次方程,则令 t = x , t > 0 ,则原问题等价于

t 2 ? t + a ? 1 = 0 有 2 个不等的正数解.
法 3:采用函数思想来观察方程,则可以把原方程变为: x 2 ? | x | + a = ?1 ,问题等价于函数

y = x 2 ? | x | + a 和 y = ?1 的图像有四个不同的交点.事实上,我们还有下面各种变形: x 2 ? | x | ?1 = ?a, x 2 ? | x |= 1 ? a.
解 法1 正解, 且 x 2 ? x + a ? 1 = 0( x < 0) 有 2 个不同的负数解.

x 2 ? | x | + a ? 1 = 0 有四个不同的解等价于 x 2 ? x + a ? 1 = 0( x > 0) 有 2 个不等的

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?? > 0 ?1 ? 4(a ? 1) > 0 5 ? ? x ? x + a ? 1 = 0( x > 0) 有 2 个不等的正解∴ ? x1 + x2 > 0 ? ?a ∈ R ?1< a < 4 ?x x > 0 ?a ? 1 > 0 ? ? 1 2
2

x 2 ? x + a ? 1 = 0( x < 0)



2















?? > 0 ?1 ? 4(a ? 1) > 0 5 ? ? ∴ ? x1 + x2 < 0 ? ?a ∈ R ?1< a < 4 ?x x > 0 ?a ? 1 > 0 ? ? 1 2
综上所述: 1 < a <

5 . 4
2

法 2 令 t = x , t > 0 则原问题等价于 t ? t + a ? 1 = 0 有 2 个不等的正数解.

?? > 0 ?1 ? 4(a ? 1) > 0 5 ? ? ∴ ?t1 + t2 < 0 ? ?a ∈ R ?1< a < . 4 ?t t > 0 ?a ? 1 > 0 ? ?12
法 3 在同一直角坐标系内画出直线 y = 1 与曲线 y = x 2 ? | x | + a 的图像,如图观图可知,
y

?a > 1 5 ? a 的取值必须满足 ? 4a ?1 ,解得 1 < a < . 4 ? 4 <1 ?
易错点 ①作为二次方程分类,运算量大,易出错;

x=?1 2 a

x=1 2
y = x2 ? | x | +a
y =1
x

② t = x , 易忽略 t > 0 ; ③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题. 变式与引申 4:

O

图1 ? 1 ? 1

y=

4a ? 1 4

?2 x≥2 ? , 年北京卷。 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同 (2011 年北京卷。理)已知函数 f ( x ) = ? x 3 ?( x ? 1) , x < 2 ?
的实根,则数 k 的取值范围是_______ 本节主要考查 ①初等函数的基本性质(定义域,值域,奇偶性等),理解函数的基本问题 是初等函数问题; ②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题; ③熟练作出初 等函数的图像利用数形结合;④函数思想. 点评 (1)基本方法:①熟练掌握基本初等函数的性质和图像;②初等函数利用变量代换 转化为基本初 等函数; ③求出中间变量的范围. (2)求定义域的常用方法: 根据函数解析式求函数的定义域,利用函数式有意义,列出不等式组,再解出.函数式有意 义的依据是:
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①分式分母不为 0 ; ②偶次方根的被开放数不能小于 0 ; ③对数函数的真数大于 0 ,底数大于 0 且不等于 1; ④终边在 y 轴上的角的正切没有意义;⑤ 00 没有意义;⑥复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域,要 ? ? 保证内函数 g ( x ) 的值域是外函数 f ( x ) 的定义域. (3)求值域的常用方法:①观察法;②配方法;③导数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数 形结合法; ⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法. 开始 (4)判断函数奇偶性的步骤: 求 f (x ) 定义域 否 输出“ f (x ) 为 非奇非偶函数” 关于原 点对称 否 是
f ( x ) = ± f ( x)



输出“ f (x ) 为 非奇非偶函数”

输出“ f (x ) 为 奇或偶函数”

结束 习题 1—1 1. 函数 f ( x) =
4 +1
x

2

x

的图象(

). C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴

A.关于原点对称 对称

B.关于直线 y=x 对称

2. 已 知 函 数 f ( x) = mx 2 + ( m ? 3) x + 1 的 值 域 是 [0, +∞) , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ________________. 3. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) =
?2 + b
x

2

x +1

4. 定义在 R 上的函数 y = f ( x) , f (0) ≠ 0 ,当 x > 0 时, f ( x) > 1 ,且对任意的 a 、 b ∈ R ,有 . f (a + b) = f (a ) f (b) . (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x ∈ R ,恒有 f ( x) > 0 ; 5. 设函数 f ( x) = (1 + x) 2 ? 2ln(1 + x) .试讨论关于 x 的方程: f ( x) = x 2 + x + a 在区间 [0, 2] 上 的根的个数.

+a

是奇函数,求 a, b 的值.

第二节 导数与积分
导数是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的各省高考试题,导数的考题分两个层
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次.

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(1) 知识性试题 以函数为载体, 以导数为工具, 以考查函数诸多性质和导数极值理论、 单调性质、 几何意义及其应用为目标, 是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向 (其 中多项式函数一般不超过三次,以 e 为底的对数函数较多). (2)综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题,同时考查函数与方程、 数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想,尤其是分类讨论思想,是近三年来高考命题 的热点.难度值一般控制在 0.5 ~ 0.7 之间. 考试要求 ⑴了解导数概念的实际背景; ⑵理解导数的几何意义; ⑶能求简单的复合函 数的导数;⑷能用导数研究单调性,会求函数的单调区间;⑸了解函数在某点取得极值的充 分条件和必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值;⑹会利用导数解决某些实际问 题; (7)了解定积分的实际思想、基本思想及概念,了解微积分基本定理. 题型一 导数的几何意义、极值理论及单调性质等 导数的几何意义、 例题 1 给定两个函数 f ( x ) =

1 3 m +1 2 1 x ? x , g ( x) = ? mx. 解决下列问题: 3 2 3 (I)若 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 (2, +∞) 为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若关于 x 的方程 f ( x ) ? g ( x ) = 0 有三个不同的根,求 m 的取值

范围. 点拔: 点拔:第(I)小题 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值,即知 f ′(1) = 0 ,能解决函数 f ( x ) 所含参数 m ,进而求 f ( x ) 单调区间.第(Ⅱ)小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即 求导函数的函数值在区间 (2, +∞) 上恒大于 0 ,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第 (Ⅲ)小题可将问题转化为函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的图象与 x 轴有三个不同的交点,通过 导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解. 解:(I)因为 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值,所以 f ′(1) = m = 0 .故 f ( x ) =

1 3 1 2 x ? x .所以 3 2 2 f ′( x) = x ? x .易知函数 f ( x) 单调增区间是 (?∞, 0)和(1, +∞) ;单调递减区间是 (0,1) . (Ⅱ)由题意可知 f ′( x) = x 2 ? ( m + 1) x ,因为 f ( x) 在区间(2,+ ∞ )为增函数,所以

x 2 ? (m + 1) x ≥ 0 在区间 (2, +∞ ) 上恒成立,即 m + 1 ≤ x 恒成立.由于 x > 2 ,所以 m + 1 ≤ 2 , 故 m ≤ 1. 1 3 m +1 2 1 (Ⅲ)设 h( x) = f ( x) ? g ( x) = x ? x + mx ? , 故 3 2 3 2 h′( x) = x ? (m + 1) x + m = ( x ? m)( x ? 1) .令 h′( x) = ( x ? m)( x ? 1) = 0 ,得 x = m或x = 1 , 由(Ⅱ)知 m ≤ 1 . ①当 m = 1 时, h′( x) = ( x ? 1) 2 ≥ 0 , h( x) 在 R 上是单调递增,显然不合题意. 当 ②当 m < 1 时, h( x ), h′( x ) 随 x 的变化情况如下表: , m (?∞, m) (m,1) (1, +∞) x 1
h′( x) h( x )

+ 极大值 ?

0
m m 1 + ? 6 2 3
3 2



0 极小值
m ?1 2

+

欲使方程 f ( x ) ? g ( x ) = 0 有三个不同的根, 即函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 与 x 轴有三个不同的

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? m3 m 2 1 + ? >0 ?? ?(m ? 1)(m 2 ? 2m ? 2) < 0 ? 2 3 交点,则有 ? 6 ?? ,解得 m < 1 ? 3 . ?m < 1 ? m ?1 < 0 ? 2 ?

