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2012年中考数学深度复习讲义(教案 中考真题 模拟试题 单元测试):阅读理解



(备战中考)2012 年中考数学深度复习讲义 备战中考) (教案+中考真题+模拟试题+单元测试) 教案+中考真题+模拟试题+单元测试) 阅读理解
例 1、宽与长的比是

5 ?1 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目, 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目, 2

它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳 它给我们以协调, 匀称的美感. 现将小波同学在数学活动课中, 如下( 所示): 如下(如图 1 所示): 第一步: 第一步:作一个正方形 ABCD; 第二步: 第二步:分别取 AD,BC 的中点 M,N,连接 MN; 第三步: 为圆心, 长为半径画弧, 第三步:以 N 为圆心,ND 长为半径画弧,交 BC 的延长线于 E; 第四步: 第四步:过 E 作 EF⊥AD,交 AD 的延长线于 F. 请你根据以上作法, 为黄金矩形. 请你根据以上作法,证明矩形 DCEF 为黄金矩形. 证明: 证明:在正方形 ABCD 中,取 AB = 2a , 的中点, ∵ N 为 BC 的中点, ∴ NC = B N
图1

A

M

D

F

C

E

1 BC = a . 2

在 Rt△DNC 中,

ND =

NC 2 + CD 2 = a 2 + (2a ) 2 = 5a .

又∵ NE = ND , ∴ CE = NE ? NC = ( 5 ? 1) a .



CE ( 5 ? 1 a ) 5 ?1 . = = CD 2a 2

为黄金矩形. 故矩形 DCEF 为黄金矩形. 同步测试: 同步测试: ),规定 规定: 1、对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当 a=c 且 b=d 时, 对于任意两个实数对( 定义运算“ (a,b)=(c,d).定义运算“ ? ”:(a,b) ? (c,d)=(ac- bd,ad+bc). ),则 若(1,2) ? (p,q)=(5,0),则 p= 2、先阅读下列材料,然后解答问题: 先阅读下列材料,然后解答问题: 三张卡片中选两张,有三种不同选法, 从 A,B,C 三张卡片中选两张,有三种不同选法,抽象成数学问题就是从 3 个元素中选取 , q= .(答案:1,–2) 答案:

2 个元素组合, 2 个元素组合,记作 C3 =

3× 2 = 3. 2 ×1
n

一般地, 个元素组合,记作: 一般地,从 m 个元素中选取 n 个元素组合,记作: Cm =
5 个元素, 例 3:从 7 个元素 中选 5 个元素,共有 C7 =

m(m ? 1)L (m ? n + 1) n(n ? 1)L × 3 × 2 × 1

7 × 6× 5× 4×3 种不同的选法. = 21 种不同的选法. 5 × 4 × 3 × 2 ×1
种.(答案:120) .(答案:120) 答案

问题: 人参加活动, 问题:从某学习小组 10 人中选取 3 人参加活动,不同的选法共有

某饮料厂为了开发新产品, 种果汁原料试制新型甲、 例 2、某饮料厂为了开发新产品,用 A 种果汁原料和 B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮 千克, 千克, 料共 50 千克,设甲种饮料需配制 x 千克,两种饮料的成本总额为 y 元. (1)已知甲种饮料成本每千克 4 元,乙种饮料成本每千克 3 元,请你写出 y 与 x 之间的函 数关系式. 数关系式. 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料, (2)若用 19 千克 A 种果汁原料和 17.2 千克 B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料,下表 是试验的相关数据; 是试验的相关数据; 每千克 饮料果汁含量 果汁 A B 0.5 千克 0.3 千克 0.2 千克 0.4 千克 甲 乙

且满足题意的不等式组,求出它的解集,并由此分析如何配制这两种饮料, 请你列出关于 x 且满足题意的不等式组,求出它的解集,并由此分析如何配制这两种饮料, 值最小,最小值是多少? 可使 y 值最小,最小值是多少? 解:(1)依题意得: y = 4 x + 3(50 ? x ) = x + 150 :(1 依题意得:

(2)依题意得: ? 依题意得:

?0.5 x + 0.2(50 ? x) ≤ 19…………(1) ?0.3x + 0.4(50 ? x) ≤ 17.2………(2)

解不等式( 解不等式(1)得: x ≤ 30 解不等式( 解不等式(2)得: x≥ 28

∴ 不等式组的解集为 28 ≤ x ≤ 30
的增大而增大, Q y = x + 150 , y 是随 x 的增大而增大,且 28 ≤ x ≤ 30 千克, 千克时, ∴ 当甲种饮料取 28 千克,乙种饮料取 22 千克时, 最小, 成本总额 y 最小, y最小 = 28 + 150 = 178 (元)

的两个根。 点,且 x1 < x2 ,与 y 轴交于点 C ( 0, ?4 ) ,其中 x1,x2 是方程 x ? 4 x ? 12 = 0 的两个根。
2

四川凉山州,28, 如图, (201 1 四川凉山州,28,12 分)如图,抛物线与 x 轴交于 A ( x1 ,0)、 B ( x2 ,0)两

(1)求抛物线的解析式; 求抛物线的解析式; 上的一个动点, (2)点 M 是线段 AB 上的一个动点,过点 M 作 MN ∥ BC ,交 AC 于点 N ,连接 CM , 的面积最大时 积最大时, 的坐标; 当 △CMN 的面积最大时,求点 M 的坐标; 中抛物线上, 为抛物线上一动点, (3)点 D ( 4, k ) 在(1)中抛物线上,点 E 为抛物线上一动点,在 x 轴上是否存在点 F , 为顶点的四边形是平行四边形, 如果存在, 使以 A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形, 如果存在, 求出所有满足条件的点 F 的 坐标,若不存在,请说明理由。 坐标,若不存在,请说明理由。 y

O M A N C 28 题图 【答案】 答案】 (1)∵ x ? 4 x ? 12 = 0 ,∴ x1 = ?2 , x2 = 6 。
2

B x

∴ A( ?2, 0) , B (6, 0) 。 又∵抛物线过点 A 、B 、C , 故设抛物线的解析式为 y = a ( x + 2)( x ? 6) , 将点 C 的坐标代入, 的坐标代入,求得 a =

1 。 3

1 2 4 x ? x?4。 3 3 的坐标为( ),过点 如图( (2) 设点 M 的坐标为( m ,0),过点 N 作 NH ⊥ x 轴于点 H (如图(1))。 ∵点 A 的坐标为( ?2 ,0),点 B 的坐标为(6,0), 的坐标为( ),点 的坐标为( ∴ AB = 8 , AM = m + 2 。
∴抛物线的解析式为 y = ∵ MN

