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人教版高中数学必修1课件-1.3.1函数的单调性 (共11张PPT)



1.3.1函数的基本性质
——单调性

思考
观察以下几幅图,你能发现图象在 升降上有什么特点吗?
f ( x) ? x

f ( x) ? x

2

思考
f (x)=x2
1. 在什么区间上, f (x) 的值随x的增大而增大? 2. 在什么

区间上, f (x) 的值随x的增大而减小?

理论
1. 增函数:如果对于定义域I内某个
区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2,

当x1< x2时,都有 f (x1) < f (x2),那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数.

2. 类比增函数的概念你能说出减函数
的含义吗?

y

y ? f ( x)

y
f ( x2 )

y ? f ( x)

f ( x1 )

f ( x1 )

f ( x2 )

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

如果函数 y = f (x) 在区间 D 上是增函数或

减函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间上
具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y = f(x)

的单调区间.

举例
例1 图1是定义在区间[?5,5] 上的函数 y ? f ( x ) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间 上,它是增函数还是减函数?

图1

探究
1 探究:画出反比例 y ? x 的图象.

(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
3.5

(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? y
3 2.5 2 1.5

1

0.5

-5

-4

-3

-2

-1 -0.5

O

1

2

3

x

4

5

-1

-1.5

-2

举例
例2 求证:函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证明:设x1, x2∈(-∞,+∞),且x2>x1, f(x2)-f(x1)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22) =(x1-x2)[(x1+x2/2)2+3x22/4].

因为 x2>x1,所以x1-x2<0.
又因为(x1+x2/2)2+3x22/4>0,

所以 f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),
所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

动动脑

你能总结证明函数单调性 的步骤吗? (1)设值;

(2)作差,化简;
(3)定号;

(4)下结论.

小结
1.描述函数单调性的三种方法:
图形语言 自然语言 符号语言 都有 数学化结论

2.定义中的几个关键词:
定义域内某个区间 任意

3.研究函数性质的常用方法:
观察图象 猜想性质 数学严格证明

作业

习题1.3
A组 第1- 4题



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