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第一章计数原理第1节



第一章 1.1
题型 1
●分类加法计数原理

计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理问题

1.叙述:如果完成一件事,可以有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类 办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有

mn 种不同的方法. 那么,完成这件事 共有种 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 不同方法.(也称加法原理) 2.特点: (1)完成一件事有若干种不同的办法,这些办法可以分成 n 类; (2)用每一类中的每一种办法都可以单独完成这件事; (3)把每一类的办法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. ●分类加法计数原理理解 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设题 001.加法计数原理与集合关系的问 题
} Q ? { y,1, 2} 其 中 例 1. 集 合 P ? {x , 1 , x, y ? { 1 , 2 ? , 3 , ,且 , 9 P}? Q 多把满足上述

数对也有 7 个. 由分类加法计数原理知,满足条件的有序整 数对有 7+7=14(个)故选 B. 规律:本题是利用加法计数原理解答的,分 类时,首先要根据问题的特点确定一个合适 于它的分类标准,然后在这个标准下进行分 类;其次分类时要注意满足一个基本要求; 完成这类事情的任何一种方法必须属于某 一类,并且分别属于不同类的两种方法是不 同的方法. 例 2.满足 A ? B ? {1, 2} 的集合 A、 B 共有 多少组? 解析:当 A ? ? 时,只有 B ? ?1,2? 得 1 组 解;

条件的一对有序实数对 (x,y)作为一点的坐 标,则这样的点的个数是 ( A.9 B.14 C.15 ) D.21

解析:由 P ? Q 知,x 与 y 的关系有两类:一 是 x=2, 二是 x=y.当 x=2 时, y 可取 3,4,5,6, 7,8,9, 故此时的有序整数对有 7 个; 当 x=y 时,由于 x,y 均不能取 1,2,故 x,y 可同 时取 3,4,5,6,7,8,9 中的一个,此时的有序整

1

当 A ? ?1? 时, B ? ?2? 或 B ? ?1,2? ,得 2 组解;当 A ? ?2? 时, B ? ?2? 或 B ? ?1,2? , 得 2 组解; 当 A ? ?1,2? 时, B ? ? 或 ?1? 或 {2} 或

I ? I1 ? I 2 ??? I n ,那么 I 中元素的个数等

于 I1 ,I 2 ,? I n 这些集合中元素个数的总和. 设题 002 .加法计数原理与数字问题 例 4.在所有的两位数中,个位数字比十 位数字大的两位数有多少个? 解析(解法一) :按个位数字有以下几类: 个位数是 9, 则十位数可以是 1,2,3,?,8 中的 任一个,故有 8 个; 个位数是 8, 则十位数可以是 1,2,3,?,7 中的 任一个,故有 7 个; 以此类推: 个位数是 7,有 6 个; 个位数是 6,有 5 个; ?? 个位数是 2,有 1 个; 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数 有:1+2+3+?+8=36(个) (解法二) :按十位数字是 1,2,3,4,5,6,7,8 分 成 8 类,在每一类满足条件的两位数分别是 8 个,7 个 6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个,则共有 8+7+6+?+1=36(个) 规律:本题是用分类加法计数原理解答 的,结合本题可以加深对“完成一件事,有 几类办法” 的理解, “完成一件事,有几类 办法”这里指对完成这件事的所有办法的一 个分类. 例 5.在 1,2,3,?,200 中,能够被 5 整除 的数共有多少个?

?1,2? ,得 4 组解.
根据加法原理,共有 1+2+2+4=9 组解. 规律:本题是含 A、B 两元数的不定方程 若两个集合中元素均为无限多个,但不是随 便两个子集搭配都行,要看两个集合的代表 元素是否一致,且看代表元素满足的条件是 否一致. 例 3. 书架上层有不同的数学书 15 本, 中层有不同的语文书 18 本, 下层有不同事的 物理书 7 本,现从中任取一本书,问有多少 种不同的取法? 解析: 从书架上任取一本书,有三类取法: 第一类取法是从书架上层取出一本数学书, 即可以从 15 本中任取一本,有 15 种取法; 第二类取法是从书架中层取出一本语文书, 即可以从 18 本中任取一本,有 18 种取法; 第三类取法是从书架的下层取出一本物理书, 即可以从 7 本中任取一本, 有 7 种取法.只要 从书架上任意取出一本书,任务便可完成, 根据分类加法计数原理,不同的取法一共有 15+18+7=40(种). 规律:若集合 I1 ,I 2 ,? I n 是彼此互斥的(即这 些集合当中任何两个的交集等于空集) ,

