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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案



成都七中实验学校高 2015 级 2015-2016 学年(下)半期考试 数 学 试 题 命题人:刘家云 审题人:周、余、魏

满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。) 1、 sin15? cos15? ? ( A、
1 4

) B、
1 2

C、

3 2

D、

3 4

2、已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1, 则 3 5 是它的( ) A、第 20 项 3、下列命题正确的是( A、 a ? b ? a ? b C、 a ? 0 ? a ? 0 B、第 21 项 ) B、 a ? b ? a ? b D、 a ? b ? a / /b ) C、第 22 项 D、第 23 项

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

5、若 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4 ,则 S11 的值为( A、 44 B、33 C、 24 ) C、 ?5

) D、 22

6、函数 y ? ?3 sin x ? 4 cos x 的最小值为( A、 ?3 B、 ?4

D、 ?7 )

2 2 2 7、 在 ? ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 a ? b ? bc ? c , 则角 A ?(

A、 30

0

B、 60

0

C、 120

0

D、 60 或120 )

0

0

8、在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 3, b ? 2 ,则角 B ? ( A、 45
0 0 0

B、 135

0

C、 45 或135

D、以上答案都不对

9、 ? ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 ( AB ? 的形状为 ( A、钝角三角形 ) B、等边三角形

??? ? ??? ? ??? ? AC )?BC ? 0 ,则 ? ABC
D、等腰直角三角形 )

C、直角三角形

10、在 ? ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1, S? ABC ?

??? ?

????

??? ? ??? ? 3 ,则 AB?AC 等于(

-1-

A、 1

B、 2

C、 ? 2

D、 ?2

11、已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E、F 分别在边 BC、DC 上,
0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 BE ? ? BC , DF ? ? DC 。若 AE ?AF ? 1, CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? ( ) 3 1 2 5 7 A、 B、 C、 D、 6 2 3 12 2 2 2 12、已知 ? ABC 的三个内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 b ? c ? a ,且
cos 2 A ? 3sin A ? 1 ? 0 ,则 sin ? C ? A? ?
A、 ? ?

3 cos ? 2 A ? B ? 的 取值范围为( 2
C、 ? 0,



? 1 3? , ? ? ? 2 4 ? ? ?

B、 ? ?

? 1 3? , ? ? ? 2 4 ? ?

? ?

3? ? 4 ?

D、 ? ?

? 2 1? ,? ? ? 3 2?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、设向量 a ? ? 2, ? ? , b ? ? ? ? 1,1? ,若 a / / b ,则 ? ? _____

?

?

?

?

14、如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的 正南方向。海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75 方向,与 A 相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60 方向,与 B 相距 5 海里 的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里。 15、 数列 ?an ? 满足:a1= 且对任意的 m、n ? N 都有:an+m=an+am+nm , 则 a100 ? ___ 1,
* 0 0

16 、 已 知 D、E、F 分 别 是 ?ABC 的 三 边 BC、CA、AB 上 的 点 , 且 满 足

??? ? 3 ???? ??? ? 2 ??? ? AE ? AC , AF ? AB , 4 3

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ? ? BD sin B AD cos B ? AB AC ? ? ? ???? ? ? ? ? R ? , AD ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? R ? , DF ? ? ? ??? | AD | ? ? | AB | cos B | AC | cos C ? ? | BD | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? | EF | ? ? ______ DE ? DA ? DE ? DC ,则 ??? | BC |

-2-

三、解答题: (6 小题,共 70 分。 ) 17、 (10 分) 已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 120? 。 (1)求 | a ? 2b | 的值; (2)求 a ? 2b 在 a 方向上的投影.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18、(10 分)已知向量 OA ? ? ?1,3? , OB ? ? cos ? , ? sin ? ? ,且 ?AOB ?

??? ?

??? ?

?
2



sin ?? ? 2? ? ? cos 2 ? (1)求 ; sin 2? ? cos 2? ? 1
(2)若 ? 是钝角, ? ? ? 是锐角,且 sin ?? ? ? ? ?

3 ,求 sin ? 的值。 5

19、(12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? a4 ? 12, S7 ? 49 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)是否存在非零常数 c 使数列 ? 理由。

? Sn ? ? 为等差数列?若存在,请求出 c ;若不存在,请说明 ?n ? c ?