BC ,∴ △MN∥△ABC 。

NH AM NH m + 2 m+2 = = ,∴ ,∴ NH = 。 CO AB 4 8 2 1 1 ∴ S△CMN = S△ACM ? S△AMN = AM CO ? AM NH 2 2 1 m+2 1 2 = (m + 2)(4 ? ) = ? m +m+3 2 2 4


1 = ? (m ? 2) 2 + 4 。 4
∴当 m = 2 时, S△CMN 有最大值 4。 此时, 的坐标为( 此时,点 M 的坐标为(2,0)。 (3)∵点 D (4, k )在抛物线 y =

1 2 4 x ? x ? 4 上, 3 3

∴当 x = 4 时, k = ? 4 , 的坐标是( ∴点 D 的坐标是(4, ?4 )。 如图( ),当 为平行四边形的边时, ① 如图(2),当 AF 为平行四边形的边时, AF ∵ D (4, ?4 ), DE = 4 。 ∴ F1 ( ?6, 0) , F2 (2, 0) 。

DE ,

为平行四边形的对角线时, 如图( ),当 ② 如图(3),当 AF 为平行四边形的对角线时,设 F ( n, 0) ,

则平行四边形的对称中心为( 则平行四边形的对称中心为(

n?2 ,0)。 2

的坐标为( ∴ E ′ 的坐标为( n ? 6 ,4)。 把 E ′ ( n ? 6 ,4)代入 y = 解得 n = 8 ± 2 7 。

1 2 4 x ? x ? 4 ,得 n 2 ? 16n + 36 = 0 。 3 3

F3 (8 ? 2 7, 0) , F4 (8 + 2 7, 0) 。
y y

HO M A N C

B

x

F1
A

O

F2
B x

E

D

y

图(1) 图(2)

E′ F3
A O

E′ F4
B x

E

D

图(3)

2011 年真题
1. (2011 江苏南京,28,11 分) 问题情境 已知矩形的面积为 a(a 为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值 是多少? 数学模型 设该矩形的长为 x,周长为 y,则 y 与 x 的函数关系式为 y = 2( x + )( x>0) . 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数 y = x + ① 填写下表,画出函数的图象: x ……

a x

1 ( x>0) 的图象性质. x

1 4

1 3

1 1 2 3 4 …… [ :21 世纪教育网] 2
……

y

……

y
5 4 3 2 1 -1 O -1 1 2 3 4 5

x

(第 28 题)

②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质; 2 ③在求二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还 可以通过配方得到.请你通过配方求函数 y = x +

1 (x>0)的最小值. x

解决问题 ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案. 【答案】解:⑴① 答案】 函数 y = x +

17 10 5 5 10 17 , , , 2, , , . 4 3 2 2 3 4

1 ( x > 0) 的图象如图. 的图象如图. x

②本题答案不唯一,下列解法供参考. 当 0 < x < 1 时, y 随 x 增大而减小;当 x > 1 时, y 随 x 增大而增大;当 x = 1 时函数

y = x+

1 ( x > 0) 的最小值为 2. x 1 ③ y = x+ x
= ( x) + (
2

1 2 ) x 1 2 1 1 ) ?2 x? +2 x? x x x

= ( x) + (
2

=( x ?

1 2 ) +2 x 1 1 =0,即 x = 1 时,函数 y = x + ( x > 0) 的最小值 为 2. x x



x?

⑵当该矩形的长为 a 时,它的周长最小,最小值为 4 a . 2. (2011 江苏南通,27,12 分)(本小题满分 12 分) 已知 A(1,0), B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛物线 y=a (x 2 -1) +k(a>0),经过其中三个点. 2 (1) 求证:C, E 两点不可能同时在抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)上; 2 (2) 点 A 在抛物线 y= a (x-1) +k(a>0)上吗?为什么? (3) 求 a 和 k 的 值.
2

【答案】(1)证明:将 C,E 两点的坐标代入 y=a (x-1) +k(a>0)得,
? 4a + k = 2 ,解得 a=0,这与条件 a>0 不符, ? ?9a + k = 2
2

∴C,E 两点不可能同时在抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)上. (2)【法一】∵A、C、D 三 点共线(如下图),

2

∴A、C、D 三点也不可能同时在抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能: ①A、B、C; ②A、B、E; ③A、B、D; ④A、D、E; ⑤B、C、D; ⑥B、D、E. 2 将①、②、③、④四种情况(都含 A 点)的三点坐标分别代入 y=a (x-1) +k(a >0) ,解得:①无解;②无解;③a=-1,与条件不符,舍去;④无解. 2 所以 A 点不可能在抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)上. 2 【法二】∵抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)的顶点为(1,k) 2 假设抛物线过 A(1,0),则点 A 必为抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)的顶点,由于 抛物线的开口向上且必过五点 A、B、C、D、E 中 的三点,所以必过 x 轴上方的另外 2 两点 C、E,这与(1)矛盾,所以 A 点不可能在抛物线 y=a (x-1) +k(a>0)上 (3)Ⅰ.当抛物线经过(2)中⑤B、C、D 三点时,则
?a + k = ?1 ?a = 1 ,解得 ? ? ? 4a + k = 2 ? k = ?2
3 ? ?a = 8 ? Ⅱ. 当抛物线经过(2)中⑥B、D、E 三点时,同法可求: ? ?k = ? 11 ? 8 . ? 3 ? ?a = 8 ?a = 1 ? ∴? 或? ? k = ?2 ?k = ? 11 ? 8 . ?

3. (201 1 四川凉山州,28,12 分)如图,抛物线与 x 轴交于 A ( x1 ,0)、 B ( x2 ,0)
2

两点,且 x1 < x2 ,与 y 轴交于点 C ( 0, ?4 ) ,其中 x1,x2 是方程 x ? 4 x ? 12 = 0 的两个根。 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是线段 AB 上的一个动点,过点 M 作 MN ∥ BC ,交 AC 于点 N ,连接 CM , 当 △CMN 的面积最大时,求点 M 的坐标; (3)点 D ( 4, k ) 在(1)中抛物线上,点 E 为抛物线上一动点,在 x 轴上是否存在点 F ,

使以 A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点 F 的 坐标,若不存在,请说明理由。

y

O M A N C 28 题图 【答案】 (1)∵ x ? 4 x ? 12 = 0 ,∴ x1 = ?2 , x2 = 6 。
2

B x

∴ A( ?2, 0) , B (6, 0) 。 又∵抛物线过点 A 、B 、C ,故设抛物线的解析式为 y = a ( x + 2)( x ? 6) ,将点 C 的坐标代入,求得 a =