综上, m 的取值范围是 m < 1 ? 3 . 易错点: 易错点:①本题中在不同区间单调时用“和”,而不能用“ ∪ ”连接.②恒成立问题分离 变量 m 易错求是 m < 1 .③通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求 解,学生难以掌握. 变式与延申 变式与延申 1: 函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + (c ? 3a ? 2b) x + d 的图象如图所示. ⑴若函数 f ( x) 在 x = 2 处的切线方程为 3x + y ? 11 = 0, 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵在(1)条件下,是否存在实数 m ,使得 y = f ( x ) 的图象与 y =
1 f ′( x) + 5 x + m 3

的图象有且只有在三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 题型二 导数与不等式 例题 2 设函数 f ( x) = e x ? 1 ? x ? ax 2 . (1)若 a = 0, 求 f ( x) 的单调区间; 图 1-2-1 (2)若 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. 点拔: 点拔:本题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1) 可得出的不等式 e ≥ 1 + x (此不等式较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等 式),是本小题的突破口,然后讨论参数 a 的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此 应用甚为关键.
x

解:(1) a = 0 时, f ( x) = e x ? 1 ? x, f ′( x) = e x ? 1. 当 x ∈ (?∞, 0), f ′( x ) < 0; 当 x ∈ (0, +∞), f ′( x) > 0. 故 f ( x) 在 (?∞, 0) 单调减少,在 (0, +∞) 单调增加. (2)
f ′( x) = e x ? 1 ? 2ax . 由 (1) 知 e x ≥ 1 + x, 当 且 仅 当 x = 0 时 等 号 成 立 . 故 1 时, f ′( x) ≥ 0 ( x ≥ 0) ,而 f (0) = 0 ,于是当 2 1 f ( x) ≥ 0 . 又 由 e x ≥ 1 + x( x ≠ 0) 可 得 e ? x ≥ 1 ? x( x ≠ 0) , 从 而 当 a > 2 f ′( x) < 0 , 而 f (0) = 0 , 于 是 当 f ′( x) ≥ x ? 2ax = (1 ? 2a ) x ,从而当 1 ? 2a ≥ 0, 即 a ≤ x≥0 时 ,

时, f ′( x) < e x ? 1 + 2a (e ? x ? 1)

= e? x (e x ? 1)(e ? x ? 2a ), 故 当 x ∈ (0, ln 2a ) 时 ,

1 x ∈ (0, ln 2a ) , f ( x) < 0 ,综合得 a 的取值范围为 (?∞, ] . 2
易错点: ①第(2)小题利用导数求 f ( x) 的最小值,但方程 f ′( x) = e x ? 1 ? 2ax = 0 难以求解;② 易错点: 对(1)式提供的不等式 e x ≥ 1 + x 使用意识较低;③需强化分类讨论思想方法在解决含参不等 式中的应用. 变式与延申 变式与延申 2: 已知函数级 f ( x ) = ax +

y = x ?1. (1)用 a 表示出 b, c ; (2)若 f ( x ) ≥ ln x 在 [1, +∞ ) 上恒成立,求 a 的取值范围;
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b + c(a > 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x

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(3) 证明: 1+

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1 1 1 n + + ??? + > ln n +1)+ ( (n ≥ 1) 2 3 n (n +1) 2
1 3 1 2

题型三 导数与数列 例题 3 数列 {an } (n ∈ N ? ) 中, a1 = a, an +1 是函数 f n ( x) = x3 ? (3an + n 2 ) x 2 + 3n 2 an x 的极值点. (2)是否存在 a ,使数列 {an } 是等比数列?若存在 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 点拔: 由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题 点拔:本题导数的使用有如用药的“药引”, 明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大,应细致讨论.第(2)问中构造 函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值. 解:易知 f n' ( x) = x 2 ? (3an + n 2 ) x + 3n 2 an = ( x ? 3an )( x ? n 2 ) ,令 f n' ( x) = 0, 得 x=3an,x=n 2 ① 若3an < n ,
2

(1)当 a = 0 时,求通项 an ;

当x < 3an时,f n' ( x) > 0,f n ( x)单调递增; 当3an < x < n 2时, f n' ( x) < 0,f n ( x)单调递减; 当x < n 2时, f n' ( x) > 0,f n ( x)单调递增;

故 f n ( x) 在 x=n 2时, 取得极小值. ② 若3an > n 2 , 仿(1)可得,f n ( x)在x = 3an 取得极小值. ③ 若3an=n 2 , f n' ( x) ≥ 0,f n ( x)无极值 . (1)当 a = 0 时, a1 = 0 ,则 3a1 < 12 .由①知, a2 = 12 = 1 . 因 3a2 = 3 < 22 ,则由①知, a3 = 22 = 4 .因为 3a3 = 12 > 32 , 则由②知, a4 = 3a3 = 3 × 4 ,又因为
3a4 = 36 > 42 , 则由②知, a5 = 3a4 = 32 × 4 .由此猜想:当 n ≥ 3 时, an = 4 × 3n ? 3 .

下面用数学归纳法证明:当 n ≥ 3 时, 3an > n 2 事实上,当 n = 3 时,由前面的讨论知结论成立. 假设当 n = k (k ≥ 3) 时, 3ak > k 2 成立,则由②知, ak +1 = 3ak > k 2 ,从而
3ak +1 ? (k + 1) 2 > 3k 2 ? (k + 1) 2 = 2k (k ? 2) + 2k + 1 > 0 , 所 以 3ak +1 > (k + 1)2 . 所 以 当 n ≥ 3

时, 3an > n 2 成立. 于是由②知,当 n ≥ 3 , an +1 = 3an ,而 a3 = 4, 因此 an = 4 × 3
n ?3

(n ≥ 3) = a ? 3n ?1 .而要使 3an > n 2 ,即

an +1 = 3an ,即数列 {an } 是首项为 a ,公比为 3 的等比数列,且 an

(2)存在 a ,使数列 {an } 是等比数列.事实上,由②知,若对任意的 n ,都有 3an > n 2 ,则

a ? 3n > n 2 对 一 切 n ∈ N ? 都 成 立 , 只 需 a >
1 4 1 b1 = , b2 = , b3 = , ??? . 3 9 3

n2 n2 ? 对 一 切 n ∈ N 都 成 立 . 记 bn = n , 则 3 3n

令 y=

x2 1 1 , 则y′= x (2 x ? x 2 ln 3) < x (2 x ? x 2 ) , 因 此 , 当 x ≥ 2 时 , y′ < 0 , 从 而 函 数 x 3 3 3

x2 在 [2, +∞) 上单调递减,故当 n ≥ 2 ,数列 {bn } 单调递减,即数列 {bn } 中最大项为 b2 , 3x 4 n2 ?4 ? 于是当 a > 时,必有 a > n ,这说明,当 a ∈ ? , +∞ ? 时, 数列 {an } 是等比数列. 9 3 ?9 ? y=
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当a =

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4 4 4 2 时,可得 a1 = , a2 = .而3a2 = 4 = 2 ,由③知, f 2 ( x) 无极值,不合题意. 9 9 3 1 4 当 < a < ,可得 a1 = a, a2 = 3a, a3 = 4, a4 = 12, ???, 数列 {an } 不是等比数列. 3 9 1 2 当 a = 时, 3a = 1 = 1 , 由③知, f1 ( x) 无极值,不合题意. 3 1 当 a < , 可得 a1 = a, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 12, ???, 数列 {an } 不是等比数列. 3 ?4 ? 综上,存在 a ,使数列 {an } 是等比数列,且 a ∈ ? , +∞ ? ?9 ?
易错点: 易错点:①多情况的分类讨论;②知识和方法较为综合. 变式与延申 变式与延申 3: 当正整数 n > 8 时,比较 ( n ) 掉,供思考) 题型四 导数与积分 例题 4 (Ⅰ)已知函数 f ( x ) = x ? x ,其图象记为曲线 C. (i)求函数 f ( x ) 的单调区间;
3 n +1

与 ( n + 1)

n

的大小.(本题可将 n > 8 去

(ii)证明:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P ( x1 , f ( x1 )) 处的切线交于另一点 1

