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直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)



直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义答案
类型一:倾斜角与斜率的关系

1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

思路点拨: 已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像, 可以求得角的范围

解析:

>


,∴



总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围, 或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时, 可利用





上是增函数分别求解.当

时,

;当

时,

;当

时,



当 不存在时, 举一反三: 【变式】

.反之,亦成立.

(2010 山东潍坊,模拟)直线

的倾斜角的范围是

A. 【答案】B 解析:由直线

B.

C.

D.



所以直线的斜率为



设直线的倾斜角为

,则



又因为

,即



所以



1

类型二:斜率定义
2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180°-30°=150°,直线 AC 的倾斜角为 30°,

∴kAB=tan150°= 华:

kAC=tan30°= ③

总结升 在做题 小 于

的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向② 轴正向 的角,只有这样才能正确的求出倾斜角. 三: 【变式 1】 的斜率分别为 A. C. B. D. ,则( )

举一反

如图,直线

【答案】

由题意, 意图:对倾斜角

,则 变化时, 如何变化的定性分析理解.∴选 B.

本题选题

类型三:斜率公式的应用
3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且 ,

经过两点的直线的斜率



即 即当 总结升华:

. 时, 为锐角,当 时, 为钝角.

2

本题求出

, 但

的符号不能确定, 我们通过确定

的符号来确定 的符号.当

时,



为锐角;当 举一反三: 【变式 1】 过两点 【答案】 由题意得:

时,

,为钝角.



的直线 的倾斜角为

,求 的值.

直线 的斜率



故由斜率公式 解得 经检验 故 . 或 .



不适合,舍去.

【变式 2】 为何值时,经过两点 【答案】 (,6), (1, )的直线的斜率是 12.

, . 即当 时, , 两点的直线的斜率是 12.

4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 思路点拨: 如果过点 AB,BC 的斜率相等,那么 A,B,C 三点共线. 解析:

∵A、B、C 三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.

3

总结升华: 斜率公式可以证明三点共线,前提是他们有一个公共点且斜率相等. 举一反三: 【变式 1】 已知 【答案】 经过 经过 所以 , , , 两点直线的斜率 两点的直线的斜率 , . . , , 三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?

三点在同一条直线上.

【变式 2】 已知直线的斜率 【答案】 由已知,得 , , , 是这条直线上的三个点,求 和 的值.

; 因为 , ,

. 三点都在斜率为 2 的直线上,

所以 解得 ,

, .



类型四:两直线平行与垂直
5.四边形 的顶点为 , , , ,试判断四边形 的形

状. 思路点拨: 证明一个四边形为矩形,我们往往先证明这个四边形为平行四边形,然后再证明平行四边形的一个角为直角. 解析:

边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 , ,

, ,

边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 , ,即四边形

, . 为平行四边形.





,即四边形

为矩形.
4

总结升华: 证明不重和的的两直线平行,只需要他们的斜率相等,证明垂直,只需要他们斜率的乘积为-1. 举一反三: 【变式 1】已知四边形 形. 【答案】 由题意得 边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 则 所以四边形 又因为 , 即平行四边形 【变式 2】已知 【答案】 设点 为矩形. , 的坐标为 , 三点,求点 ,使直线 的斜率 ; ,且 . ; . 为平行四边形, , 边所在直线的斜率 , , . , 的顶点为 , , , ,求证:四边形 为矩

边所在直线的斜率

,由已知得直线

直线

的斜率

;直线

的斜率

;直线

的斜率



由 所以,点

,且 的坐标是 .



解得





【变式 3】 (2011 浙江 12)若直线 【答案】 因为直线 与直线

与直线

互相垂直,则实数 互相垂直,所以 ,所以

=__________. .

