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二次函数(导)



黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案

黄冈立传教育导学案
初三数学 导学案 课题 名称 课型 学生: 黄敏贤 2014 年 3 月 日 第 课时 张思藤 审核人

二次函数图像及其性质 复习课 课时 3

时间 主备人

一. 教学内容: 函数图像及其性质(3) ——二次函数的图

像和性质 二. 重点、难点: 1. 确定二次函数的解析式 2. 二次函数的图象及其性质 3. 二次函数的应用 4. 二次函数与一次函数、反比例函数的综合题 三. 典型例题 例 1. (1)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点(1,2)与( ?1 ,4) ,则 a+c 的值是 答案:3 (2)将二次函数 y ? x2 ? 4x ? 6化为y ? a( x ? h)2 ? k 的形式: y ? 答案: ( x ? 2)2 ? 2 (3)如果将二次函数 y ? 2x2 的图象沿 y 轴向上平移 1 个单位,那么所得图象的函数解析式 是______________. 答案: y ? 2 x ? 1
2





? 3) ,对称轴 x ? 1 ,抛物线与 x 轴两交点距离为 4,求这个 (4)已知二次函数图象经过 (2,
二次函数的解析式? 解:∵ 抛物线与 x 轴两交点距离为 4,且以 x ? 1 为对称轴.

0) (3 0) . ? 抛物线与 x 轴两交点的坐标为 (?1,,,
设抛物线的解析式 y ? a( x ? 1)( x ? 3) .
1

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抛物线过 (2, ? 3) 点,

??3 ? a(2 ? 1)(2 ? 3) .
解得 a ? 1 .

? 二次函数的解析式为 y ? x2 ? 2x ? 3 .
(5)将函数 y ? x2 ? 6x ? 7 进行配方,正确的结果应为( A. y ? ( x ? 3)2 ? 2 C. y ? ( x ? 3)2 ? 2 答案:C (6)用配方法将二次函数 y ? 3x 2 ? 4 x ? 2 写成形如 y ? a( x ? m)2 ? n 的形式,则 m , n 的 值分别是 A. m ? ( ) B. y ? ( x ? 3)2 ? 2 D. y ? ( x ? 3)2 ? 2 )

10 2 ,n ? 3 3 C. m ? 2 , n ? 6
答案:B

2 10 ,n ? ? 3 3 D. m ? 2 , n ? ?2
B. m ? ?

例 2. 在平面直角坐标系中,已知二次函数 y ? a( x ? 1)2 ? k 的图象与 x 轴相交于点 A, B ,顶 点为 C ,点 D 在这个二次函数图象的对称轴上.若四边形 ABCD 是一个边长为 2 且有一个内角 为 60 ? 的菱形.求此二次函数的表达式.

解:本题共有 4 种情况. 设二次函数的图象的对称轴与 x 轴相交于点 E . (1)如图①,当∠CAD ? 60? 时,因为 ACBD 是菱形,一边长为 2 , 所以 DE ? 1 ,BE ? 3 ,

, ? 1) , 所以点 B 的坐标为 (1 ? 3 , 0) ,点 C 的坐标为 (1
2

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解得 k ? ?1 , a ? 所以 y ?

1 . 3

1 ( x ? 1) 2 ? 1. 3

0) , (2) 如图②, 当∠ACB ? 60? 时, 由菱形性质知点 A 的坐标为 (0, 点 C 的坐标为 (1,? 3 ) .
解得 k ? ? 3 ,a ? 3 , 所以 y ? 3( x ?1)2 ? 3 .

,y ? ? 3( x ? 1) ? 3 , 同理可得: y ? ? ( x ? 1) ? 1
2 2

1 3

所以符合条件的二次函数的表达式有:

1 y ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,y ? 3( x ? 1) 2 ? 3 , 3 1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,y ? ? 3( x ? 1) 2 ? 3 . 3

例 3. (1)下列图形:

3

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其中,阴影部分的面积相等的是( A. ①② B. ②③ C. ③④ 答案:C (2)如果反比例函数 y ? ( )

) D. ④①

k 的图象如图所示,那么二次函数 y ? kx2 ? k 2 x ? 1的图象大致为 x

A 答案:B

B

C

D

例 4. 如图, Rt△ AOB 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点 O 与原点重合,

∠BAO ? 30 . 点 A 在 x 轴上, 点 B 在 y 轴上,OB ? 3 , 将 Rt△ AOB 折叠, 使 BO 边落在 BA
边上,点 O 与点 D 重合,折痕为 BC . (1)求直线 BC 的解析式; (2)求经过 B , C , A 三点的抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的解析式;若抛物线的顶点为 M , 试判断点 M 是否在直线 BC 上,并说明理由.