P2 ( x2 , f ( x2 )) ,曲线 C 与其在点 P2 ( x2 , f ( x2 )) 处的切线交于另一点 P3 ( x3 , f ( x3 )) ,线段 S P P2 , P2 P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 , S 2 ,则 1 为定值; 1 S2
(Ⅱ)对于一般的三次函数 g ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0), 请给出类似于(Ⅰ) (ii)的 正确命题,并予以证明. 点拔: 点拔:需把握好两点:一是定积分上下限的确定;二是降维思想的应用,寻求上下限变量之 间的关系,其他变量全用变量 x1 表示.另外本题对运算能力要求,计算时需谨慎,力求每步 精确. 解法一(Ⅰ) (i)由 f ( x) = x 3 ? x 得 f ′( x ) = 3 x 2 ? 1 = 3( x ? 解法一 当 x ∈ (?∞, ?
3 3 )( x + ), 3 3

3 3 ) 和 ( , +∞) 时, f ′( x) > 0 ; 3 3 3 3 当 x ∈ (? , ) 时, f ′( x) < 0 , 3 3 3 3 3 3 因此, f (x) 的单调递增区间为 ( ?∞, ? ) 和 ( , +∞) ,单调递减区间为 (? , ). 3 3 3 3 2 3 ( ii ) 曲 线 C 与 其 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 y = (3 x1 ? 1)( x ? x1 ) + x1 ? x1 , 即 1

y = (3 x ? 1) x ? 2 x
2 1

3 1

? y = (3 x12 ? 1) x ? 2 x13 ? 3 2 3 , 由 ? , 得 x ? x = (3 x1 ? 1) x ? 2 x1 , 即 3 ?y = x ? x ?

( x ? x1 ) 2 ( x + 2 x1 ) = 0 , 解 得 x = x1 或 x = ?2 x1 , 故 x2 = ?2 x1 , 进 而 有 ?2 x1 27 4 S1 = ∫ ( x3 ? 3 x12 x + 2 x13 )dx = x1 , x2 替代 x1 , 用 重复上述计算过程, 可得 x3 = ?2 x2 x1 4
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和 S2 =

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27 4 27 4 S 1 x2 ,又 x2 = ?2 x1 ≠ 0 ,所以 S 2 = x1 ≠ 0 ,因此 1 = . 4 4 S 2 16
3 2

(II)记函数 g ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 的图象为曲线 C ′ ,类似于(Ⅰ) (ii)的正 确命题为:若对任意不等于 ?

b 的实数 x1 ,曲线 C ′ 与其在点 P ( x1 , g ( x1 )) 处的切线交于另 1 3a 一点 P2 ( x2 , g ( x2 )) ,曲线 C ′ 与其在点 P2 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线交于另一点 P3 ( x3 , g ( x3 )) ,线 S 段 P P2 , P2 P3 与曲线 C ′ 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 , S 2 ,则 1 为定值; 1 S2

证明: 因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线 y = g ( x ) 的对称中心 ( ?

b b , g (? )) 平移至 3a 3a

坐 标 原 点 , 因 而 不 妨 设 g ( x ) = ax 3 + hx, 且x ≠ 0 , 类 似 ( Ⅰ ) ii ) 计 算 可 得 (

S1 =

27 4 27 × 16 4 S 1 ax1 , S 2 = ax1 ≠ 0 ,因此 1 = 4 4 S 2 16

解法二(Ⅰ)同解法一 解法二 (II)记函数 g ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 的图象为曲线 C ′ ,类似于(Ⅰ) (ii)的正 确命题为:若对任意不等于 ?

b 的实数 x1 ,曲线 C ′ 与其在点 P ( x1 , g ( x1 )) 处的切线交于另 1 3a 一点 P2 ( x2 , g ( x2 )) ,曲线 C ′ 与其在点 P2 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线交于另一点 P3 ( x3 , g ( x3 )) ,线 S 段 P P2 , P2 P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 , S 2 ,则 1 为定值; 1 S2
证 明 : 由 y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 得 y ' = 3ax 2 + 2bx + c , 所 以 曲 线 C ′ 在 点

P ( x1 , g ( x1 )) 处的切线方程方程为 y = (3ax12 + 2bx1 + c ) x ? 2 ax13 ? bx12 + d , 1
? y = (3ax12 + 2bx1 + c) x ? 2ax13 ? bx12 + d ? 3 由? ,得 ax3 + bx2 ? ( 3ax12 + 2bx1 ) x + bx12 + 2ax1 = 0 , 3 2 ? y = ax + bx + cx + d ? b b ? 2 x1 ,即 x2 = ? ? 2 x1 ,故 a a 4 x1 (3ax1 + b) S1 = ∫ [ax 3 + bx 2 ? (3ax12 + 2bx1 ) x + 2ax13 + bx12 ]dx = ,用 x2 代替 x1 ,重复上 x2 12a 3 b (3ax2 + b) 4 (?6ax1 ? 2b) 4 16(3ax1 + b) 4 述过程,可得 x3 = ? ? 2 x2 和 S 2 = = = ≠0 a 12a 3 12a 3 12a 3
化简:得到 ( x ? x1 ) 2 ( ax + b + 2 ax1 ) = 0 ,∴ x = x1或x = ? 所以
S1 1 = S2 16

易错点: 易错点:①本题思维量较小,但由积分公式计算面积,字母计算的整体代换等运算求解能力 要求较高,不容易正确;②对曲线 y = g ( x ) 的对称中心 ( ? 响化归与转化思想应用. 变式与延申 变式与延申 4:
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b b , g (? )) 会有理解障碍,影 3a 3a

已知 y = ax 3 + bx 通过点 (1, 2) ,与 y = ? x 2 + 2 x 有一个交点 x1 ,且

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a < 0 , x1

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>0.
3 2

(1)求 y = ax + bx 与 y = ? x + 2 x 所围的面积 S. (2) a , b 为何值时,S 取得最小值. 本节主要考查: 1)求切线方程,讨论单调性,求极值和最值,导数与不等式问题,利用积 本节主要考查: ( 分计算图形面积.(2)构造函数,证明不等式. 函数含参时,不等式有解或恒成立转化为求 ( 函数最值或对参数进行分类讨论. 讨论极值点位置时用到根的分布知识.(3) ( 考查函数与方 程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想,尤其是分类讨论思想,是近年来高考命 题的热点. 点评: 点评: 导数的思想方法和基本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用.备考 应注意以下几个方面: (1)导数的意义:变化率和切线的斜率,能够设切点坐标求切线方程.函数的单调区间和函数 在某区间单调的区别; (2)导数作为工具使用:如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒立或方 程解等问题;(3)注意各小题之间的承接与提示作用,以及以 e 为底的指对数与一次多项式 之间的不等关系(如例 2 中 e x ≥ 1 + x ); (4) 积分是大学内容的下放,要求能对公式进行应用,求面积方面问题较多. (5) 注重导数与其他知识的交汇,重点知识重点抓,使常见数学思想方法融会贯通. 习题 1-2
2 1.已知 f ( x ) = x + 3 xf ′(2), 则ff′(2) ) = (0

'

.

2.已知函数 f ( x ) = ln(1 + x ) ? x +

k 2 x (k ≥ 0) 2 (Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间. 1 3. 设 y = f ( x) 为三次函数,且图像关于原点对称,当 x = 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2
(1)求函数 f ( x ) 的解析式及单调递增区间; (2)记 g ( x ) = f ′ ( x ) + (3m ? 1) x + 6, 若 g ( x ) 在 [0,1] 上至少有一个 x0 ,使得 g ( x0 ) = 0 ,求实 数 m 的取值范围. 4.已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ,直线 l1 : x = 2 ,直线 l2 : y = ?t 2 + 8t (其中 0 ≤ t ≤ 2 , t 为常数) ;.若直线 l 1、 l 2 与函数 f ( x ) 的图象以及
l2 、 y 轴与函数 f ( x ) 的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

(Ⅰ)求 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S ( t ) 的解析式. .

ln 1 + x ) 5. 设 f ( x ) = ( ( x > 0) x
(I)判断函数 f ( x) 的单调性;
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图 1-2-2

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出 a 的取值范围;若不存在,说明理由; (Ⅲ)求证: (1 + ) n < e , n ∈ N ? (其中 e 为自然对数的底数).
1 n

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(Ⅱ)是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 ln(1 + x) < ax 在 (0, +∞) 上恒成立?若存在,求

函数的单调性、 第三节 函数的单调性、最值和极值
函数的单调性、最(极)值是高考的热点,新课程中函数的单调性、最(极)值的要求 提高了,可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中,函数的单调性、极(最)值往往 是以某个初等函数为载体出现,综合题往往与不等式、数列等联系起来,处理方法除了定义 法之外,一般采用导数法.难度值控制在 0.3~0.6 之间. 考试要求:①理解函数单调性的概念;②能判断简单函数的单调性;③能求函数的最 大(小)值;④掌握基本初等函数的单调性和最值;⑤数形结合思想;⑥函数思想. 题型一:已知函数的单调性、 求参变量的值. 题型一:已知函数的单调性、最(极)值,求参变量的值 例1 设函数 f ( x) = 6 x 3 + 3( a + 2) x 2 + 2ax .