直线的倾斜角与斜率 作业答案 题组一 1.已知直线 l 过点(m,1),(m+1,tanα+1),则 A.α 一定是直线 l 的倾斜角 B.α 一定不是直线 l 的倾斜角
5

直线的倾斜角 ( )

C.α 不一定是直线 l 的倾斜角

D.180° -α 一定是直线 l 的倾斜角

tanα+1-1 解析:设 θ 为直线 l 的倾斜角,则 tanθ= =tanα, m+1-m ∴α=kπ+θ,k∈Z,当 k≠0 时,θ≠α.答案:C 2.如图,直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率 为 k,则 C.ksinα≤0 ( )A.ksinα>0 B.kcosα>0

D.kcosα≤0

π 解析:显然 k<0, <α<π,∴cosα<0,∴kcosα>0. 2 答案:B 题组二 直线的斜率及应用

3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1<k2<k3,则下列说法中一定正确的是 ( )A.k1k2=-1 B.k2k3=-1 C.k1<0 D.k2≥0

解析:结合图形知,k1<0.答案:C 4.(2008· 浙江高考)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________. 解析:∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kBC,即 a2+a a3-a2 = ,又 a>0,∴a=1+ 2. 2-1 3-2

5.已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率是________. -2-(-5) 解析: 设直线 AB 的倾斜角为 2α, 则直线 l 的倾斜角为 α, 由于 0° ≤2α<180° , ∴0°≤α<90° , 由 tan2α= 3-(-1) 3 1 1 1 = ,得 tanα= ,即直线 l 的斜率为 .答案: 4 3 3 3 题组三 两条直线的平行与垂直

6.(2009· 陕西八校模拟)已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 l1∥l2 的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:∵l1∥l2?an-bm=0,且 an-bm=0?/ l1∥l2,故 an=bm 是直线 l1∥l2 的必要不充分条件. 7 . (2009· 福 建 质 检 ) 已 知 直 线 a2x + y + 2 = 0 与 直 线 bx - (a2 + 1)y - 1 = 0 互 相 垂 直 , 则 |ab| 的 最 小 值 为 ( )A.5 B.4 C.2 D.1

a2+1 1 解析:由题意知,a2b-(a2+1)=0 且 a≠0,∴a2b=a2+1,∴ab= = a+ , a a 1 1 ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥2.(当且仅当 a=± 1 时取“=”). a |a| a 8.(2010· 合肥模拟)已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为 b ( 2 )A. 3 2 B.- 3 1 C. 3 D.- 1 3

a 1 解析:曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 3,所以 =- . b 3 9.(2009· 泰兴模拟)设直线 l1 的方程为 x+2y-2=0,将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90° 得到直线 l2,则 l2 的方
6

程是________________. 1 解析:∵l1⊥l2,k1=- ,∴k2=2,又点(0,1)在直线 l1 上,故点(-1,0)在直线 l2 上,∴直线 l2 的方程为 y=2(x+1), 2 即 2x-y+2=0.答案:2x-y+2=0 题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题

10.若关于 x 的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是________. 解析:数形结合.在同一坐标系内画出函数 y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然 k≥1 或 k=0 时满足题意.

答案:k≥1 或 k=0 11.(2009· 青岛模拟)已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,则该直线倾斜角的取值 范围是________.解析:如图所示, kPA= 6-3 3π =-1,∴直线 PA 的倾斜角为 , 4 -1-2 6-2 π =1,∴直线 PB 的倾斜角为 , 4 -1-(-5)

kPB=

π 3π π 3π 从而直线 l 的倾斜角的范围是[ , ].答案:[ , ] 4 4 4 4 12.已知点 M(2,2),N(5,-2),点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点). (2)∠MPN 是直角. 解:设 P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴OM∥NP. 2-0 0-(-2) 2 ∴kOM=kNP.又 kOM= =1,kNP= = (x≠5), 2-0 x-5 x-5 2 ∴1= ,∴x=7,即 P 点坐标为(7,0). x-5 (2)∵∠MPN=90° ,∴MP⊥NP,∴kMP· kNP=-1. 又 kMP= 2 2 2 2 (x≠2),kNP= (x≠5),∴ × =-1,解得 x=1 或 x=6, 2-x x-5 2-x x-5

即 P 点坐标为(1,0)或(6,0).

7



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