1 。 3

1 2 4 x ? x?4。 3 3 (2)设点 M 的坐标为( m ,0),过点 N 作 NH ⊥ x 轴于点 H (如图(1))。 ∵点 A 的坐标为( ?2 ,0),点 B 的坐标为(6,0), ∴ AB = 8 , AM = m + 2 。
∴抛物线的解析式为 y = ∵ MN

BC ,∴ △MN∥△ABC 。

NH AM NH m + 2 m+2 = ,∴ = ,∴ NH = 。 CO AB 4 8 2 1 1 ∴ S△CMN = S△ACM ? S△AMN = AM CO ? AM NH 2 2 1 m+2 1 = (m + 2)(4 ? ) = ? m2 + m + 3 2 2 4 1 = ? (m ? 2) 2 + 4 。 4
∴ ∴当 m = 2 时, S△CMN 有最大值 4。 此时,点 M 的坐标为(2,0)。 (3)∵点 D (4, k )在抛物线 y = ∴当 x = 4 时, k = ?4 , ∴点 D 的坐标是(4, ?4 )。

1 2 4 x ? x ? 4 上, 3 3

③ 如图(2),当 AF 为平行四边形的边时, AF ∴ F1 ( ?6, 0) , F2 (2, 0) 。

DE ,

∵ D (4, ?4 ),∴错误!链接无效。 DE = 4 。 错误! 错误 链接无效。

④ 如图(3),当 AF 为平行四边形的对角线时,设 F ( n, 0) ,

则平行四边形的对称中心为(

n?2 ,0)。 [ :21 世纪教育网] 2

∴ E ′ 的坐标为( n ? 6 ,4)。 把 E ′ ( n ? 6 ,4)代入 y = 解得 n = 8 ± 2 7 。

1 2 4 x ? x ? 4 ,得 n 2 ? 16n + 36 = 0 。 3 3

F3 (8 ? 2 7, 0) , F4 (8 + 2 7, 0) 。

y

y

HO M A N C

B

x

F1
A

O

F2
B x

E

D

图(1) 图(2) y

E′ F3
A O

E′ F4
B x

E

D

图(3) [21 世纪教育网 4. (2011 江苏苏州,28,9 分)(本题满分 9 分)如图①,小慧同学 吧一个正三角形 纸片 .

(即△OAB)放在直线 l1 上,OA 边与直线 l1 重合,然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方 向旋转 120°, 此时点 O 运动到了点 O1 处, B 运动到了点 B1 处; 点 小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°,点 A 运动到了点 A1 处,点 O1 运动到了点 O2 处(即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处). 小慧还发现: 三角形纸片在上述两次旋转过程中, 顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧, 即弧 OO1 和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这 两端圆弧与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和. 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上,OA 边与 直线 l2 重合,然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°,此时点 O 运动到了点 O1 处 (即点 B 处) 点 C 运动到了点 C1 处, B 运动到了点 B1 处; , 点 小慧又将正 方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时 针方向 旋转 90°, ……, 按上述方法经过若干次旋转后, 她提出了如下问题: 问题①:若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转,求顶点 O 经过的路程,并求顶 点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积;若正方形 OABC 按上述方法经 过 5 次旋转,求顶点 O 经过的路程;

问题②: 正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转, 顶点 O 经过的路程是

41 + 20 2 2

π? 请你解答上述两个问题.

【答案】解问题①:如图,正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转,顶点 O 运动所形成的图形是三 段弧,即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3, ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为

90 ? π ? 1 90 ? π ? 2 2 ×2+ = (1 + )π . 180 180 2

顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为

90 ? π ? 12 90 ? π ? ( 2 ) 2 1 ×2+ + 2 × × 1 × 1 =1+π. 360 360 2
正方形 OABC 经过 5 次旋转,顶点 O 经过的路程为

90 ? π ? 1 90 ? π ? 2 3 2 ×3+ =( + )π . 180 180 2 2
问 题②:∵方形 OABC 经过 4 次旋转,顶点 O 经过的路程为

90 ? π ? 1 90 ? π ? 2 2 )π ×2+ = (1 + 180 180 2 41 + 20 2 2 1 π=20× (1 + ) π+ π. 2 2 2



∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转.

2011 中考模拟 选择题 1、(2011 浙江杭州模拟 16)按 100 分制 60 分及格来算,满分是 150 分的及格分是( A、60 分 答案:C B、72 分 C、90 分 D、105 分



一、填空题 1、1、(2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22) (2011 22)15、阅读下列方法:为了找出序列 3、8、15、 24、35、48、……的规律,我们有一种“因式分解法”。如下表: 项 1 2 3 4 5 6 …… n[ :Z| xx| k.C om] 值 3 8 1×8 2×4 15 1×15 3×5 24 1×24 2×12 4×6 35 1×35 5×7 48 1×48 2×24 3×16 4×12 6×8 因此, 我们得到第 n 项是 n(n+2),请你利用上述方法, 说出序列: 5、 0、 12、 32、 21、 45、 …… 的第 n 项是 。 ……

分解因式: 1×3

答案:(n-1)(n+3) 答案:

二、解答题 1、(2011 浙江杭州模拟 16) 数形结合作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形: 或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,即 “以数解形”;或者 借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,即 “以形助数”。 如浙教版九上课本第 109 页作业题第 2 题:如图 1,已知在△ABC 中,
0 2

∠ACB=90 , CD⊥AB , 为垂足。 D 易证得两个结论: (1)AC· = AB· BC CD AD·AB

(2)AC =

(1)请你用数形结合的“以数解形”思想来解:如图 2,已知在△
0

ABC 中(AC>BC),∠ACB=90 ,CD⊥AB,D 为垂足, CM 平分∠ACB,且 BC、
2

AC 是方程 x -14x+48= 0 的两个根,求 AD、MD 的长。 (2)请你用数形结合的“以形助数”思想来解: 设 a、b、c、d 都是正数,满足 a: b=c:d,且 a 最大。求证:a+d>b+c(提示:不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c,构造图 1) 答案:
2

解:(1)显然,方程 x -14x+48=0 的两根为 6 和 8, ·············· 1 分 又 AC>BC ∴AC=8,BC=6 由勾股定理 AB=10
2

△ACD∽△ABC,得 AC = AD·AB ∴ AD=6.4 -------------------------------2 分

∵CM 平分∠ACB ∴A M:MB=AC:CB 解得,AM=

40 --------------------------------- 1 分 7 24 ∴MD=AD-AM= ----------- ------------------1 分 35
(2)解:不访设 AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式,得 AB·CD=AC·BC 2AB·CD=2AC·BC -------------------------1 分