(1)若 f (x ) 的两个极值点为 x1 , x 2 且 x1 x 2 = 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f (x ) 是 (?∞, +∞) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由. 点拔: 点拔:因为是三次函数,所以只要①利用“极值点 ? f ′( x ) = 0 的根”,转化为一元二次方程 根的问题;②利用 f (x ) 在 (?∞, +∞) 上单调 ? f ′(x ) >0(<0) ,转化为判断一元二次函数 图像能否在 x 轴上方的问题.
2 解: f ′( x ) = 18 x + 6( a + 2) x + 2a

(1)由已知有 f ′( x1 ) = f ′( x2 ) = 0 ,从而 x1 x2 =

2a 18

= 1 ,所以 a = 9 ;

(2)由 ? = 36( a + 2) 2 ? 4 × 18 × 2a = 36( a 2 + 4) > 0 ,得 f ′( x ) = 0 总有两个不等的实根,

f ( x) 不恒为菲负值,所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 R 上的单调函数.
易错点: 易错点:①三次函数的极值点 x1 , x 2 与原函数 f (x ) 的导数关系不清; ②含参变量 a 的问题是逆向思维,学生易出现错误; ③学生不会将 f (x ) 在 (?∞, +∞) 上是单调函数的问题转化为 f ′( x ) > 0(< 0) 恒成立问题. 年高考江西卷理) 变式与引申 1:(2011 年高考江西卷理 设 f ( x ) = ? :

1 3 1 2 x + x + 2ax 3 2

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(1)若 f ( x ) 在 ( , +∞) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (2)当 0 < a < 2 时, f ( x ) 在 [1, 4] 上的最小值为 ?

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2 3

16 ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. 3

题型二:已知最( 题型二:已知最(极)值或其所在区域,通过单调性分析参变量的范围. 值或其所在区域,通过单调性分析参变量的范围
3 2 例 2 已知函数 f ( x) = x + (1 ? a ) x ? a ( a + 2) x + b( a,b ∈ R ) .

(1)若函数 f ( x) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间( ? 1,1)上至少有一个极值点,求 a 的取值范围. ........ 点拔: 点拔:第(1)问利用已知条件可得 f ( 0 ) = 0, f ′(0)=0 ,求出 a,b 的值.第(2)问利用“极 值点 ? f ′( x) = 0 ”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析: (1)由函数 f ( x) 的图像过原点,得 b = 0 , 又 f ′( x) = 3 x 2 + 2(1 ? a ) x ? a (a + 2) , f ( x) 在原点处的切线斜率是 ?3 , 则 ? a ( a + 2) = ?3 ,所以 a = ?3 ,或 a = 1 . (2)法一:由 f ′( x) = 0 ,得 x1 = a,x2 = ?

a+2 .又 f ( x ) 在 (?1,1) 上至少有一个极值点, 3

a+2 ? < 1, ??1 < a < 1, ??5 < a < 1, ??1 < a < 1, ??1 < ? ? ? ? ? 3 即? 解得 ? a + 2 或? 1 或? 1 ?a ≠ ? 2 , ?a ≠ ? 2 . ?a ≠ ? 3 , ?a ≠ ? a + 2 . ? ? ? ? 3 ?
所以 a 的取值范围是 ? ?5, ?

? ?

1? ? 1 ? 1? ?∪?? , . 2? ? 2 ?

2 法二: 法二: f ′( x ) = 3 x + 2(1 ? a ) x ? a (a + 2) ,由题意

① f ' ( x ) = 0 必有一根在(-1,1)上, 故 f ' (-1) ? f ' (1) < 0 ,即 (5 ? 4a ? a 2 )(1 ? a 2 ) < 0 ,解得 ?5 < a < ?1 ; 或 f ' (-1)=0 ,则 a = ±1 ,当 a = 1, f (1) = 0 (舍去) ,当 a = ?1 时,经检验符合题意; 同理 f ' (1)=0 ,则 a = 1或5 ,经检验,均不符合题意,舍去.

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② f ( x) = 0 有两个不同的根在(-1,1)上
'

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? f ' (-1) > 0 ? ' 1 1 故 ? f (1) > 0 解得: ?1 < a < ? 或 ? < a < 1 2 2 ?? > 0 ?
所以, ? 所以,a 的取值范围 ? ?5,

? ?

1? ? 1 ? 1? ?∪?? , . 2? ? 2 ?

易错点: 易错点:①解不等式 f ′( x ) > 0 出错;②第(2)问的解法一,不易分析.;③第(2)问的解 法二,分类讨论,不易讨论完整. 变式与引申 2:将(2)中改为“ f ( x ) 在区间( ? 1,1)上有两个极值点”,或改为“ f ( x ) 存 : 在极值点,但在区间( ? 1,1)上没有极值点”,如何求 a 的取值范围? 题型三:函数的单调性、 题型三:函数的单调性、最(极)值与不等式结合的问题 例3 设函数 f ( x ) = x 2 e x ?1 + ax 3 + bx 2 ,已知 x = ?2 和 x = 1 为 f ( x ) 的极值点.

(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)设 g ( x) = x3 ? x 2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小.
3 2

点拔: 点拔:此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数,分析第(1)问先由极值点转化 为方程的根,再用待定系数法;第(3)问中比较两个函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小,可构造新 函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,再通过分析函数 F ( x ) 的单调性来讨论 F ( x ) 与 0 的大小关系. (1)因为 f ′( x ) = e x ?1 (2 x + x 2 ) + 3ax 2 + 2bx = xe x ?1 ( x + 2) + x (3ax + 2b) , 解: 又 x = ?2 和 x = 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ′( ?2) = f ′(1) = 0 ,

因此 ?

??6a + 2b = 0, 1 解方程组得 a = ? , b = ?1 . 3 ?3 + 3a + 2b = 0,
1 3

(2)因为 a = ? , b = ?1 ,所以 f ′( x ) = x ( x + 2)(e x ?1 ? 1) , 令 f ′( x ) = 0 ,解得 x1 = ?2 , x2 = 0 , x3 = 1 . 因为当 x ∈ (?∞, 2) ∪(0, 时, f ′( x ) < 0 ;当 x ∈ (?2, ∪ (1, ∞) 时, f ′( x ) > 0 . ? 1) 0) +

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所以 f ( x ) 在 ( ?2, 和 (1 + ∞) 上是单调递增的;在 ( ?∞, 2) 和 (0, 上是单调递减的. 0) , ? 1) (3)由(1)可知 f ( x ) = x e
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 ,故 3

F ( x) = f ( x) ? g ( x) = x 2 e x ?1 ? x3 = x 2 (e x ?1 ? x) ,
令 h( x) = e
x ?1

? x ,则 h′( x) = e x ?1 ? 1 .令 h′( x) = 0 ,得 x = 1 ,

因为 x ∈ ( ?∞, 时, h′( x ) ≤ 0 ,所以 h( x ) 在 x ∈ ( ?∞, 上单调递减. 1] 1]

1] 故 x ∈ ( ?∞, 时, h( x ) ≥ h(1) = 0 ;
因为 x ∈ [1, ∞ ) 时, h′( x ) ≥ 0 ,所以 h( x ) 在 x ∈ [1, ∞ ) 上单调递增. + + 故 x ∈ [1, ∞ ) 时, h( x ) ≥ h(1) = 0 . +

+ 所以对任意 x ∈ ( ?∞, ∞) ,恒有 h( x ) ≥ 0 ,又 x
故对任意 x ∈ ( ?∞, ∞) ,恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) . +

2

≥ 0 ,因此 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,

2 x ?1 易错点: 易错点:①求导数时, ( x e )′ 易出错;②比较两个函数的大小属于不等式问题,学生容易

只从不等式的简单知识出发,而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申 3:将第(3)问改为:设 g ( x ) = :

2 3 x ? x 2 ,试证 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立. 3

题型四:函数的单调性、 题型四:函数的单调性、最(极)值问题的综合应用 例4 已知函数 f ( x) = ( x ? a)2 ( x ? b) (a, b ∈ R, a < b) .