2

解析:能够被 5 整除的数,末尾数字是 0 或 5,因此,我们把 1,2,3,?,200 中能够被 5 整除的数分成两类来计数: 第一类:末尾数字是 0 的数,一共有 20 个. 第二类:末尾数字是 5 的数,一共有 20 个. 根据加法原理, 在 1,2,3,?,200 中, 能够 被 5 整除的数共有 20+20=40 个. 设题 003. 加法计数原理在实际生活中 的应用 例 6.从天津到大连,每天有 2 个航班的 飞机, 有 4 个班次的火车有 2 个班次的轮船, 一个班次的汽车,那么乘坐以上交通工具从 天津到大连,在一天中共有多少种选择? 解析:从天津到大连,共有乘飞机、火 车、轮船、汽车 4 类办法,每类办法中分别 又有 2、 4、 2、 1 种方法, 根据加法计数原理, 共有 2+4+2+1=9(种)方法.(如下图所示)

解析:任选一名同学参加科技竞赛,有 两类办法: 第一类:从男同学中选取一名参加科技 竞赛,有 3 种不同选法; 第二类:从女同学中选取一名参加科技 竞赛,有 5 种不同选法; 根据加法计数原理,不同的选派方法共 有 3+5=8(种) 规律: 解决分类问题, 用分类加法计数原理, 即完成一件事只需通过途径 A,就不必再通 过途径B即可单独完成. 设题 004. 加法计数原理与物理问题中 的电路图 例 8.如图,闭合一些开关能够接通电路的不 同方法有 种.

解析: (1)当 1 闭合时,3,4,5 只有一个闭合 电路就能够接通,有 3 种情况;3,4,5 中有两 个闭合电路就能够接通,有 3 种情况;3,4,5 都闭合电路就能够接通,只有 1 种情况. (2)当 2 闭合时,同理有 7 种情况. (3)当 1,2 都闭合时,同理有 7 种情况.

例 7.一个科技小组有 3 名男同学,5 名女同学, 从中任选一名同学参加科技竞赛, 共有多少种不同的选派方法?

所以共有 7+7+7=21(种) 规律:解决物理问题时,要明确物理问题的 含义,建立数学模型加以解决. 设题 005. 加法计数原理与网络图问题

3

例 9.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之 间的连线表示它们的网线相连,连线标注的 数字表示该网线单位时间内可以通过的最大 信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息 可以分开沿不同的路线传递,则单位时间内 传递的最大信息量为多少?

欲求传递的最大信息量,即求每条线路的最 大信息量, 在线路 AP1P2B 中, 最大负荷为 3, 不是 5,也不是 12,否则在通过 P2B 时超载, 因此每条线路的容量为各线路中每段最大信 息量的最小值.因此, 各线路传递最大信息量 依次为 3、4、6、6. 由分类加法计数原理,单位时间内传递的最 大信息量为 3+4+6+6=19. 规律:解决这类问题的关键是要读懂、理解 所给材料,提炼、加工、整理所给信息,然 后建立数学模型,加以解决.

解析:由图可知 A 到 B 的传递路线有4条,

题型 2

分步乘法计数原理问题

●分步乘法计数原理 1.叙述:一般地,如果完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第 1 步有 m1 种的方法, 做第 2 步中有 m2 种方法,??,第 n 步中有 mn 种方法. 那么,完成这件事共有种

N ? m1 ? m2 ??? mn 不同方法.(也称乘法原理)
2.特点: (1)完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可; (2)完成每一步有若干种方法; (3)把每一类的办法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. ●分步加法计数原理理解 分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成 任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 设题 006.分步乘法计数原理与集合子集 的问题 例 10.集合 A ? {a1 , a2 ,?, an } 的子集有多 少个?