2

2

2

又勾股定理,得 AB =AC +BC
2 2 2

∴AB +2AB·CD =AC +BC +2AC·BC(等式性质)
2 2

∴AB +2AB·CD =(AC+BC) ----------------------1 分
2 2 2

∴AB +2AB·CD+CD >(AC+BC) --------------------2 分
2 2

∴(AB+CD)

>(AC+BC)

又 AB、CD、AC、BC 均大于零 ∴AB+CD>AC+BC 即 a+d>b+c--------------------1 分

B组 一、选择题

1、(2011 年黄冈浠水模拟 2)国际上通常用恩格尔系数(记作 n )来衡量一个国家和地区 人民的生活水平的状况,它的计算公式: n = 支出总额)。各种家庭类型的 n 如下表: 家庭类型 贫困 温饱 n n>60% 50%< n≤60%

x (x:家庭食品支出总额;y:家庭消费 y
小康 40%< n≤50% 富裕 30%< n≤40%

已知王先生居住地 2008 年比 2003 年食品价格上升了 25%, 该家庭在 2008 年购买食品和 2003 年完全相同的情况下多支出 2000 元,并且 y=2x+3600(单位:元),则该家庭 2003 年属于 ( ) A.贫困 B.温饱 C.小康 D.富裕 答案:C 三、解答题 1.(2011 安徽中考模拟)如图,在直角坐标系中,已知点 P0 的坐标为(1,0),将线段 OP0 按逆时针方向旋转 45°,将其长度伸长为 OP0 的 2 倍,得到线段 OP1;再将线段 OP1 按逆 时针方向旋转 45°, 长度伸长为 OP1 的 2 倍, 得到线段 OP2; 如此下去, 得到线段 OP3, 4, OP …, OPn(n 为正整数) (1)求点 P6 的坐标;(2)求△P5OP6 的面积; (3)我们规定:把点 Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标 xn、纵坐标 yn 都取绝对 值后得到的新坐标(|xn|,| yn|)称之为点 Pn 的“绝对坐标”.根据图中点 Pn 的分布规律, 请你猜想点 Pn 的“绝对坐标”,并写出来. y P3 P2 P1 O P (1,0) x 0
第 17 题图

答案:(1)根据旋转规律,点 P6 落在 y 轴的负半轴, 而点 Pn 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 2 倍, 6 故其坐标为 P6(0,2 ),即 P6(0,64); (2)由已 知可得,△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn. 设 P1(x1,y1),则 y1=2sin45°= 2 ,∴S△P0OP1=

1 2 ×1× 2 = , 2 2

又Q

S△ P5OP6 ? 32 ?2 OP6 2 = 32 ∴ = 512 2 = ? ? = 1024 , S△ P5OP6 = 1024 × OP 2 S△ P0OP1 ? 1 ? 1

(3)由题意知,OP0 旋转 8 次之后回到 x 轴正半轴,在这 8 次中,点 Pn 分别落在坐标象限的 平分线上或 x 轴或 y 轴上, 但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点 Pn 的坐标 可分三类情况:令旋转次数为 n, ①当 n=8k 或 n=8k+4 时(其中 k 为自然数),点 Pn 落在 x 轴上,此时,点 Pn 的绝对坐标为
n

(2 ,0); ②当 n=8k+1 或 n=8k+3 或 n=8k+5 或 n=8k+7 时(其中 k 为自然数),点 Pn 落在各象限的平 分线上,此时,点 Pn 的绝对坐标为(

2 2 n n n—1 n—1 ×2 , ×2 ),即(2 2 ,2 2 ); 2 2

③当 n=8k+2 或 n=8k+6 时(其中 k 为自然数),点 Pn 落在 y 轴上,
n

此时,点 Pn 的绝对坐标为(0,2 ).

2.( 2011 杭州上城区一模) 观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题. 在锐角△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,过 A 作

AD AD ,sinC= ,即 AD=csinB,AD=bsinC, c b c a b c a b 于是 csinB=bsinC,即 .同理有: , , = = = sin B sin C sin C sin A sin A sin B a b c 所以 = = sin A sin B sin C
AD⊥BC 于 D(如图),则 sinB=
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 相等. 在锐角三角形 中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以 求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.
0 0

(1)如图,△ABC 中,∠B=45 ,∠C=75 ,BC=60,则∠A=



AC=



(2)如图,一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30°的方向 上,随后货轮以 60 海里/时的速度按北偏东 30°的方向航行,半小 时后到达 B 处,此时又测得灯塔 A 在货轮的北偏西 75°的方向上(如 图),求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB.

(第 22 题)

解:(1)∠A=60 ,AC= 20 6
0

(2)如图,依 题意:BC=60×0.5=30(海里)
0

∵CD∥BE , ∴∠DCB+∠CBE=180
0 0

∵∠DCB=30 ,∴∠CBE=150
0 0 0

∵∠ABE=75 。∴∠ABC=75 ,∴∠A=45

AB BC AB 30 = 即 = 0 sin ∠ACB sin ∠A sin 60 sin 450 解之得:AB=15 6 ………………2 分
在△ABC 中 答:货轮距灯 塔的距离 AB=15 6 海里

3. (2011 杭州市模拟)(本小题满分 6 分)在数学学习中,及时对知识进行归纳和整理是 完善知识结构的重要方法.善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式 和一次函数后,把相关知识归纳整理如下:

(1)一次函数的解析式就是一个二元一次方程 (2)点 B 的横坐标是方程①的解; 一次函数与方程的关系 y y=k1x+b1 ②的解. A C O B x y=kx+b
(第 19 题图)

(3)点 C 的坐标 ( x,y ) 中的 x,y 的值是方程组

(1)函数 y = kx + b 的函数值 y 大于 0 时,自变 量 x 的取值范围就是不等式③的解集; (2)函数 y = kx + b 的函数值 y 小于 0 时,自变

一次函数与不等式的关系 21 世纪教育网

(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论: 量 x 的取值范围就是不等式④的解集. ① ;② ;③ ;④ ; 答案:

(2)如果点 C 的坐标为(1,3),那么不等式 kx + b ≤ k1 x + b1 的解集是 (1)① kx + b = 0 ;② ?

