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高一数学必修1复合函数定义域的求法


1.2.4 复合函数定义域的求法

复合函数的定义:
如果y是u的函数,记为y=f(u),u 又 是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值 域与f(u)的定义域的交集不空,则确 定了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y 叫x的复合函数,其中u叫中间变量, y=f(u)叫外层函数,u=g(x)叫内层函 数. 即:x → u → y

复合函数的定义域的求法:
若复合函数y=f[g(x)],外函数y=f(u),内函数 u=g(x): (1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为 D,则y=f[g(x)]的定义域是使 g ( x) ? D 有意义 的x的集合. (2)y=f[g(x)]的定义域为D,则g(x)在D上的取值 范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域.

复合函数求定义域的几种题型:
题型(一):已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域

例1.若f ( x)的定义域是[0,2], 求f (2 x ?1)的定义域
解: 由题意知:

0 ? 2 x ?1 ? 2
1 3 ? ? x? 2 2

1 3 故 : f (2 x ? 1)的定义域是{x ? x ? } 2 2

练习: 若f ( x)的定义域是 ?0, 2? , 求f ( x )的定义域
2

1.已知函数f ( x)的定义域是[ ?2, 2],求y ? f

? x ?的定义域

题型(二):已知f ? g ? x ? ? 的定义域, 求f ( x)的定义域 ? ?

例2 :已知f ? 2 x ? 1?的定义域(?1,5], 求f ( x)的定义域
解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

? ? f ( x)的定义域为 ? 3, 9?

练习

1. 已知f (3x ? 1)的定义域?? 1,3?, 求f ( x)的定义域
2.已知 函数 f ? 2 x ? 1?的定义域是[0, 2], 求f (1 ? 3x)的定义域
3. 已知f (2 x ? 1)的定义域?? 1, 5?, 求f (2 ? 5x)的定义域

题型四: 已知函数的定义域,求含参数的取值范围

kx ? 7 例3 : 当k为何值时,函数y ? 2 的定义域是一切实数 kx ? 4kx ? 3
解:
由y ? k x? 7 的定义域为一切实数, 可知 2 k x ? 4k x ? 3

分母k x2 ? 4k x ? 3 ? 0对x ? R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立

(2)当K ? 0时 : ? ? 0, 解得 : 0 ? k ?

3 综上(1), (2)知,当0 ? k ? 时 4 k x? 7 y? 2 的定义域是一切实数 k x ? 4k x ? 3

3 4

练习: 若函数

y ? ax ? ax ? 1 的定义域是R,
2

求实数a 的取值范围。

练习: 若函数

y?

ax ? ax ? 1 的定义域是R,
2

求实数a 的取值范围。

? ax2 ? ax ? 1 ? 0恒成立, 解:∵定义域是R,
当 a ? 0 时,显然适合题意.



a?0

a?0 ? ?0?a?4 时? 2 ?? ? a ? 4 a ? 1 ? 0

综上知:实数a 的取值范围为 0 ? a ? 4


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