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解: (1) ∠OBC ? ∠DBC ?

1 1 ∠OBA ? ? ? 90 ? 30 ? ? 30 , 2 2
3 ? 1, 3

? 在 Rt△COB 中, OC ? OB ? tan 30? ? 3 ? ? 点 C 的坐标为 ?1 , 0? .

又点 B 的坐标为 0, 3 ,? 设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? 3 ,

?

?

? 0 ? k ? 3 ,? k ? ? 3 .
则直线 BC 的解析式为: y ? ? 3x ? 3 . 在 Rt△ AOB 中, OA ?

(2)

OB 3 ? 3? ? 3. tan 30 3

? A ? 3, 0? ,
又 B 0, 3 , C ?1 , 0? ,

?

?

a? 3 b? , c ?0 ? 9 ? ? ? 3 ? c, ?0 ? a ? b ? c. ?
解之得: a ?

4 3 3,c ? 3. ,b ? ? 3 3

? 所求抛物线的解析式为 y ?
配方得: y ?

3 2 4 x ? 3x ? 3 . 3 3

? 3? 3 3 2 2 , ? ? x ? 2 ? ? ,? 顶点为 M ? ?. ? 3 ? 3 3 ? ?

把 x ? 2 代入 y ? ? 3x ? 3 ,得: y ? ? 3 ≠ ?

3 . 3

? 顶点 M 不在直线 BC 上.

例 5. 已知两个关于 x 的二次函数 y1 与 y2,y1 ? a( x ? k )2 ? 2(k ? 0),y1 ? y2 ? x2 ? 6x ? 12 ; 当 x ? k 时, y2 ? 17 ;且二次函数 y2 的图象的对称轴是直线 x ? ?1 . (1)求 k 的值;
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(2)求函数 y1,y2 的表达式; (3)在同一直角坐标系内,问函数 y1 的图象与 y2 的图象是否有交点?请说明理由. 解: (1)由 y1 ? a( x ? k )2 ? 2,y1 ? y2 ? x2 ? 6x ? 12 得 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? y1 ? x2 ? 6x ? 12 ? a( x ? k )2 ? 2 ? x2 ? 6x ? 10 ? a( x ? k )2 . 又因为当 x ? k 时, y2 ? 17 ,即 k ? 6k ? 10 ? 17 ,
2

解得 k1 ? 1 ,或 k2 ? ?7 (舍去) ,故 k 的值为 1 . (2)由 k ? 1 ,得 y2 ? x2 ? 6x ? 10 ? a( x ?1)2 ? (1 ? a) x2 ? (2a ? 6) x ? 10 ? a , 所以函数 y2 的图象的对称轴为 x ? ?

2a ? 6 , 2(1 ? a)

于是,有 ?

2a ? 6 ? ?1 ,解得 a ? ?1 , 2(1 ? a)

所以 y1 ? ? x2 ? 2x ? 1 ,y2 ? 2x2 ? 4x ? 11 .

, 2) ; (3)由 y1 ? ?( x ?1) 2 ? 2 ,得函数 y1 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为 (1
由 y2 ? 2x2 ? 4x ?11 ? 2( x ? 1)2 ? 9 ,得函数 y2 的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为

(?1, 9) ;
故在同一直角坐标系内,函数 y1 的图象与 y2 的图象没有交点.

1) ,直线 l : y ? ?ax ? 3 与这条抛物线 例 6. 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的顶点是 C (0,
交于 P,Q 两点,与 x 轴, y 轴分别交于点 M 和 N . (1)设点 P 到 x 轴的距离为 2,试求直线 l 的函数关系式; (2)若线段 MP 与 PN 的长度之比为 3 :1 ,试求抛物线的函数关系式. 解: (1) 如图 1, 抛物线的顶点是 C ? 0, , ? y ? ax ? 1 . 1? ,?b ? 0,c ? 1
2

a ? 0 ,直线 l 过点 N ? 0, 3? ,

? M 点在 x 轴正半轴上.
点 P 到 x 轴的距离为 2 ,即点 P 的纵坐标为 2 .
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把 y ? 2 代入 y ? ?ax ? 3 得, x ?

1 , a

?1 ? 2? . ? P 点坐标为 ? , ?a ?
直线与抛物线交于点 P ,

? 点 P 在 y ? ax2 ? 1 上,
?1? ?2 ? a ? ? ? ? 1 , ?a?
? a ? 1.
2

? 直线 l 的函数关系式为 y ? ? x ? 3 .