? y = k1 x + b1 ;③ kx + b >0;④ kx + b <0;(1+1+1+1 分) ? y = kx + b

(2)如果点 C 的坐标为(1,3),那么不等式 kx + b ≤ k1 x + b1 的解集是 x≥1.(2 分)

1、为应对全球经济危机,中国政府投资 40000 亿元人民币以拉动内需, 5 月 21 日国家发 改委公布了 40000 亿元投资构成.具体内容如下(单位:亿元):

请你根据统计图表中所提供的信息,完成下列问题 (1)在统计表中,投向“铁路等重大基础设施建设和城市电网改造”的资金测算是 元,投向“汶川地震灾后恢复重建”的资金测算是 亿元; ,“节 亿

(2)在扇形统计图中,“卫生、教育等社会事业发展”部分所占的百分数是 能减排和生态建设工程”部分所占的百分数是 ; 亿元,众数是

(3)统计表“资金测算”栏目下的七个数据中,中位数是

亿元; 度.

(4)在扇形统计图中,“廉租住房等保障性住房”部分所占的圆心角为 答案 解:(1)15000,10000; (2)3.75%,5.25% (3)3700,3700;

21 世纪教育网

资金 重 点 投 向 测算 廉租住房等保障性住房 农村民生工程和基础设施 铁路等重大基础设施建设和 城市电网改造 卫生、教育等社会事业发展 节能减排和生态建设工程 自主创新和产业结构调整 汶川地震灾后恢复重建 1500 2100 3700 4000 3700

(4)36; 三、阅读例题解法,掌握思路方法 阅读例题解法, 例3、阅读材料:把形如 ax + bx + c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫
2

做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b) 2 .

?1 ? 3 例如: ( x ? 1) + 3 ( x ? 2) + 2 x 、 ? x ? 2 ? + x 2 是 x 2 ? 2 x + 4 的三种不同形式的配方 、 ?2 ? 4
2 2

2

(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上 的部分). 请根据阅读材料解决下列问题: (1)比照上面的例子,写出 x ? 4 x + 2 三种不同形式的配方;
2

(2)将 a 2 + ab + b 2 配方(至少两种形式); (3)已知 a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? 3b ? 2c + 4 = 0 ,求 a + b + c 的值. 解:(1) x 2 ? 4 x + 2 的配方(略).

1 ? 3 ? (2) a + ab + b = ( a + b) ? ab = ? a + b ? + b 2 . 2 ? 4 ?
2 2 2

2

(3) a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? 3b ? 2c + 4

1 ? 3 ? = ? a ? b ? + (b ? 2) 2 + (c ? 1) 2 = 0 . 2 ? 4 ?
从而 a ?

2

1 b = 0,b ? 2 = 0,c ? 1 = 0 . 2

即 a = 1, b = 2 , c = 1. 所以 a + b + c = 4 同步测试: 同步测试: 1、阅读下列材料,然后回答问题.

在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如

3 2 2 、 、 一样的式子,其实我们还可以 5 3 3 +1

将其进一步化简:

3 3× 5 3 5 ; ··············· (Ⅰ) = = 5 5× 5 5

2 2×3 6 = = ················· (Ⅱ) 3 3× 3 3
2 2 × 3 ?1 ( ) 2( 3 ? 1) = = = 3 ? 1 . ···· (Ⅲ) 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 ? 1) ( 3) 2 ? 12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

2 还可以用以下方法化简: 3 +1 2 3 ? 1 ( 3) 2 ? 12 ( 3 + 1)( 3 ? 1) = = = = 3 ? 1 . ··· · (Ⅳ) 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1
(1)请用不同的方法化简

2 . 5+ 3

①参照(Ⅲ)式得

2 =___________________________________________. 5+ 3 2 =___________________________________________. 5+ 3

②参照(Ⅳ)式得

(2)化简:

1 1 1 1 + + +…+ . 3 +1 5+ 3 7+ 5 2n + 1 + 2n ? 1 2 2( 5 ? 3) = = 5? 3 5 + 3 ( 5 + 3)( 5 ? 3) 2 5?3 ( 5 + 3)( 5 ? 3) = = = 5? 3 5+ 3 5+ 3 5+ 3

解:(1)①



1 1 1 1 + + +…+ 3 +1 5+ 3 7+ 5 2n + 1 + 2 n ? 1 1 1 1 1 (2) = ( 3 ? 1) + ( 5 ? 3) + ( 7 ? 5) + + ( 2n + 1 ? 2n ? 1) 2 2 2 2 1 = ( 2n + 1 ? 1) 2
四、阅读特殊信息,归纳发现规律 阅读特殊信息, 例 4、阅读材料,解答下列问题. 例:当 a > 0 时,如 a = 6 则 a = 6 = 6 ,故此时 a 的绝对值是它本身

当 a = 0 时, a = 0 ,故此时 a 的绝对值是零 当 a < 0 时,如 a = ?6 则 a = ?6 = 6 = ?(?6) ,故此时 a 的绝对值是它的相反数

∴ 综合起来一个数的绝对值要分三种情况,即
当a > 0 ?a ? a = ?0 当a = 0 ? ? a 当a < 0 ? 这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想. 问:(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式 a 的各种展开的情况. (2)猜想 a 与 a 的大小关系. 解:(1)略 (2) a = a 同步测试: 同步测试: 1、2 ,3 和 4 分别可以按如图所示方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和,6 也 能按此规律进行“分裂”,则 6 “分裂”出的奇数中最大的是( A ) A、41 C、31 B、39 D、29
3

2

2

2

3

3

3

3

2

3

3 5

3

3

7 9 11

13 15

43

17 19

2、观察下列等式:
2 2

① ② ③ ④

3 -1 =4×2;
2 2

4 -2 =4×3;
2 2

5 -3 =4×4;
2 2



) -( ) =( )×(

);

…… 则第 4 个等式为_______.
2 2

第 n 个等式为_____.( n 是正整数)
2 2

答案:6 -4 =4×5(1分);(n+2) -n =4×(n+1). 随堂检测: 随堂检测: 1、我们常用的数是十进制数,如 4657 = 4 × 10 + 6 × 10 + 5 × 10 + 7 × 10 ,数要用 10 个
3 2 1 0

数码(又叫数字):0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,在电子计算机中用的二进制,只要两

个 数 码 : 0 和 1 , 如 二 进 制 中 110 = 1 × 2 2 + 1 × 21 + 0 × 20 等 于 十 进 制 的 数 6 ,

110101 = 1× 25 + 1× 24 + 0 × 23 + 1× 2 2 + 0 × 21 + 1× 20 等于十进制的数 53. 那么二进制中的
数 101011 等于十进制中的哪个数?

a b
2、符号“ ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:

a b c d

c d
述规定求出下列等式中 x 的值.

= ad ? bc ,请你根据上

2 1 1? x

1 1 =1 x ?1

3、下面是按一定规律排列的一列数:

第 1 个数:

1 ? ?1 ? ? ?1 + ? ; 2 ? 2 ?