4

解析:要得到 A 的一个子集 S1 , 可以分成个 n 步骤: 第 1 步,考察元素 a1 是否在 S1 中,有 2 种可 能( a1 ? S1 , a1 ? S1 ) ; 第 2 步,考察元素 a 2 是否在 S1 中,有 2 种可 能( a2 ? S1 , a2 ? S1 ) ; ?? 第 k 步,考察元素 a k 是否在 S1 中,有 2 种可 能( ak ? S1 , ak ? S1 ) ; ?? 第 n 步,考察元素 a n 是否在 S1 中,有 2 种可 能( an ? S1 , an ? S1 ). 只要完成上述 n 个步骤,那么集合 S1 中元素 就完全确定了.根据分步乘法计数原理, 对于 由 n 个元素组成的集合,共有

共有 3×3×3×3=34=81(种). 例 12. 满足 A ? B ? {a1 , a2 ,?, an } 的集合 A、B 有多少组? 解析: A ? B 中的一个元素可以在集合 A 中, 可以在集合 B 中,也可以在 A ? B 中三种情 形。根据乘法原理共有
3 ? 3 ? ? ? 3=3n ?????
n个3

规律: 对于集合的子集问题, 可以进行转 化为往不同的区域投放元素的问题,结论可 记住. 设题 007. 乘法原理与映射的问题 例 13. 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 },集合
B ? {b1 , b2 } ,其中 ai , bj (i ? 1,2,3,4, j ? 1,2) 均

为实数,从集合 A 到集合B能构成多少不同 的映射? 解析:由映射的定义可知,集合 A 种的元素
ai (i ? 1, 2,3, 4) 与集合B中的元素 bj ( j ? 1,2)

的对应方法都有2种,由分步计数原理,可 构成 A→B 的映射有 2×2×2×2=24=16(个). 规律:正确理解“映射”与“函数”的概念 是解决本题的关键. 设题 008 . 乘法原理与数字问题 例 14.从 0~9 十个数字中选出 4 个组成 一个四位数,问能组成多少个无重复数字的 四位偶数? 解析:当 0 在末位时,十、百、千位分别有 9、 8、 7 种安排方法, 共有 9×8×7=504 个;

2 ? 2 ? ? ? 2 =2 个不同的子集. ?????
n n个 2

例 11. 满足 A ? B ? {1,2,3,4} 的集合 A、 B 有多少组? 解析: A ? B 中的一个元素可以在集合 A 中, 可以在集合 B 中,也可以在 A ? B 中三种情 形。 分成个 4 步骤: 元素 1 有三种存在形式; 元素 2 有三种存在形式;元素 3 有三种存在 形式;元素 4 有三种存在形式;据乘法原理

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当 0 不在末位时,2、4、6、8 中的一个在末 位,有 4 种排法,首位有 8 种(0 除外) ,其 余两位各有 8、7 种排法,共有 4×8×8× 7=1792 个. 由以上可知,共有符合题意的偶数为: 504+1792=2296 个. 例 15.从(2012 湖北)回文数是指从左 到右读与从右到左读都是一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然两位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.三位回文数有 90 个 101,111,121,?,191,202,?,999. 则(1)四位回文数有 个 个

∴求正约数可化为给 a,b,c 在各自范围内选 一个数. ∵a 有 2 种选法,b 有 3 种选法,c 有 4 种选 法, ∴按照分步乘法计数原理,所求正约数有 2×3×4=24(个). 规律:对于组数问题的计数,一般按特殊位 置(首位或末位)由谁占领分类,每类中再 按特殊位置(或元素)优先的方法来计数; 但当分类较多时,可用间接法. 设题 009. 乘法原理在实际生活中的应用问 题 例 16.将 8 本不同的书,任选 3 本分给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的分法? 解析:要完成这件事情可分三步,每一位 同学取一本书, 第 1、 2、 3 个同学分别有 8、 7、6 种取法,因此由分步乘法计数原理,不 同的分法共有 8×7×6=336(种) 例 17.将 4 封信投入 3 个邮筒,有多少种 不同的投法? 解析:这件事情可分四步,第一步:投第 1 封信,可以在 3 个邮筒中任选一个,因此 有 3 种投法;第二步:投第 2 封信,同样有 3 种投法;第三步:投第 3 封信,同样有 3 种投法;第四步:投第 4 封信,仍有 3 种投 法. 因此由分步乘法计数原理,可以得出不 同的投法共有 3×3×3×3=34=81(种) 例 18.3 位旅客到 4 个旅馆住宿,有多少

(2) 2n ? 1(n ? N? ) 位回文数有 解析:从左右对称入手考虑

(1)四位回文数第 1、4 位取同一个非零数 有 9 种选法,第二、三位可取 0,有 10 种选 法,故有 9×10=90(个),即四位回文数有 90 个. (2)首位和末位不能取 0,故有 9 种选法, 其余为关于中间数对称,每两数都有 10 种 选法,中间数也有 10 种选法,故
2n ? 1(n ? N? ) 位回文数有 9×10 个.
n

例 15.求 360 的正约数的个数 解析:∵ 360 ? 5 ? 32 ? 23 ∴ 360 的正约数可表示为 5a ,3b , 2c 的形式. 其中 a=0,1;b=0,1,2;c=0,1,2,3.

