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专题12 概率和统计-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析



一.基础题组 1.
【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】已知 ? ~ N (3, ? 2 ) , ) C. 0 .7 D. 0.8

若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于( A. 0 . 2 B. 0 . 3

2.

【河北省邯郸市 2014 届

高三 9 月摸底考试数学理科】已知随机变量 ? 服从正态分布 )

N (4, ? 2 ) ,若 P(? ? 8) ? 0.4 ,则 P(? ? 0) ? (
A . 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

3. 【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】某学校随机抽取 20 个班,调查各
班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据分组成[0, 5),[5,10),?,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是 ( )

4. 【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】某小学对学生的身高
进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的频率分布直方图.若要从 身高在[120,130) , [130,140) , [140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

5.

【江苏省阜宁中学 2014 届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在 5 次综 .

合测评中成绩, 其中一个数字被污损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

二.能力题组 1. 【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】在圆 ( x ? 2)2+( y ? 2)2=4

? x+2y-5≥0 ? 内任取一点,则该点恰好在区域 ? x-2y+3≥0 内的概率为( ? x≤3 ?
A.



1 8?

B.

1 4?

C.

1 2?

D.

1

?

考点:二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 和 几 何 概 型 等 知 识 , 考查学生的基本运算能 力.

2. .【山西省山大附中 2014 届高三 9 月月考数学理】抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率
都是

?1,第n次投掷出现正面 1 ? ,反复这样投掷,数列 {a n } 定义如下: a n ? ? ,若 2 ? ??1,第n次投掷出现反面

Sn ? a1 ? a2 ???an (n ? N * ) ,则事件“ S2 ? 0, S8 ? 2 ”的概率是(
A.



1 256

B.

13 128

C.

1 2

D.

7 32

三.拔高题组 1.
【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】现有 A,B 两球队进行友谊比赛,

2 设 A 队在每局比赛中获胜的概率都是3. (Ⅰ)若比赛 6 局,求 A 队至多获胜 4 局的概率; (Ⅱ)若采用“五局三胜”制,求比赛局数 ξ 的分布列和数学期望.

(Ⅱ)由题意可知,ξ 的可能取值为 3,4,5.

考点:排列组合,分布列,期望.

2. 【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】一个袋子里装有 7 个球,
设取到任何一个球的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 个球中, 含有编号为 3 的球的概率;

其中有

红球 4 个, 编号分别为 1,2,3,4; 白球 3 个, 编号分别为 2,3,4. 从袋子中任取 4 个球 (假

(Ⅱ) 在取出的 4 个球中, 红球编号的最大值设为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

??6 分

考点:概率,分布列,期望.

3.

【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球 3 个,白球

4 个. (Ⅰ)从中不放回地摸球,每次摸 2 个,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖,求摸 2 次恰好第 2 次中奖的概率; (Ⅱ)每次同时摸 2 个,并放回,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖,连续摸 4 次, 求中奖次数 X 的数学期望 E(X).

(Ⅱ) 设“每次同时摸 2 个,恰好中奖”为事件 B,则

P( B) ?

2 1 1 C3 ? C3 C4 5 ? 2 7 C7

随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

??6 分

5 ? 160 1 5 ? P( X ? 1) ? C4 ? ? ?1 ? ? ? 4 , 7 ? 7? 7 ? 5 ? ? 5 ? 1000 P( X ? 3) ? C ? ? ? ?1 ? ? ? 4 , 7 ?7? ? 7?
3 4 3

3

600 ? 5? 2? 5 ? P( X ? 2) ? C4 ? ? ? ?1 ? ? ? 4 , 7 ?7? ? 7? 625 ?5? P( X ? 4) ? C ? ? ? 4 ,??10 7 ?7?
4 4 4

2

2

分 所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 2 3 4

160 74

600 74

1000 74

625 74

随机变量 X 的数学期望

EX ? 1 ?

160 600 1000 625 6860 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 4 ? . 4 2401 7 7 7 7

??14 分

考点:组合公式、概率,分布列,期望

4.