第 2 个数:

1 ? ?1 ? ? (?1) 2 ?? (?1)3 ? ? ?1 + ? ?1 + ?? 1 + ?; 3 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? 1 ? ?1 ? ? (?1) 2 ? ? (?1)3 ? ? (?1) 4 ?? (?1)5 ? ? ?1 + ? ? 1 + ? ?1 + ? ?1 + ??1 + ?; 4 ? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?

第 3 个数:

……
2 3 2 n ?1 1 ? ?1 ? ? (?1) ? ? (?1) ? ? (?1) ? ? ?1 + ? ?1 + 第 n 个数: ? ?1 + ?L ?1 + ?. n +1 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 2n ?

那么,在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中,最大的数是( A.第 10 个数 B.第 11 个数 C.第 12 个数



D.第 13 个数

4、先阅读理解下面的例题,再按要求解答: 例题:解一元二次不等式 x 2 ? 9 > 0 . 解:∵ x 2 ? 9 = ( x + 3)( x ? 3) , ∴ ( x + 3)( x ? 3) > 0 . 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有
?x + 3 > 0 (1) ? ?x ? 3 > 0 ?x + 3 < 0 (2) ? ?x ? 3 < 0

解不等式组(1),得 x > 3 ,

解不等式组(2),得 x < ?3 , 故 ( x + 3)( x ? 3) > 0 的解集为 x > 3 或 x < ?3 , 即一元二次不等式 x 2 ? 9 > 0 的解集为 x > 3 或 x < ?3 . 问题:求分式不等式
5x + 1 < 0 的解集. 2x ? 3

5、阅读下列材料,并解决后面的问题.

? 23 材料:一般地,n 个相同的因数 a 相乘: a4 L a记为a .如 2 =8,此时,3 叫做以 2 1a 4
n
3

n个

为底 8 的对数,记为 log 2 8 (即 log 2 8 = 3) . 一 般 地 , 若 a n = b (a > 0且a ≠ 1, b > 0 ) , 则 n 叫 做 以 a 为 底 b 的 对 数 , 记 为

log a b (即 log a b = n ) . 如3 4 = 81 , 则 4 叫 做 以 3 为 底 81 的 对 数 , 记 为

log 3 81 (即 log 3 81 = 4) .[ :Z。xx。k.Com]
问题:(1)计算以下各对数的值:

log 2 4 =

log 2 16 =

log 2 64 =



(2)观察(1)中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式? log 2 4 、 2 16 、 2 64 之 log log 间又满足怎样的关系式?(2 分)

(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?

loga M + loga N =
(4)根据幂的运算法则: a ? a
n m

(a > 0且a ≠ 1 , M > 0 , N > 0)
= a n + m 以及对数的含义证明上述结论.

6、某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共 15 台.三种家电的进价和售价如下表所示: 价格 进价(元/台) 种类 电视机 21 世纪教 2000 育网 冰箱 洗衣机 2400 1600 2500 1700 2100 售价(元/台)

(1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不 大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案? (2)国家规定:农民购买家电后,可根据商场售价的 13%领取补贴.在(1)的条件下,如 果这 15 台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元? 随堂检测参考答案 随堂检测参考答案: 1、解: 101011 = 1 × 2 + 0 × 2 + 1× 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2
5 4 3 2 1 0

= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43
2 2、解: 1 1? x
整理得:2×

1 1 =1 x ?1

1 1 - =1 x ?1 1? x 2 1 + =1 x ?1 x ?1

解之得:x = 421 世纪教育网 3、答案:A 4、解:由有理数的除法法则“两数相除,同号得正”,有
?5 x + 1 > 0 (1) ? ?2 x ? 3 < 0 ?5 x + 1 < 0 (2) ? ?2 x ? 3 > 0

1 解不等式组(1),得 ? < x < 3 ,解不等式组(2),得无解, 5

故分式不等式

5x + 1 1 < 0 的解集为 ? < x < 3 2x ? 3 5

5、解:(1) log 2 4 = 2 (2)4×16=64

, log 2 16 = 4

, log 2 64 = 6

, log 2 4 + log 2 16 = log 2 64 [ :21 世纪教育网]

(3) log a M + log a N = log a ( MN ) (4)证明:设 log a M =b1 则a
b1

, log a N =b2

=M

,a

b2

=N

∴ MN

= a b1 ? a b2 = a b1 + b2

∴b1+b2= log a ( MN )

即 log a M + log a N = log a ( MN )

6、设购进电视机、冰箱各 x 台,则洗衣机为(15-2x)台

依题意得:

1 ? ?15 ? 2 x ≤ x 2 ? ?2000 x + 2400 x + 1600 (15 ? 2 x ) ≤ 32400 ?

解这个不等式组,得 6≤x≤7[ :Z+xx+k.Com] ∵x 为正整数,∴x=6 或 7 方案 1:购进电视机和冰箱各 6 台,洗衣机 3 台; 方案 2:购进电视机和冰箱各 7 台,洗衣机 1 台 (2)方案 1 需补贴:(6×2100+6×2500+1×1700)×13%=4251(元); 方案 2 需补贴:(7×2100+7×2500+1×1700)×13%=4407(元); ∴国家的财政收入最多需补贴农民 4407 元.

单元测试 一、选择题 1.(济宁师专附中一模)观察表一,寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的 一部分,其中 a、b、c 的值分别为 [ :21 世纪教育网] 1 2 3 4 … 2 4 6 8 … 3 6 9 12 … 4 8 12 16 … … … … a … 表二 … 表三 表四 12 15 20 25 24 b 18 c 32 ( )

表一 A.20、29、30 答案:D 2.一组按规律排列的多项式: a + b , a ? b , a + b , a ? b ,…,其中第 10 个式子
2 3 3 5 4 7

B.18、30、26

C.18、20、26

D.18、30、28

是 A. a + b
10 19

( B. a ? b
10 19

)
17

C. a ? b
10

D. a ? b
10

21

答案:B 3.(2010 年 中考模拟 2)某校数学课外小组,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案 如下:第 k 棵树种植在点 Pk ( x k,y k ) 处,其中 x1 = 1 , y1 = 1 ,当 k≥2 时,

k ?1 k ?2 ? ? x k = x k ?1 + 1 ? 5([ 5 ] ? [ 5 ]) ? ,[ a ]表示非负实数 a 的整数部分,例如[2.6]=2, ? ? y = y + [ k ? 1] ? [ k ? 2 ] k ?1 ? k 5 5 ?
[0.2]=0 .按此方案,第 2009 棵树种植点的坐标为( A.(5,2009) 答案:D B.(6,2010) ) D(4,402)

C.(3 ,401)

二、填空题

1.在数学中,为了简便,记

∑ k =1+2+3+…+(n-1)+
k =1

n

n.1!=1,2!=2×1, 3!=3×2

2006

×1,…,n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.则

∑k -∑k +
k =1 k =1

2007

2007! =______. 2006!

