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解析几何专题训练1


解析几何专题训练
1、已知椭圆 值是

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,则 PF1 ? PF2 的最小 4


x2 y2 ? ? 1 的顶点, 2、 (2011 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M , N 分别是椭圆 4 2
过坐标原点的直线交椭圆于 P, A 两点, 其中点 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C , 连接 AC ,并延长交椭圆于点 B .设直线 PA 的斜率为 k . (1)当直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB .

y P

M
A

O N

B
C

x

x2 y 2 3、已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 (?1,0) ,长轴长与短轴长的比是 2 : 3 . a b
(1 )求椭圆的方程;

A , B , C , D 四点,若 m ? n ,求证: (2)过 F 1 作两直线 m , n 交椭圆于
为定值.

1 1 ? AB CD

4、 (2011 山东)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线均和圆 C: a 2 b2

x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( )
x2 y 2 ? ?1 5 4 x2 y 2 C. ? ?1 3 6
A.

x2 y 2 ? ?1 4 5 x2 y 2 D. ? ?1 3 6
B.

2 2 5、 (2010 全国)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F 1 PF2 ?

60°,则 P 到 x 轴的距离为



6、 (2011 广东理)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4,( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外 切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程 (2)已知点 M ( 坐标.

3 5 4 5 , ), F ( 5,0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时 P 的 5 5

7、 (2010 广东理)已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) ,Q( x1 , ? y1 ) 2

是双曲线上不同的两个动点。

E 的方程; (1)求直线 A 1 P 与 A2 Q 交点的轨迹
(2)若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值。

8、长为 l ? l ? 1? 的的线段 AB 的两端在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短
2

距离等于



9、 (2009 广东理) 已知曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且 x A ? xB . 记 曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) 为D . 设点 P( s, t ) 是

L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

12、 (2008 广东)设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 2b 2 b 2

y F G A F1 O 图4 B x

方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线 在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F 1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为 直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐 标).

12、 (2011 浙江)已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1的圆心为点 M。
2

(1)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) , 过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程.



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