(1)当 a = 1, b = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程; (2)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ≠ x1 , x3 ≠ x2 ,求证: 存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后成等差数列,并求 x4 . 点拔: 点拔:本题为函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识 的综合运用;分析第(2)时应从先 x3 ≠ x1 , x3 ≠ x2 来确定 x3 ,再用等差中项的性质求出 确定 x4 ,同时确定 x1 , x2 , x3 , x4 的顺序. (1)当 a = 1, b = 2 时,因为 f ′(x ) =(x-1) (3x-5) ,故 f ′( 2) = 1 , f ( 2) = 0 , 解: 所以 f ( x ) 在点(2,0)处的切线方程为 y = x ? 2 .
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(2)证明:因为 f ′(x ) =3(x-a) (x- 由于 a < b ,故 a <

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a + 2b ) , 3
[

a + 2b a + 2b . 所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= . 3 3 a + 2b 不妨设 x1=a,x2= ,因为 x3 ≠ x1 , x3 ≠ x2 ,且 x3 是 f(x)的零点,故 x3=b. 3 a + 2b a + 2b 1 a + 2b 2a + b -a=2(b- ) 4= (a+ ,x )= , 又因为 3 3 2 3 3 2a + b a + 2b 2a + b 所以 a, , ,b 依次成等差数列.所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3 3 3
变式与引申 4:已知 a 是给定的实常数,设函数 :

易错点: 易错点:学生遇到综合类问题容易出现知识上的漏洞.

f ( x) = ( x ? a ) 2 ( x + b)e 2 , b ∈ R , x = a 是 f ( x) 的一个极大值点.
(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点, 问是否存在实数 b , 可找到 x4 ∈ R , 使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } = {1, 2,3, 4} )依次成等差数列?若存在,求所有的

b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由.
本节主要考查: 本节主要考查: (1)函数单调性; (2)单调性、极值点与导数的关系; (3)函数思想; (4)数形结合思想. 点评: (1)讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的 点评: 定义域,函数的单调区间是定义域的子集; (2)求函数单调区间的常用方法:定义法、图像法、复合函数法、导数法等; (3)利用求导的方法研究函数的单调性、最(极)值,函数在区间上为单调问题转化为导 函数在区间上的正负问题,从而转化为不等式问题,再而研究函数的最(极)值.需灵活应 运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等. 习题 1—3 1. 已知: 函数 f ( x ) = ?

? log 3 x

(0 < x ≤ 9)


?? x + 11 ( x > 9)

, a , , 均不相等, f ( a ) = f (b) = f (c ) , 若 b c 且

则 a ? b ? c 的取值范围是(

A. (0, 9)

B. (2, 9)

C.

(9, 11)

D. (2, 11)

2.已知函数 f ( x)与g ( x) 的定义域均为非负实数集,对任意的 x ≥ 0 ,规定 f ( x ) ? g ( x )
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.

= min{ f ( x), g ( x)}, 若f ( x) = 3 ? x, g ( x) = 2 x + 5 , 是f ( x) ? g ( x)的最大值为
3. 已知函数 f ( x) = x ? 3ax + 3 x + 1.
3 2

(1)设 a = 2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 f ( x ) 在区间(2,3)上不单调,求 a 的取值范围. 4.已知函数 f ( x ) =

x , g ( x) = a ln x, a ∈ R .

(I)若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x ) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线 的方程; (II)设函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,当 h( x ) )存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (III)对(2)中的 ? ( a ) ,证明:当 a ∈ (0, +∞) 时, ? ( a ) ≤ 1. 5.设函数 f ( x ) = ( x ? 1) + b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当 b >

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2) b ≤ 0 时,求 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式 ln(n + 1) ? ln n >

1 都成立. n2

函数的综合应用(1) 第四节 函数的综合应用(1)
函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一, 函数的观点和思想方法是高中数学的一条重 要的主线,选择、填空、解答三种题型每年都有,函数题的身影频现,而且常考常新.函数 和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点,题目由易到难几乎都 有,与导数的结合更是经常作为压轴题出现. 考试要求 (1)了解映射概念,理解函数的概念; (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌 握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法; (3)掌握指、对数函数的概念、图象和性质. (4)根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法 是求方程近似解的常用方法. 题型一 函数解析式问题 例 1 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的 余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系 ... 用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A y=[

x ] 10

B y=[

x+3 ] 10

C y=[

x+4 ] 10

D y=[

x+5 ] 10

点拨: 点拨:用具体数据代入选项,确定哪个函数比较符合; 解:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B
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法二:设 x = 10 m + α (0 ≤ α ≤ 9) , 0 ≤ α ≤ 6时, ?

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α + 3? ? x + 3? ? ?x? ? = ?m + 10 ? = m = ?10 ?, ? 10 ? ? ? ? ?

α + 3? ? x + 3? ? ?x? 当6 < α ≤ 9时, ? ? = ?m + 10 ? = m + 1 = ?10 ? + 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?
? f ( x ), f1 ( x ) ≥ f 2 ( x ) , 若方程有四个不 例 2 设 f1 ( x) =| x ? 1|, f 2 ( x) = ? x 2 + 6 x ? 5, 函数 g ( x ) = ? 1 ? f 2 ( x ), f1 ( x ) < f 2 ( x ) 同的实数解, 若方程 g(x)=a 有四个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是___________________. 点拨: 点拨:在同一坐标系中画出 f1 ( x) 和 f 2 ( x) 的图象,再根据题意画出 g ( x ) ,根据图象得出 a 的取值范围. 解:在坐标系中作出 f1 ( x) 和 f 2 ( x) 的图象,可知 g ( x ) 图象如图所示, 故 a 的取值范围是 3 < a < 4 . 易错点: 易错点:⑴对抽象函数理解不强,缺少处理方法容易造成错误;

⑵正确理解解析式 g ( x ) 所表示的意义是解题的关键,如果讨论 f1 ( x) 和

f 2 ( x) 的大小再得出 g ( x ) 的解析式,然后画图,一是计算量比较多,再是
容易出错.

x 2 + bx + c, x ≤ 0, 若 f (?4) = f (0), f (?2) = ?2 ,则关于 x 的方 变式与引申 1:设函数 f ( x) = 2, x > 0.
程 f ( x ) = x 的解的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 下列结论 正确的是 ________ . 变式与引申 2: 设函数 y = f (x) 由方程 x | x | + y | y |= 1 确定, (请将你认为正确的序号都填上) (1) f (x) 是 R 上的单调递减函数;[来源:Zxxk.Com] (2)对于任意 x ∈ R , f ( x) + x > 0 恒成立; (3)对于任意 a ∈ R ,关于 x 的方程 f ( x) = a 都有解; 题型二 函数的性质与图象 例 3 已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) ,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数, 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 [? 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

{

x1 + x2 + x3 + x4 = _________ . 点拨: 点拨:由 f ( x ? 4) = ? f ( x) 求出 f (x) 的周期,又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增 函数,得出 f (x) 在一个周期[-2,2]中的单调
性,再根据对称性求值. 解:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) = f (? x) , 所以函数图象关于直线 x=2 对称且 f (0) = 0 , 由 f ( x ? 4) = ? f ( x) 知

f ( x ? 8) = f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 又因为 f (x ) 在区间[0,2]上是增函
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数, 所以 f (x ) 在区间[-2,0]上也是增函数. 如图所示, 那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 [? 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设 x1 < x2 < x3 < x4 , 由 对 称 性 知

x1 + x2 = ?12 , x3 + x4 = 4 .所以 x1 + x2 + x3 + x4 = ?12 + 4 = ?8 .
易错点: 易错点:对函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性等其中的一个知识点掌握不好,都容易 出错;不能得出 f (x) 是周期函数,或不能得出对称轴及单调区间等. 变式与引申 3:函数 y =

cos 4 x 的图像大致是 ( 2x



A.

B.

C.

D.