答:0 2.(2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题)图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列 的.设 y 为第 n 层(n 为正整数)圆点的个数,则 y 与 n 之间的函数关系是_______. …






第2题

答:y=4n 3. 如图是两个形状相同的红绿灯图案, 则根据图中给出的部分数值, 得到 x 的 值是______. 答案:16;

4.(2010 年山东宁阳一模)数学的美无处不在,数学家们研究发现弹拔琴弦发出声音的音调 高低取决于弦的长度, 绷得一样紧的几根弦, 如果长度的比能够成整数的比则发生的声音就 比较和谐,如三根弦长之比为 15:12:10 把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将

1 1 1 1 分别发出很调和的乐声, mi、 研究 15, 10 这三个数的倒数发现: ? do、 so 12, = ? , 12 15 10 12
我们称 15,12,10 为一组调和数,现有一组调和数:x,5,3(x>5),则 x 的值 为________. 答案:15 5.( 2010 年山东菏泽全真模拟 1)如图,在一条街道的两边各有 1 排房子,每排都有 5 间.如 ) 果标号为 G 的房子被涂成灰色,要求每一排中相邻的房子不能同色,两排中直接相对的房子 也不能是同种颜色,则剩下的 7 间房子中 有 间的颜色不能被除数涂成灰色.

答案:6. 6.(2010 年吉林中考模拟题)将图①中的正方形剪开得到图②,图②中共有 4 个正方形; 将图②中一个正方形剪开得到图③, 图③中共有 7 个正方形; 将图③中一个正方形剪开得到 图④,图④中共有 10个正方形;…;如此下去.则图⑨中共有 个正方形.

答案:25
2 1 5 4 5 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3

7.(2010 年河南中考模拟题 3)观察下列各式: ×2= +2, ×3= +3, ×4= +4,

×5= +5……想一想, 什么样的两数之积等于这两数之和?设 n 表示正整数, 关于 n 的 用
4

等式表示这个规律为
n +1 n +1

. +(n+1)
n

答案:
n

×(n+1)=

8. (2010 年河南中考模拟题 1) 一组按规律排列的式子: 3 6 1 第 n 个数是 ( n 为正整数).

10 其中第 7 个数是



答案:28,

n(n + 1) 2

9.(2010 年河南中考模拟题 1)将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行、2 列,两边各加一条竖直

a
线记成

b
, 定义

a c

b d

c

d

= ad ? bc , 上述记号就叫做 2 阶行列式. 若

x +1 1? x

x ?1 x +1

=6,

则 x = __________. 答案:X=1± 6 10.(2010 年河南中考模拟题 2)电子跳蚤游戏盘为△ABC(如图),AB=8,AC=9,BC=10,如果电 子跳蚤开始时在 BC 边上的点 P0 ,BP0=4,第一步跳蚤跳到 AC 边上的点 P1 ,CP1=CP0;第二步 跳蚤从 P1 跳到 AB 边上的点 P2,且 AP2=AP1;第三步跳蚤从 P2 跳回到BC边上的点 P3,且BP3=BP2;……跳蚤按上述规定跳下去,第 2009 次落点为 P2009,则点 P2009 与点 A 之间的距离为 答案:4 11. ( 2010 年 河 南 中 考 模 拟 题 6 ) 正 方 形 。

ABCO A B C C ,A B C C
1 1 1 , 2 2 2 1 3 3 3


2

按如图所示的方式放置,点

A , A , A …和
1 2 3



C ,C ,C
1 2

3

…分别在直线 y=kx+b(k﹥0 )

和 x 轴上,已知 的坐标是 答案:

B
n?1

1

(1,1), 。

B

2

(3,2),则

B

n

( 2 ? 1, 2 )
n

12.(2010 福建模拟)根据图中提供的信息,用含 n


(n≥1,n 是正整数)的等式表示第 n 个正方形点阵 中的规律是:__ __.


n ( n ? 1) n ( n + 1) + = n2 2 2

13.(2010 年西湖区月考)如图,如果以正方形 ABCD 的对

角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF, 再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH, 如此下去, …, 已知正方形 ABCD 的面积 s1 为 1,按上述方法所作的正方形的面 积依次为 s 2 , s3 ,….., s n (n 为正整数),那么第 8 个正方形的面积 s8 = 答案:128 14.(2010 年 西湖区月考)若实数 a,b 满足 a + b = 1 ,则
2

.

2a 2 + 7b 2 的最小值是
答案:2



15. (2010 河南模拟)如图,要给这个长、宽、高分别为 x、y、 z 的箱子打包,其打包方式如右图所示,则打包带的长至少要_________ (单位:mm)(用 含 x、y、z 的代数式表示) 答案:2x+4y+6z 16.(2010 年武汉市中考拟) 已知: 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 = 1 , 1 + 2 + 2 = 1 , 1 + 2 + 2 = 1 ...... 2 1 2 2 2 3 6 3 4 12 1 1 + 2 = ___________. 2 9 10

根据此规律 1 + 答案: 1

1 90

17.(2010 山东新泰)为庆祝“五·一”国际劳动节,市政府决定在人民广场上增设一排灯 花, 其设计由以下图案逐步演变而成, 其中圆圈代表灯花中的灯泡, 代表第 n 次演变过程, n

s 代表第 n 次演变后的灯泡的个数.仔细观察下列演变过程,当 n=6 时,s =____.

n=1, s=1, 答案:46

n=2, s=4,

n=3, s=10,

n=4, s=22

18.(2009聊城冠县实验中学二模).符号“ f ”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下: (1) f (1) = 0 , f ( 2) = 1 , f (3) = 2 , f (4) = 3 ,… (2) f ( ) = 2 , f ( ) = 3 , f ( ) = 4 , f ( ) = 5 ,… 利用以上规律计算: f ( 答案:1
第1个

1 2

1 3

1 4

1 5

1 ) ? f (2008) = ___________。 2008

第2个 第3个

19.(2009年聊城冠县实验中学二模)按规律填数: 4, 14, 48, ________, 2, 8, 26, 88, 298, … 答案: 162

20. (2010 三亚市月考)用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形,按照这样的规律摆 下去,则第 n 个图形需棋子 枚(用含 n 的代数式表示).