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种不同的住宿方法? 解析:要完成这件事情可分三步,每位旅 客都有 4 种不同的住宿方法,因此由分步乘 法计数原理,可以得出不同的住宿方法共有 4×4×4=43=64(种) 规律:应用分步计数原理时,当完成每一 步的方法数均有 m 种,且 m 与 n 相近时,所 n m 得结果常发生 m 与 n 之间的混淆.准确解答 的关键在于弄清谁是主体,谁选择谁. 设题 010. 乘法原理与涂色问题 例 19.用 5 种不同的颜色给下图中的 A、 B、C、D四个区域涂色,要求每个区域涂 一种颜色,相邻区域颜色不同,共有多少种 不同的涂色方法?

设题 011. 乘法原理与科技问题 例 20.电子元件很容易实现电路的断与通, 电位的高与低两种状态,而且这也是最容易 控制的两种状态.因此, 计算机内部就采用了 每一位只有 0 和 1 两种数字的计数法,即二 进制.为了使计算机能够识别字符, 需要对字 符进行编码,每一个字符可以用一个或多个 字节来表示,其中字节是计算机中数据存储 的最小计量单位,每个字节由 8 个二进制构 成,问: (1)一个字节(8 位)最多可以表示多少 个不同的字符? (2) 计算机汉字国际码 (GB 码) 包含 6763 个汉字.一个汉字为一个字符, 要对这些汉字 进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表 示?

解析:这件事情可分四步,第一步:先涂 A 区域,有5种涂法;第二步:涂B区域, 有4种涂法;第三步:涂C区域,由于C区 域与 A、 B都相邻, 故有3种涂法; 第四步: 涂D区域,由于D区域与B、C都相邻,有 3种涂法.所以共有 5×4×3×3=180(种) 不同的涂色方法. 规律: 要明确图形的特征, 理解清楚题意, 应用分步乘法原理解决此问题.本道题目中 注意“区域颜色不同”和“颜色各不相同” , D区域颜色可以和A区域颜色相同.

解析:(1)用下图来表示一个字节

一个字节共 8 位,每一位上有 2 种选择. 根据乘法计数原理,一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2=28=256 (个) 不同 的字符. (2)由(1)知, 用一个字节能表示的不同字符 不够 6763 个, 就考虑用两个字节能够表示多

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少个字符.前一个字节有 256 种不同的表示方 法, 后一个字节也有 256 种不同的表示方法, 根据分步乘法计数原理,两个字节可以表示 256×256=65536(个)不同字符.

这已经大于汉字国际码包含的汉字个数 6763, 所以每个汉字至少要用两个字节表示. 规律:关键要理解题意中“一个字符可以 用一个或多个字节来表示”和“一个字节由 8 个二进制构成”的含义.

题型 3

两个计数原理的综合应用

●两个计数原理的相同点 都是统计关于做一件事情的不同方法的种数问题. ●两个计数原理的区别 1.加法原理是完成一件事共有类不同的办法,关键词是“分类” ;乘法原理是完成一件事共分 个步骤,关键词是“分步”. 2.加法原理每类办法都能独立完成这件事;乘法原理每一步得到的只是中间结果,任何一步都 不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事情,只有每一个步骤完成了,才能完 成这件事情. 3.加法原理各类办法是互斥的、并列的、独立的;乘法原理中的各步之间是相关联的. ●两个计数原理的意义 这两种计数原理是人们在大量实验经验的基础上归纳出来的基本规律,是推导排列、组合计 算公式的依据,其基本思想方法贯穿于解决计数原理应用问题的始终. ●两个计数原理反映的思想 这两种计数原理从思想方法的角度看,一个是将问题“分类”的思考,一个是将问题进行“分 步”的思考,通过将问题进行“分类”和“分步” ,从而达到分解问题,解决问题的目的.因此 这两个原理的理解、掌握和应用是学好计数原理的关键. 设题 012 .用两种计数原理解决同一问题 例 21.同室四人各写一张贺年卡,先集中 起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年 卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( ) A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 解析:(方法一:加法计数原理) 设四张贺卡分别记为 A,B,C,D.由题意,某 人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3 种,据此将卡的不同分配方式分为三类,对 于每一类, 其他人依次取卡分步进行, 用 “树