【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】(本题满分 12 分)在

某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获 奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 【答案】(Ⅰ)X 的分布列 X P 0 1 2 3 4 5 6

160 729 32 数学期望 EX ? 4 ;(Ⅱ) . 81
【解析】

1 729

12 729

60 729

240 729

192 729

64 729

试题分析:(Ⅰ)先定出 X 的所有可能取值,易知本题是 6 个独立重复试验中成功的次数的离散 概率分布,即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定, 教师甲前四次投球中至少有两次投中,后两次必须投中,即可能的情况有 1.前四次投中 2 次 (六投四中) ;

考点:1.二项分布;2.离散型随机变量的分布列与期望;3.随机事件的概率.

5.

【2014 届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中

心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意。最 终,商定以抛硬币的方式决定结果。规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分 乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得 4 分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需 抛币次数为 ? . ⑴求 ? =6 的概率; ⑵求 ? 的分布列和期望. 【答案】 (1) P (? ? 6) ? 【解析】 试题分析: (1) ? =6 说明前 5 次中恰有 3 次胜 2 次负,第 6 次一定是胜,而且甲乙两人均有 可能胜;

5 93 ; (2) E? ? 16 16

6.

【浙江省温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试数学试题(理科) 】(本题满分 14 分)

在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球; 若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y, z 分别表示甲,乙,丙 3 个盒中的球数. (1)求 x, y, z 依次成公差大于 0 的等差数列的概率; (2)记 ? ? x ? y ,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望. 【答案】(1) P ? (2)

1 ; 4
1 2 3

?
P

0

1 8

3 8

3 8

1 8

E? ?

3 2.

【解析】

随机变量 ? 的概率分布列

?
P

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

数学期望为 E? ?

3 .------------------------14 分 2

考点:1.离散型随机变量的分布列及期望;2.事件概率的求解.

7. 【浙江温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(理科) 】 (本题满分 15 分)某
种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 3 分,且停止射击;若第一次 射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150m 处,这时命中记 2 分,且停止射击;若 第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在 200m 处,若第三次命中则记 1 分, 并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分,且比赛结束.已知射手甲在 100m 处击中目标的概 率为
1 ,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的. 2

(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率; (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望.

8.

【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】 (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对 一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,得分最低为 0 分,至少得 15 分才能入选.

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

试题解析: (Ⅰ) 设乙得分为 x , 则 x = 0,15,30 ,P (x = 0) =
P (x = 15) =
2 1 3 0 C5 C5 5 , C5 C5 1 = P x = 30 = = ( ) 3 3 C10 12 C10 12

0 3 1 2 C5 C5 C5 C5 1 5 1 + = + = , 3 3 C10 C10 12 12 2

x 的分布列为 x
P
0 15 30

1 2

5 12

1 12

E x = 0?

1 2

15?

5 12

30?

1 12

35 ; 4 54 27 81 + = , 125 125 125

(Ⅱ)设“甲入选”为事件 A, “乙入选”为事件 B,则 P ( A) =

P ( A) = 1-

81 44 1 1 C 2C1 C 3C 0 1 = = ,所求概率 , P ( B) = 5 3 5 + 5 3 5 = , P ( B ) = 1 125 125 2 2 C10 C10 2

P = 1- P ( AB ) = 1- P ( A) P ( B ) =

103 125

考点:本小题考查独立事件与对立事件的概率,分布列,数学期望,考查学生的分析问题、 解决问题的能力.

9.

【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】 (本题满分 12 分)为了了解《中华

人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机 抽取了某校 20 名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:

(1)若测试成绩不低于 90 分,则称为“优秀成绩”,求从这 20 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“优秀成绩”的概率; (2)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

人成绩优秀为事件 A ,则, P( A) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) =

3 2 1 C16 C16 C4 52 . ? ? 3 3 C20 C20 57

10.

【山西省山大附中 2014 届高三 9 月月考数学理】(本小题满分 14 分)现有甲、乙两个靶.

某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 一次,命中的概率为

3 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击 4

2 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射 3

手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; 【答案】(I)

7 . 16

(II) X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

4

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8

EX ? 0 ?
【解析】

1 1 11 1 3 17 . ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ? P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?
P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

?

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? . 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 8 3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

?

? ?

?



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