第 1 个图 答案. 3n+1 第 2 个图 第 3 个图

21.(2010 重庆市綦江中学模拟 1)下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼 接而成。依次规律,第 5 个图案中白色正方形的个数为 方形的个数为 答案 (1) 28 (2)5n+3 。 , 第 n 个图案中白色正

22.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)用反证法证明命题“在△ABC 中,∠A>∠B,则 a >b”时,第一步应先假设 答案: a≤b 三、解答题 1.(2010 年江西省统一考试样卷)如图所示,是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的 图案. 。



第1个 (1)完成下表的填空:

第2个

第3个

正方形个数 火柴棒根数

1 4

2 7

3 10

4 13

5

6

n

(2)某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案,摆完了第 1 个后,摆第 2 个,接着 摆第 3 个,第 4 个,…,当他 摆完第 n 个图案时剩下了 20 根火柴棒,要刚好摆完第 n+1 个图案还差 2 根.问最后摆的图案是第几个图案?

答案:解:(1)按如图的方式摆放,每增加 1 个正方形火花图案,火柴棒的根数相应地增 加 3 根,若摆成 5 个、6 个、n 个同样大小的正方形火花图案,则相应的火柴棒的根数分别 是 16 根、19 根、(3n+1)根. (2)由 3(n+1)+1=22, 解得 n=6, ∴这位同学最后摆的图案是第 7 个图案.

2.(2010 年河南中考模拟题 2)请阅读下列材料: 问题:如图(1),一圆柱的底面半径为 5dm,BC 是底面直径,圆柱高 AB 为 5dm,求一 只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线。小明设计了 两条路线: 路线 1:侧面展开图中的线段AC。如图(2)所示。
2 2 2 2 2 2 2

设路线 1 的长度为 L1 ,则 L1 =AC =AB +BC =5 +(5π) =25+25π . 路线 2:高线 AB+底面直径 BC.如图(1)所示.
2 2 2

设路线 2 的长度为 L2,则 L2 =(AB+BC) =(5+10) =225
2 2 2 2 2

∵ ∴

L1 -L2 =25+25π -225=25π -200=25(π -8)>0
2 2

L1 >L2 . ∴

L1>L2

所以选择路线 2 较短.

(1) 小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为 1dm,高 AB 为 5dm”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算:

2

2

路线 1:l1 =AC =
2 2

。 。 L2 (填“<”或者 “>”)

路线 2:l2 =(AB+AC) =
2 2



L1

L2 , ∴ L1

所以选择路线

(填 1 或 2)较短.

(2) 请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为 r,高为 h 时,应如何选择 上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的路线最短。
2 2 2 2 2 2 2

答案:(1)l1 =AC =AB +BC =5 +π =25+π ,

l22=(AB+AC)2=(5+2)2=49.
2 2

∵l1 < l2 ,∴l1<l2 ∴选择路线 1 较短。
2 2 2 2 2 2

(2)l1 =AC =A B +BC =h +(πr)

l22=(AB+BC)2 =(h+2r)2 l12 -l22 = h2+(πr)2 -(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]
4h
2 2

当 r=

π2?4
4h

时,l1 = l2
2 2

当 r>

π2?4
4h

时,l1 > l2
2 2

当 r<

π2?4

时,l1 < l2

2 2 3.( 2010 年西湖区月考)已知 p -p-1=0,1-q-q =0, 且 pq≠1,求 pq + 1 的值. q

解:由 p -p-1=0 及 1-q-q =0,可知 p≠0,q≠0 , 又∵pq≠1,∴ p ≠ q
2 2

1

?1? ?1? ∴1-q-q =0 可变形为 ? q ? ? ? q ? ? 1 = 0 的特征 ? ? ? ?
2

2

所以 p 与 q 是方程 x - x -1=0 的两个不相等的实数根则 p +
2

1

1 pq + 1 = 1,∴ =1 q q

4.(2010 湖南模拟)已知关于 x 的方程 x + 3 kx+k -k+2=0,为判别这个方程根的情况, 一
2 2

名同学的解答过程如下: “解:△=( 3 k) -4×1×(k -k+2)
2 2

2

=-k +4k-8
2

=(k-2) +4.
2 2

∵(k-2) ≥0,4>0,∴△=(k-2) +4>0. ∴原方程有两个不相等的实数根.” 请你判断其解答是否正确,若有错误,请你写出正确解答. 解:解答过程不正确
2 2

△=-k +4k-8=-(k -4k+8)
2

=-[(k-2) -4+8]
2

=-(k-2) -4
2

∵(k-2) ≥0,
2

∴-(k-2) ≤0
2

∴-(k-2) -4<0 即△<0,所以方程没有实数根.

5.(10 年广州市中考六模)、阅读下列材料:十六大提出全面建设小康社会,国际上常用 恩格尔系数(记作 n) 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为: n= 食品消费支出总额 × 100%
消费支出总额

各类家庭的恩格尔系数如下表所示:

根据以上材料,解答下列问题: 小明对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查,从 1998 年至 2003 年间,该乡每户家 庭消费支出总额每年平均增加 500 元; 其中食品消费支出总额平均每年增加 200 元. 1998 年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已知该年每户家庭消费支出总额平均为 8000 元. ⑴ 1998 年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? ⑵ 设从 1998 年起 m 年后该乡平均每户的恩格尔系数 nm(m 为正整数), 请用 m 的代数 式表示该乡平均每户当年恩格尔系数 nm ,则并利用这个公式计算 2004 年该乡平均每户 以恩格尔系数(百 分号 前保留整数) ⑶ 按这样的发展, 该乡农民能否实现十六大提出的 2020 年我国全面进人小康社会

的目标? 答案(1) 4800 元 (2)当 m=6 时,nm=55%

(3)nm=0.5 时解得 m=16,即 1998+16=2014<2020 年所以能实现 6.一列火车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(包括起点 A 和终点 B),该车挂有一节邮政 车厢, 行驶时需要在每个车站停靠, 每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该车站的 邮包一个,还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个。例如,当列车停靠在第 x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1) 个车站发给该站的邮包( x-1)个还要 装上后面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包(n-x)个 (1)根据题意,完成下表;

车站序号 1 2 3 4 5 …… n

在第 x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总数 n-1 (n-1)-1+(n-2)=2(n-2) 2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

……

(2)根据上表写出列车在第 x 个车站启程时,邮政车厢上共有的邮包个数 y (用 x , n 表 示); (3)当 n=18 时,列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多? 答案:解:(1)4-------3(n-3)-3+(n-4)=4(n-4) 5--------4(n-4)-4+(n-5)=5(n-5) n--------0 (2)y=x(n-x)
2 2

(3)当 n=18 时,y=x(18-x)= -x = - (x-9) +81 当 x=9 时,y 取最大值,所以列车在第 9 个车站启程时,邮政车厢上的 邮包个数最多。



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