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状图”表示如下

集合 M 中的元素作为点的纵坐标.在结合 N 中 任取一元素,有 4 种不同的方法,而适合题

∴ 共有 9 种不同的分配方式,故选 B. (方法二:乘法计数原理) 让四人 A,B,C,D依次拿一张别人送出的贺 年卡, 则可以分四步: 第一步: 如果 A 先拿, 有 3 种不同的方法;第二步:让被 A 拿走的 那张贺年卡的人拿,共有三种不同的取法; 第三、 四步: 剩下的两个人都各有 1 种取法. 由分步乘法计数原理,四张贺年卡不同的分 配方式有 3×3×1×1=9(种).故选 B. 设题 013.两种计数原的综合应用 例 22.已知集合 M ? ?1, ?2,3? ,集合 从两个集合中各取一个 N ? ??4,5, 6, ?7? , 元素作为点的坐标, 则在平面直角坐标系中, 属于第一、二象限不同点的个数是( ) A.18 B.15 C.14 D.10

意的点在第一、二象限,必须且只需从集合 N中的 1、3 中取一个,有 2 种不同的取法. 由分步乘法计数原理,共有 4×2=8(个)不 同的点. 由分类加法计数原理,属于第一、二象限的 点共有 6+8=14(个) 例 23.从 1~20 共 20 个整数中取两个不同 的数相加,使其和为偶数的不同取法共有多 少种? 解析:取 a ,b 与 b, a 是同一种取法.分类标准为 两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘 法原理得

10 ? 9 ? 45 种取法;第一类,奇奇 2 10 ? 9 ? 45 种取法.根据加法原理 2

相加,也有

共有 45+45=90 种不同的取法. 规律:本题是一个使用两个计数原理的综合 问题,从整体上看需分类完成,用 l,分类加 法计数原理;从局部看需分步,用分步乘法 计数原理.可见使用两个计数原理时需要密 切配合, 不能截然分开.当一个问题中既用 “” 分类“又用“分步”原理时,常先采用“先 分类后分步”的解题策略. 设题 014 .两种计数原理与数字问题 例 24.用数字 1,2,3 可写出多少个小于 1000 的正整数? 解析:当数字是一位数时,有 3 个数字; 当数字是二位数时,十位数有 3 种,个位

解析:完成这一事件可以分为两大类: 第一类: 以集合 M 中的元素为点的横坐标, 集合 N 中的元素作为点的纵坐标.在结合 M 中 任取一元素,有 3 种不同的方法,而适合题 意的点在第一、二象限,必须且只需从集合 N中的5、6中取一个,有 2 种不同的取法. 由分步乘法计数原理,共有 3×2=6(个)不 同的点. 第二类: 以集合 N 中的元素为点的横坐标,

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数有有 3 种,故有 3×3=9(个); 当数字是三位数时,百位数有 3 种,十位 数有 3 种, 个位数有有 3 种, 故有 3×3×3=27 (个) 由加法原理这样的整数共有 3+9+27=39 个. 例 25.用数字 0,1,2,3,4 这五个数字可 写出多少个不同的无重复的 (1)四位密码?(2)四位奇数? 解析: (1)可分四步: 第一步:选取左边第一个位置上的数字, 有 5 种选取方法; 第二步:选取左边第二个位置上的数字, 有 4 种选取方法; 第三步:选取左边第三个位置上的数字, 有 3 种选取方法; 第四步:选取左边第四个位置上的数字, 有 2 种选取方法; 由乘法计数原理,可组成不同的四位密码 共有:N=5×4×3×2=120(个)

(2) 规律:先分类,再对每一类分步,分类和 分步时都要注意按照统一标准进行. 设题 015 .两种计数原理与解析几何问题 例 26.若直线方程 Ax+By=0 中的 A、B 可以 从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数 字,则方程所表示的不同直线共有多少条? 解析:当 A、B 中有一个为0时,表示直线 为 x=0 或 y=0,共 2 条; 当 A、 B 都不取 0 时, 直线 Ax+By=0 被确定需 分两步完成: 第一步:确定 A 的值,从 1,2,3,5 中选一个, 共 4 种不同的方法; 第二步:确定 B 的值,共 3 种不同的方法. 由分步乘法计数原理, 共确定 4×3=12 (条) 直线. 由分类加法计数原理,方程所表示的不同直 线有 2+12=14(条).