(2)如图 2,若点 P 在 y 轴的右边,记为 P1 .过点 P1 作 P 1 A ? x 轴于 A ,

∠PMA ? ∠NMO ,? Rt△MP 1 1 A ∽ Rt△MNO ,?

P MP 1A 1 ? . ON MN

MP 3 1 , ? , ? MP ? 4PN 1 ? 3PN 1 ,MN ? MP 1 ? PN 1 1 P 1 1N
? MP PA 3 3 1 ? ,即 1 ? , MN 4 ON 4 9 9 ON ? 3, ?P ,即点 P1 的纵坐标为 . 1A ? 4 4 9 3 把 y ? 代入 y ? ?ax ? 3 ,得 x ? , 4 4a

? 3 9? ? 点 P1 的坐标为 ? , ? . ? 4a 4 ?
又 点 P1 是直线 l 与抛物线的交点,? 点 P1 在抛物线 y ? ax ? 1 上,
2

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9 ? 3? ? ? a ? ? ? ? 1, 4 ? 4a ?
?a ? 9 . 20 9 2 x ?1 . 20

2

? 抛物线的函数关系式为 y ?

如图 2,若点 P 在 y 轴的左边,记为 P2 .作 P 2 B ? x 轴于 B ,

∠P2 MB ? ∠NMO ,? Rt△MP2 B ∽ Rt△MNO ,
? P2 B MP2 ? . ON MN

MP2 3 ? , ? MP2 ? 3P2 N , P2 N 1

MN ? MP2 ? P2 N ? 2 P2 N, ?

MP2 3 PB 3 ? ,即 2 ? . MN 2 ON 2 9 9 ON ? 3, ? P2 B ? ,即点 P2 的纵坐标为 . 2 2

由 P2 在直线 l 上可求得 P 2 ?? 又

? 3 9? ,?, ? 2a 2 ?

P2 在抛物线上,
2

9 ? 3? ? ? a ??? ? ?1 2 ? 2a ?
?a ? 9 14

? 抛物线的函数关系式为 y ?

9 2 x ? 1. 14

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟)
1. 请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析 式 .
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2. 请选择一组你喜欢的 a、b、c 的值, 使二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象同时满足下列 条件:①开口向下,②当 x ? 2 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? 2 时, y 随 x 的增大而减小.这 样的二次函数的解析式可以是 . 3. 图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( A. h ? m B. k ? n C. k ? n D. h ? 0 , k ? 0 )

4. 已知抛物线 y ? x 2 ? 6 x ? 5 的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线 x =

,满足

y <0 的 x 的取值范围是
物线 y ? x 2 ? 6 x ? 9 .

,将抛物线 y ? x 2 ? 6 x ? 5 向

平移

个单位,可得到抛

5. 若二次函数 y ? x ?
2

1 与y ? ? x 2 ? k 的图象的顶点重合,则下列结论不正确 的是( ... 2



A. 这两个函数图象有相同的对称轴 B. 这两个函数图象的开口方向相反 C. 方程 ? x ? k ? 0 没有实数根
2

D. 二次函数 y ? ? x ? k 的最大值为
2

1 2
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6. 函数 y ? ax 2 ? a 与 y ?

a (a ? 0) 在同一直角坐标系中的图象可能是( x



A 7. 在反比例函数 y ? 图象大致是( )

B

C

D

k 中,当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大,则二次函数 y ? kx2 ? 2kx 的 x

A

B

C

D

8. 如图,直线 y ? 2 x ? 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A 、 B 两点,将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转

90 得到△ AOB 1 1.
(1)在图中画出△ AOB 1 1; (2)求经过 A 、 A1 、 B1 三点的抛物线的解析式.

9. 如图,已知: △ ABC 是边长为 4 的等边三角形, BC 在 x 轴上,点 D 为 BC 的中点,点 A

, 0) , P 点是 AC 上的动点( P 在第一象限内, AB 与 y 轴正半轴相交于点 E ,点 B 的坐标是 (?1
点与 A , C 两点不重合) .
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(1)写出点 A ,点 E 的坐标. (2)若抛物线 y ? ?

6 3 2 x ? bx ? c 过 A , E 两点,求抛物线的解析式. 7

(3)连结 PB,PD .设 l 为 △PBD 的周长,当 l 取最小值时,求点 P 的坐标及 l 的最小值, 并判断此时点 P 是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.

10. 如图,二次函数的图象与 x 轴相交于 A 、 B 两点,与 y 轴相交于点 C ,点 C、D 是二次函 数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点 B 、 D . (1)求 D 点的坐标; (2)求一次函数的表达式; (3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围.

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