1 1 ? ? 变式与引申 4:设函数的集合 P = ? f ( x) = log 2 ( x + a) + b | a = ? , 0, ,1; b = ?1, 0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

? ? 1 1 Q = ?( x, y ) x = ? , 0, ,1; y = ?1, 0,1? , 2 2 ? ?
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. ( ) A 4 B 6 题型三 函数零点与二分法思想

C 8

D 10

例 4 设函数 f ( x ) = x | x ? 1| + m, g ( x ) = ln x. (1)当 m > 1 时,求函数 y = f ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (2)记函数 p ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,若函数 p ( x ) 有零点,求 m 的取值范围. (1)这是一道含绝对值的函数题,对 x 与 1 的大小进行讨论,去掉绝对值后求值; (2) 点拨: 函数 p ( x ) 有零点转化为方程 m = ln x ? x | x ? 1| 有解,用导数求出该函数的值域得出 m 的取 值范围. (1)当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = x (1 ? x ) + m = ? x + x + m = ?( x ? ) + m + 解:
2 2

1 2

1 4

∴当 x =

1 1 时, f ( x ) max = m + 2 4
2

当 x ∈ (1, m] 时, f ( x ) = x ( x ? 1) + m = x ? x + m = ( x ? ) + m ?
2

1 2

1 4

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∵函数 y = f ( x) 在 (1, m] 上单调递增 ∴ f ( x ) max = f ( m) = m 由m ≥ m+
2
2

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1 1 1+ 2 2 得m ? m ? ≥ 0又m >1 ? m ≥ 4 4 2

∴当 m ≥

1+ 2 1+ 2 1 2 时, f ( x ) max = m ,当 1 < m < 时, f ( x ) max = m + . 2 2 4

( 2 ) 函 数 p ( x ) 有 零 点 即 方 程 f ( x) ? g ( x) = x | x ? 1| ? ln x + m = 0 有 解 , 得

m = ln x ? x | x ? 1| . 令 h( x) = ln x ? x | x ? 1| ,
当 x ∈ (0,1] 时, h( x) = x 2 ? x + ln x,Q h' ( x) = 2 x +

1 ?1 ≥ 2 2 ?1 > 0 , x 所以函数 h( x) 在 x ∈ (0,1] 上是增函数,∴ h( x) ≤ h(1) = 0 ; 当 x ∈ (1, +∞) 时 1 ?2 x + x + 1 ( x ? 1)(2 x + 1) +1 = =? < 0, x x x 所以函数 h( x) 在 x ∈ (1, +∞) 上是减函数,∴ h( x) < h(1) = 0 . h( x) = ? x 2 + x + ln x,Q h ' ( x) = ?2 x +
2



所以方程 m = ln x ? x | x ? 1| 有解时 m ≤ 0 ,即函数 p ( x ) 有零点时 m 的取值范围 (?∞,0] . 易错点: 易错点: (1)去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误; ; (2)零点问题不能转 化成方程有解问题,从而不能使问题得到有效的解决. 变式与引申 5:函数 f ( x) = ln ( x + 1) ? A.(0,1) B. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (2,3) D.

)

( 3, 4 )
x ? 1 的零点分别

x 变式与引申 6:已知函数 f ( x) = x + 2 , g ( x ) = x + ln x , h ( x ) = x ?

为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x 2 , x3 的大小关系是( A. x1 < x2 < x3 B. x2 < x1 < x3

)][来源:学.科.网 Z.X.X.K] D. x3 < x2 < x1

C. x1 < x3 < x2

题型四 函数与导数问题 例 5 已知函数 f ( x) = x3 ? 3ax( x ∈ R ) . (1) 若直线 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值 范围; (2)设 g(x)=|f(x)|,x∈[-l,1],求 g(x)的最大值 F(a)的解析式. 点拨: 点拨:(1) 求曲线 y=f(x)的切线的斜率就是对 f ( x) 的求导,其导数值不能取到已知直线的 斜率-1;(2) g(x)是偶函数,只须求 g(x)在[0,1]上最大值. (1) ∵ f ′ ( x ) = 3x 2 ? 3a ≥ ?3a ∴要使直线 x + y + m =0 对任意的 m ∈ R 总不是曲线 解:
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y = f ( x) 的切线,当且仅当-1<-3a,∴ a <

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1 . 3

(2)因 g ( x ) = f ( x ) = x3 ? 3ax 在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值, ① 当 a ≤ 0 时, f ′ ( x ) ≥ 0 , f ( x ) 在 [ 0,1] 上单调递增且 f ( 0 ) = 0 , ∴ g ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ,∴ F ( a ) = f (1) = 1 ? 3a . ② 当a > 0 时 i .当

f ′ ( x ) = 3 x 2 ? 3a = 3 x + a

(

)( x ? a )

a ≥ 1 , 即 a ≥ 1 时 g ( x ) = f ( x ) = ? f ( x ) , ? f ( x ) 在 [ 0,1] 上 单 调 递 增 , 此 时

F ( a ) = ? f (1) = 3a ? 1
ii. 当 0 < a < 1 ,即 0 < a < 1 时, g ( x ) = f ( x ) 在 ?0, a ? 上单调递减,在 ? a ,1? 上单调 ? ? ? ? 递增. 1 当 f (1) = 1 ? 3a ≤ 0 即
0

1 ≤ a < 1 时 , g ( x ) = f ( x ) = ? f ( x ) 在 ?0, a ? 上 单 调 递 增 , 在 ? ? 3

? a ,1? 上单调递减,故 F ( a ) = ? f ? ?
2 当 f (1) = 1 ? 3a > 0 即 0 < a <
0

( a ) = 2a

a.

1 时, 3 F ( a ) = f (1) = 1 ? 3a a

(ⅰ)当 ? f

( a ) ≤ f (1) = 1 ? 3a 即 0 < a ≤ 1 时, 4

(ⅱ) 当 ? f

( a ) > f (1) = 1 ? 3a 即 1 < a < 1 时, F ( a ) = ? f ( a ) = 2a 4 3

1 ? ? 1 ? 3 a , ( a ≤ 4 ), ? 1 ? 综上 F ( a ) = ? 2 a a , ( < a < 1), 4 ? ? 3 a ? 1,[1, + ∞ ). ? ?
易错点: 易错点:本题第二问分类讨论比较多,计算量也很大,考虑不周都会产生错误.
3 2 变式与引申 7 : 已知函数 f ( x) = ax + 3 x ? 6ax ? 11 , g ( x) = 3 x 2 + 6 x + 12 ,和直线

m : y = kx + 9 ,又 f ′(?1) = 0 .
(1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y = f ( x ) 的切线,又是 y = g ( x ) 的切线;如果 存在,求出 k 的值;如果不存在,说明理由.
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本节主要考查: (1)函数的解析式和函数的图象,函数的单调性、奇偶性、周期性、对 本节主要考查: 称性等函数性质; (2)结合图象,直观地反映函数的性质,考查了数形结合的思想和基本的 作图、运算、分析等解题能力; (3)零点和二分法体现了函数和方程的关系; (4)考查了用 导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法. 点评: (1)数形结合函数的性质是高考考查的重点内容.解决一些函数单调性和奇偶性,对 点评: 称性等要从数形结合的角度去认识,以形辅数,以数画形,化抽象为直观; (2)要充分利用 导数这一工具,结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题; (4)重 视计算能力,画图能力及分类讨论的思想方法. 习题 1-4

1 .已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数, g ( x) = [ x] 为取整函数,
的零点,则 g ( x0 ) 等于 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

2 .设函数 f ( x) = ?

?cos πx, x > 0 4 ,则 f (? ) 的值为 __________ . 3 ? f ( x + 1) ? 1, x ≤ 0

2 3. 已知函数 f ( x ) = ln( x + 2) ? x + bx + c. 在点 x=1 处的切线与直线 3 x + 7 y + 2 = 0 垂直,

且 f(-1)=0,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最小值. 4.已知函数 f ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + lg | a + 2 | ( a ∈ R,且 a ≠ ?2)

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

(1)若 f (x ) 能表示成一个奇函数 g (x ) 和一个偶函数 h(x ) 的和,求 g ( x)和h( x) 的解析式; (2)命题 P:函数 f (x ) 在区间 [(a + 1) 2 ,+∞) 上是增函数; 命题 Q:函数 g (x ) 是减函数
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; 5. (2011 年高考北京卷理)已知函数 f ( x) = ( x ? k ) e k .
2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对于任意的 x ∈ (0, +∞ ) ,都有 f ( x ) ≤

1 ,求 k 的取值范围. e

函数的综合应用(2) 第五节 函数的综合应用(2)
函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合,在每年高考试题中都有大量出现,综合性都 比较强,题目都有较高的难度;利用函数解不等式,利用导数研究函数的单调性,求函数的
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极值和最值等是考查的重点.特别今后,高考的应用题不一定是概率题,那么函数作为解决 生活实际问题的重要方法,其应用题出现在高考试题中,并且可能常态化那也在情理之中. 考试要求 能结合实例, 借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系, 能利用导数 研究函数的单调性,会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函 数解决一些生活实际问题. 题型一 函数与不等式
2 ? ?( x + 1) 例 1 设函数 f ( x) = ? ?4 ? x ? 1 ?

x <1 x ≥1

,则使得 f ( x ) ≥ 1 的自变量 x 的取值范围为( ) C.