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自我检测
一、选择题:
1.某班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的个数是 ( ) A.50 B.26 C.24 D.616

2.从 A 地到 B 地要经过 C 地和 D 地,从 A 地到 C 地有 3 条路,从 C 地到 D 地有 2 条 路,从 D 地到 B 地有 4 条路,则从 A 地到 B 地不同走法的种数是( A.3+2+4=9 B.1 C.3×2×4=24 )

D.1+1+1=3

3.学校有 4 个出入大门,某学生从任一门进入,从另外一门走出,则不同的走法种数有 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 4.从集合 A={0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a,b,c,则 可构成不同的二次函数的个数是( A.48 B.59 ) C.60 D.100

5.5 名高中毕业生报考三所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报名方法有 ( ) A.3 种
5 3

B.5 种

C.60 种

D.10 种

x2 y2 6.已知集合 A={x|-2≤x≤10,x∈Z},m,n∈A,方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的 m n 椭圆,则这样的椭圆共有( A.45 个 B.55 个 ) C.78 个 D.91 个

7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,若只有 5 种颜 色可供使用,则不同的染色方法总数为( A.240 B.300 )种. D.420

C.360

8.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面

11

个数为( A. 40

) B. 16 C. 13 D. 10

9. 如下图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有 6 个焊接点 A,B,C,D,E, F,如果某个焊接点脱离,整个电路就会不通,现发现电路不通了,那么焊接点脱离的可能 情况共有( )

A.63 种

B.64 种

C.36 种

D.6 种
2

10. [2013·福建高考]满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实 数解的有序数对(a,b)的个数为( A. 14 B. 13 ) C. 12 D. 10

二、填空题:
11.电子计算机的输入纸带每排有 8 个穿孔位置,每个穿孔位置可穿孔或不穿孔,则每 排最多可产生________种不同的信息. 12. 从 5 名医生和 8 名护士中选出 1 位医生和 1 名护士组成一个两人医疗组, 共有________ 种不同的选法. 13.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有________ 个 (用数字作答) . 14.植树节那天,四位同学植树,现有三棵不同的树则不同的植法结果为 .

三、解答题:
15.由数字 0,1,2,3,4 可以组成多少个三位整数(各位上的数字可以重复).

16.有一项活动,需在 3 名老师,8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法?

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(3)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?

17. 若直线方程 ax+by=0 中的 a, b 可以从 0,1,2,3,4 这五个数中任取两个不同的数字, 则该方程表示的不同的直线共有多少条?

18.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点 A 爬到相对顶点 C1,求其中经过 3 条棱的 路线有多少条.

19.某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语, 从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?

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20.2014 高考改革方案——改革考试科目设置:“考生总成绩由统一高考的语文、数学、 外语 3 个科目成绩和高中学业水平考试中的 3 个科目成绩组成.计入总成绩的高中学业水平 考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、 生物等 6 个科目中自主选择.”如果按照这样的报考要求,某位考生可以有多少种不同的选 择?

参考答案
一、选择题: 1. A 解析:由分类计数原理知,共有 26+24=50(个). 2. C 解析:由乘法计数原理知,共有 3×2×4=24(种). 3. C 解析:由乘法计数原理知,共有 4×3=12(种). 4. A 解析: 由题意知, a≠0, a 可取 1,2,3,4 中任意一个. 有 4 种取法. 同理 b 有 4 种取法, c 有 3 种取法.由分步计数原理知,共有 4×4×3=48(个). 5. A 解析:每一名高中毕业生都有 3 种选择,因此共有 3×3×3×3×3=3 (种). 6. A 解析:m,n 只能取 1,2,3,?,10,且 m>n,按 m 取 10,9,8,?,3,2 可分为 9 类, 共有 9+8+7+?+1=45(个). 7. D 解析:如图,四棱锥 S-ABCD,按 S→A→B→C→D 依次染色, 当 A,C 同色时有 5×4×3×1×3=180(种). 当 A,C 不同色时,有 5×4×3×2×2=240(种). 因此共有 180+240=420(种). 8. C 解析:分两类:第 1 类,直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确定
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8 个不同的平面;第 2 类,直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平面. 故可以确定 8+5=13 个不同的平面. 9. A 解析:电路不通可能是一个或多个焊接点脱落,问题比较复杂.但电路通的情况却只 有一种,即各焊接点全未脱落.因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,而只要有一个 焊接点脱落,则电路就不通,故共有 2 -1=63 种可能情况. 10. B 解析: 当 a=0 时, 关于 x 的方程为 2x+b=0, 此时有序数对(0, -1), (0,0), (0,1), (0,2)均满足要求;当 a≠0 时,Δ =4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1, -1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上, 满足要求的有序数对共有 13 个,故选 B. 二、填空题: 11. 256 解析:由题意知,每个穿孔都有 2 个信息,因此 8 个穿孔共有 2 种不同的信息. 12. 40 解析:由乘法计数原理知 5×8=40(种). 13. 14 解析:因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取 2 或 3),其中四个数字全是 2 或 3 的不合题意,所以适合题意的四位数共有 2×2×2×2-2=14(个). 14. 64 解析:完成这件事分三步:第一步植第一棵树,共 4 种不同的方法;第二步植第二棵 树,共 4 种不同的方法;第三步植第三棵树,共 4 种不同的方法.由乘法原理 N=4×4×4=64
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三、解答题: 15. 解析:要组成一个三位数,要分三步. ①确定百位上的数字有 4 种; ②确定十位上的数字有 5 种; ③确定个位上的数字有 5 种, 所以 N=4×5×5=100(个). 16. 解析: (1)可分为三类: 选老师 1 名, 男同学 1 名, 女同学 1 名, 由分类加法计数原理, 共有 3+8+5=16 种选法. (2)可分三步:第一步选老师 1 名,第二步选男同学 1 名,第三步选女同学 1 名,由分步 乘法计数原理,共有 3×8×5=120 种选法. (3)可分两类,每一类又可分两步.第一类:选 1 名老师和 1 名男同学;第二类:选 1 名老师和 1 名女同学.因此,共有 3×8+3×5=39 种选法. 17. 解析:按 a,b 是否为 0 进行分类.第一类:a 或 b 中有一个取 0 时,方程表示不同直线 为 x=0,或 y=0,共 2 条;第二类,a,b 都不取 0 时,确定 a 的取值有 4 种方法,确定 b 的取值有 3 种方法,共有 3×4=12(种).但是,当 a=1,b=2 与 a=2,b=4 时,方程表示

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同一条直线.类似地还有 a=2,b=1 与 a=4,b=2 的情况,综合上述,方程表示的不同直 线共有:2+12-2=12(条). 18. 解析:从总体上看有三类方法:分别经过 AB,AD,AA1,从局部上看每一类 α 需分两步 完成,故第一类:经过 AB,有 m1=1×2=2 条;第二类:经过 AD,有 m2=1×2=2 条;第三 类:经过 AA1 有 m3=1×2=2 条.根据分类加法计数原理,从顶点 A 到顶点 C1 经过 3 条棱的 线路共有 N=2+2+2=6 条. 19. 解析: 依题意得, 既会英语又会日语的有 7+3-9=1 人, 6 人只会英语, 2 人只会日语. 第一类:从只会英语的 6 人中选会英语的一人有 6 种方法,此时选会日语的有 2+1= 3(种). 由分步乘法计数原理可得 N1=6×3=18(种). 第二类:不从只会英语的 6 人中选会英语的一人有 1 种方法,此时选会日语的有 2 种. 由分步乘法计数原理 N2=1×2=2(种) 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有 N=N1+N2=18+2=20(种). 20. 解析:该同学语文、数学、外语三科必选,故在剩余 6 科中任选 3 科就是该同学报考方 法,记思想政治用 A 表示,历史用 B 表示,地理用C表示,物理用 D 表示,化学用 E 表示, 生物用F表示,可列举如下: (A、B、C),(A、B、D),(A、B、E),(A、B、 F),(A、C、D),(A、C、E),(A、C、F),(A、D、E),(A、D、F),(A、E、 F),(B、C、D),(B、C、E),(B、C、F),(B、D、E),(B、D、F),(B、 E、F),(C、D、E),(C、D、F),(C、E、F),(D、E、F).共 20 种选择方案.

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