A. ( ?∞,?2] U [0,10]

B.

( ?∞ ,?2] U [0,1]

(?∞,?2] U [1,10]

D.

[ ?2,0) U [1,10]
点拨: 点拨:由分段函数的表达式知,需分成两类:

x ≥1 ? ? x <1 ? 解析: 或? , 解析:由 f ( x ) ≥ 1 ,则 ? 2 ?( x + 1) ≥ 1 ? 4 ? x ? 1 ≥ 1 ?
解该不等式组得, a ∈ ( ?∞, ?2] U [0,10] .选 A 例 2 已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 A (2 2, +∞ ) B [2 2, +∞ ) C (3, +∞ ) D [3, +∞ )

点拨: 点拨:注意 a 的取值范围,利用均值不等式求解. 解: 作出函数 f(x)=|lgx|的图象,由 f (a ) = f (b),0 < a < b 知 0 < a < 1 < b, ? lg a = lg b,∴ ab = 1 ,

2 2 ,考察函数 y = x + 的单调性可知,当 0 < x <1 时,函数单调递减, a x 2 ∴ a + 2b = a + > 3 , a 故选 C. 易错点: 例 解对数不等式没注意到真数大 易错点: 1 分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解, 于 0,或没注意底数在(0,1)上时,或不等号的方向写错等;例 2 直接利用均值不等式求 2 解得∴ a + 2b = a + > 2 2 最小值为 2 2 等错误. a ∴ a + 2b = a +
变式与引申 1:已知函数 f ( x ) = ? 则实数 a 的取值范围为

?( a ? 2 ) x ? 1, x≤1, ? 若 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递增, x > 1. ?log a x, ?


变式与引申 2:已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + cx ,不等式 f ( x) > ?2 x 的解集为 (1,3) . ①若方程 f ( x) + 6a = 0 有两个相等的实根,求 f ( x) 的解析式; ②若 f ( x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. 题型二 函数与数列
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例 3 已知函数 y = f ( x )( x ∈ R )满足f ( x ) + f (1 ? x ) = (1)求 f ( )和f ( ) + f (

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n ?1 )(n ∈ N *) 的值; n 1 2 n ?1 (2) 若数列 {a n }满足a n = f (0) + f ( ) + f ( ) + L + f ( ) + f (1) , 求列数 {a n } 的 n n n 1 2 1 n
(3)若数列{bn}满足 a n bn =

1 . 2

通项公式;

1 , S n = b1b2 + b2 b3 + b3 b4 + L + bn bn +1 ,则实数 k 为何值 4

时,不等式 2kS n < bn 恒成立.

1 n ?1 2 n ? 2 1 + = + = L = 1 ,及 f ( x) + f (1 ? x) = ,构成对 n n n n 2 1 1 进行运算; (3)求出 bn ,将 bn bn +1 = × 裂项,并求和求出 Sn ,再利用二次函数单 n +1 n + 2 调性求解.
点拨: (2)注意到 0 + 1 = 点拨:

1 1 1 1 1 1 ,则f ( ) + f (1 ? ) = , f ( ) = ∴ 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 令 x = ,则f ( ) + f (1 ? ) = ,即f ( ) + f ( )= n n n 2 n n 2 n ?1 1 2 (2)∵ a n = f (0) + f ( ) + f ( ) + L + f ( ) + f (1) ① n n n n ?1 n?2 1 ∴ a n = f (1) + f ( )+ f( ) + L + f ( ) + f ( 0) ② n n n 1 n ?1 1 1 n +1 由(1) ,知 f ( ) + f ( )= ∴①+②,得 2a = (n + 1) × . ∴ a n = . (n ∈ N *) n n 2 2 4
(1)令 x = 解: ( 3 ) ∵

an =

n +1 4

, an bn =

1 4

,

bn =

1 n +1

,



bn bn +1 =

1 n +1

×

1 n+2

,



S n = b1b2 + b2 b3 + b3b4 + L + bn bn +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × + × + × +L + × = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) +L + ( ? ) 2 3 3 4 4 5 n +1 n + 2 2 3 3 4 4 5 n +1 n + 2

=

1 1 n ? = 2 n + 2 2( n + 2)

∴ 2kS n ? bn =

kn 1 kn 2 ? (1 ? k )n ? 2 ? = n + 2 n +1 (n + 1)(n + 2)

由 条 件 , 可 知 当 kn 2 ? (1 ? k ) n ? 2 < 0 恒 成 立 时 即 可 满 足 条 件 . 设

f (n) = kn 2 ? (1 ? k )n ? 2 ,
当 k>0 时,又二次函数的性质知 kn 2 ? (1 ? k ) n ? 2 < 0 不可能恒成立 当 k=0 时,f(n)=-n-2<0 恒成立;
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当 k<0 时,由于对称轴直线 n = ?

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? (1 ? k ) 1 1 1 = ? <? 2k 2k 2 2

∴f(n)在 [1,+∞) 上为单调递减函数∴只要 f(1)<0,即可满足 kn 2 ? (1 ? k ) n ? 2 < 0 恒 成立 ∴ 由 f (1) = k ? (1 ? k ) ? 2 < 0, 得k <

3 , 又k < 0 , ∴ k < 0 2

综上知,k≤0,不等式

2kS n < bn 恒成立
易错点: 易错点:没有发现 0 + 1 =

1 n ?1 2 n ? 2 1 + = + = L = 1 ,可以结合 f ( x) + f (1 ? x) = ,进行 n n n n 2

逆 序 求 和 ; 对 S n = b1b2 + b2 b3 + b3 b4 + L + bn bn +1 不 能 裂 项 求 和 或 求 和 中 出 错 , 对

kn 2 ? (1 ? k )n ? 2 < 0 恒成立的讨论不够严谨造成错误.
已知 f ( x ) 定义在 R 上的函数, 对于任意的实数 a, 都有 f (ab ) = af (b ) + bf (a ) , b 变式与引申 3: 且 f (2 ) = 1

?1? ①求 f ? ? 的值; ? 2?

②求 f 2 ? n 的解析式( n ∈ N ? )

( )

一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下, 每天销售量为 b 件. 变式与引申 4: 经市场调查后得到如下规律: 若对产品进行电视广告的宣传, 每天的销售量 S(件) 与电视广告每天的播放量 n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现. ①试写出该产品每天的销 售量 S (件)关于电视广告每天的播放量 n (次)的函数 关系式; ②要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90% ,则每天电 视广告的播放量至少需多少次? 题型三 含参数的函数极值问题 例 4 设 x1、 x 2 ( x1 ≠ x 2 )是函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x ( a > 0) 的两个极值点. (1)若 x1 = ?1, x2 = 2 ,求函数 f(x)的解析式; (2)若 | x1 | + | x2 |= 2 2 , 求b 的最大值; (3) x1 < x < x 2 , 且x 2 = a, 函数g ( x) = f ′( x) ? a ( x ? x1 ) , 若 求证: g ( x ) |≤ |

1 a (3a + 2) 2 . 12

(2) 则 点拨: 根据根与系数关系得出两根异号, | x1 | + | x2 |=| x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , 再用导数求 b 的最大值; (3)将不等式问题转化为求函数的最大值问题.
2 2 解: f ′( x ) = 3ax + 2bx ? a ( a > 0).

(1)Q x1 = ?1, x 2 = 2 是函数 f(x)的两个极值点, ∴ f ′( ?1) = 0, f ′( 2) = 0.

∴ 3a ? 2b ? a 2 = 0,12a + 4b ? a 2 = 0, 解得a = 6, b = ?9. ∴ f ( x) = 6 x 3 ? 9 x 2 ? 36 x.
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(2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点,∴ f ′( x1 ) = f ′( x 2 ) = 0.

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∴x1、 2 是方程 3ax + 2bx ? a = 0 的两根.∵△= 4b + 12a , ∴△>0 对一切 a > 0, ∈ R x b
2 2
2 3

恒成立.

x1 + x 2 = ? Q a > 0,

2b a , x1 ? x 2 = ? , 3a 3 ∴ x1 ? x 2 < 0.

∴| x1 | + | x 2 |=| x1 ? x 2 |= (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4( ? ) = + a. 3a 3 9a 2 3

4b 2 4 由 | x1 | + | x 2 |= 2 2 得 + a = 2 2 , ∴ b 2 = 3a 2 (6 ? a ). 2 3 9a
Q b 2 ≥ 0, ∴ 3a 2 (6 ? a ) ≥ 0, 0 < a ≤ 6.


h(a ) = 3a 2 (6 ? a ), 则h ′(a ) = ?9a 2 + 36a.

0 < a < 4时, h′(a) > 0 ∴ h(a ) 在(0,4)内是增函数; 4 < a < 6时, h′(a) < 0
∴h (a)在(4,6)内是减函数.

∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96,∴ h( a )在(0,6] 上的最大值是 96, ∴b 的最大值是 4 6 . (3)证法一:∵x1、x2 是方程 f ′( x) = 0 的两根, ∴ f ′( x) = 3a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,

1 | x ? x1 | + | x ? x 2 ? | 1 3 )2 ∴| g ( x) |= 3a | x ? x1 | ? | x ? x 2 ? |≤ 3a ( 3 2

Q x1 < x < x 2 ,∴ x ? x1 > 0, x ? x 2 < 0,
∴| g ( x) |≤ 3a 1 3a 1 [( x ? x1 ) ? ( x ? x 2 ? )]2 = ( x 2 ? x1 + ) 2 . 4 3 4 3 a 1 Q x1 ? x 2 = ? , x 2 = a, ∴ x1 = ? . 3 3
∴| g ( x) |≤ 3a 1 1 1 ? (a + + ) 2 = a (3a + 2) 2 . 4 3 3 12

证法二:∵x1、x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两根,∴ f ′( x) = 3a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) .

a 1 Q x1 ? x 2 = ? , x 2 = a, ∴ x1 = ? . 3 3
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1 1 1 ∴| g ( x) |=| 3a ( x + )( x ? a ) ? a ( x + ) | . =| a ( x + )[3( x ? a ) ? 1] | 3 3 3 1 ∵ x 1 < x < x 2, ∴| g ( x) |= a ( x + )(?3 x + 3a + 1) 3

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1 3a + 1 = ?3a ( x + )( x ? ) 3 3 a 3a 3 1 = ?3a ( x ? ) 2 + + a2 + a 2 4 3 3a 3 1 a (3a + 2) 2 2 ≤ +a + a= 4 3 12
易错点: 易错点:本题讨论、计算较多,不小心都容易出错,对问题的转化能力要求较高. 变式与引申 5: 若函数 f ( x ) =

1 3 1 2 x ? ax + (a ? 1)x + 1 在区间 (1,4) 上是减函数,在区间 3 2

(6,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
已知函数 f ( x ) = ln x ? 变式与引申 6:

1 2 ax ? 2 x(a ≠ 0 ) 存在单调递减区间, a 的取值范 求 2

围; 题型四 函数应用题 例 5 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行,对每天在各时间段进入园区和 离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单位,上午 9 点 9 即 10 分作为第一个计算人数的时间, n = 1 ; 点 20 分作为第二个计算人数的时间, n = 2 ; 即 依此类推 LL ,把一天内从上午 9 点到晚上 24 点分成了 90 个计算单位. 对第 n 个时刻进入园区的人数 f ( n) 和时间 n ( n ∈ N )满足以下关系(如图 1-5-2) :
?

3600 (1 ≤ n ≤ 24) ? n ? 24 ? ? 3600 ? 3 12 (25 ≤ n ≤ 36) ? f (n) = ? ,n∈ N ?? 300n + 21600 (37 ≤ n ≤ 72) ? 0 (73 ≤ n ≤ 90) ?
对第 n 个时刻离开园区的人数 g ( n) 和时间

f(n) f (n)
10800 10800

3600 3600 3600 1 1

O 1 1

24 24

36 36

72 72

90 90

n n

(图 1-5-2)

n ( n ∈ N ? )满足以下关系(如图 1-5-3) :
0 (1 ≤ n ≤ 24) ? ? g(n) = ?500n ?12000 (25≤ n ≤ 72), n ∈ N? ? 5000 (73≤ n ≤ 90) ?
(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有
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多少游客? (2)请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.(附 12 3 ≈ 1.096 )

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点拨: (1)计算出入园游客总数与出园游客总数,其差就是所求; (2)当入园游客总数与 点拨: 出园游客总数之差最大,则游客总人数最多,按每段函数分别计算 f (n) ? g (n) . ( 解 : 1 ) 当 0 ≤ n ≤ 24 且 n ∈ N 时 , f (n) = 3600 , 当 25 ≤ n ≤ 36 且 n ∈ N 时 ,
? ?

f (n) = 3600 ? 3

n ? 24 12

所以 S36 = [ f (1) + f (2) + f (3) + L + f (24)] + [ f (25) + f (26) + L + f (36)]

? 12 3 12 312 ? 1 ? = 3600 × 24 + 3600 × ? 12 3 ?1 ? ?
另一方面,已经离开的游客总人数是:

(

) ?? = 86400+82200 = 168600
? ? ?



T12 = g (25) + g (26) + L + g (36) = 12 × 500 +

12 × 11 × 500 = 39000 ;……2 分 2

所以 S = S36 ? T12 = 168600 ? 39000 = 129600 (人) 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有 129600 位游客. (2)当 f ( n) ? g ( n) ≥ 0 时园内游客人数递增;当 f ( n) ? g ( n) < 0 时园内游客人数递减. (i)当 1 ≤ n ≤ 24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间; (ii)当 25 ≤ n ≤ 36 时,令 500n ? 12000 ≤ 3600 ,得出 n ≤ 31 , 即当 25 ≤ n ≤ 31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多; 当 32 ≤ n ≤ 36 时, 3600 ? 3
n ? 24 12

> 500n ? 12000 ,进入园区人数多于离开人数,总人数越

来越多; (iii)当 37 ≤ n ≤ 72 时, 令 ?300n + 21600 = 500n ? 12000 时, n = 42 , 即在下午 4 点整时,园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午 4 点整. 易错点: (1)下午 3 点是哪个时段算不清出错; 易错点: (2)不能读懂题意和看图,无从下手. 变式与引申 7:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/
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每小时) f ( x ) = x.v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 本节主要考查: 本节主要考查:函数与不等式、数列等知识的综合运用能力;考查了如何用导数求函数 中含参数的与极值有关的综合题, 考查了用函数如何建模, 如何解决实际生活中出现的问题. 考查了数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力. 点评: 点评:导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础 知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度 不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式 或解决数列中的一些问题等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. 习题 1-5

?log 2 x, x > 0, ? 1 .已知函数 f(x)= ?log (? x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? 2 ?
A (-1,0)∪(0,1) C (-1,0)∪(1,+∞) B (-∞,-1)∪(1,+∞) D (-∞,-1)∪(0,1)

2 .拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由 f (m) = 1.06(0.5 ? [m] + 1) (元)决定,其中
m>0, [m] 是大于或等于 m 的最小整数, (如 [3] = 3 , [3.8] = 4 ) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的电话费为 .

? x2 + x + 4 , (x > 0), ? ? x 3 .已知函数 f ( x) = ? 2 ? ? x ? x + 4 , (x < 0). ? x ?
(1) 求证: 函数 f ( x ) 是偶函数; (2) 判断函数 f ( x ) 分别在区间 (0, 2] 、 [ 2, + ∞ ) 上的单调性, 并加以证明; (3) 若 1 ≤| x1 |≤ 4,1 ≤| x2 |≤ 4 , 求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ 1
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

4 .有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,…,z 的 26 个字母(不分大 小写),依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见如下表格:
a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26

给出如下一个的变换公式:
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x+1 (x∈N,1≤x≤26,x 不能被 2 整除) 2 X’=

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x 8 +13(x∈N,1≤x≤26,x 能被 2 整除) 将明文转换成密文,如 8→ +13=17,即 h 变成 2 2

5+1 q;5→ =3,即 e 变成 c. 2 ①按上述规定,将明文 good 译成的密文是什么? ②按上述规定,若将某明文译成的密文是 shxc,那么原来的明文是什么?

5 .已知函数 f ( x) = x 2 ln | x | ,
(1)判断函数 f (x ) 的奇偶性; (2)求函数 f (x ) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x ) = kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

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