-3-

20 、( 12 分 ) 已 知 a、b、c 分 别 为 ? ABC 三 个 内 角 A、B、C 的 对 边 ,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c 。
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ? ABC 的面积为 3 ,证明: ? ABC 是正三角形。

? ? ? ? 21 、 (12 分)已知向量 u ? (sin x,cos x) , 设函数 f ( x) ? u ? v 。 v ? (6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x) ,
(1)求函数 f ( x ) 的最大值及此时 x 的取值集合; (2)在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 BA?AC ? 0 , f ( A) ? 6 , 且 ? ABC 的面积为 3 , b ? 3 2 ,求 ? ABC 的外接圆半径 R 的大小。

??? ? ??? ?

2 * 22、(14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, S n ? nan ? 2n ? 2n n ? N 。

?

?

(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; (2)是否存在自然数 n ,使得 S1 ? 若不存在,请说明理由。 ( 3 ) 设 cn ?

S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 2n ? 1124 ?若存在,求出 n 的值; 2 3 n

2 (n ? N ? ) , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .... ? cn (n ? N ? ) , 若 不 等 式 n(an ? 7)

Tn ?

m ? m ? Z ? 对 n ? N ? 恒成立,求 m 的最大值。 32

-4-

成都七中实验学校高 2015 级 2015-2016 学年(下)半期考试 数 学 试 题 命题人:刘家云 审题人:周、余、魏

满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。) 1、 sin15? cos15? ? ( A ) A、
1 4

B、

1 2

C、

3 2

D、

3 4

2、已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1, 则 3 5 是它的( A、第 20 项 3、下列命题正确的是( A、 a ? b ? a ? b C、 a ? 0 ? a ? 0 B、第 21 项 C、第 22 项

D )
D、第 23 项

C

) B、 a ? b ? a ? b D、 a ? b ? a / /b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

B

)

5、若 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4 ,则 S11 的值为( A、 44 B、33 C、 24 D、 22

D

)

6、函数 y ? ?3 sin x ? 4 cos x 的最小值为( C ) A、 ?3 B、 ?4 C、 ?5 D、 ?7 )

2 2 2 7、 在 ? ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 a ? b ? bc ? c , 则角 A ? ( B

A、 30

0

B、 60

0

C、 120

0

D、 60 或120 A )

0

0

8、在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 3, b ? 2 ,则 B 等于( A、 45
0 0 0

B、 135

0

C、 45 或135

D、以上答案都不对

9、 ? ABC 的三个内角 A、B、C 成 等差数列,且 ( AB ? 的形状为 ( A、钝角三角形

??? ? ??? ? ??? ? AC )?BC ? 0 ,则 ? ABC
D、等腰直角三角形

B

) B、等边三角形 C、直角三角形

10、在 ? ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1, S? ABC ?

??? ?

????

??? ? ??? ? 3 ,则 AB?AC 等于(

D

)

-5-

A、 1

B、 2

C、 ? 2

D、 ?2

11、已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E、F 分别在边 BC、DC 上,
0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 BE ? ? BC , DF ? ? DC 。若 AE ?AF ? 1, CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? ( C ) 3 1 2 5 7 A、 B、 C、 D、 6 2 3 12
解:以点 B 为坐标原点,以 BC 边所在直线为 x 轴建系。 易得 B ? 0, 0 ? , C ? 2, 0 ? , A 1, 3 , D 3, 3 , E ? 2? , 0 ? , F 3 ? ? , 3 ? 3?

?

? ?

?

?

? ?

则 AE ? 2? ? 1, ? 3 , AF ? 2 ? ? , ? 3? , CE ? ? 2? ? 2, 0 ? , CF ? 1 ? ? , 3 ? 3?

??? ?

?

?

??? ?

?

?

??? ?

??? ?

?

3 ?? 2? ? 1?? 2 ? ? ? ? 3? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 5 ? ? 2 ???? ? 所以 ? 2 ?? 6 ?? 2? ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2 3 ? ? 3 ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AB AD cos120? = - 2 . 另解:因为 ? BAD 120 ,所以 AB ?AD
因为 BE ? ? BC ,所以 AE = AB + l AD , AF = mAB + AD .

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

???? 3 AD) = 1 ,即 2l + 2m- l m = ① 2 5 2 5 同理可得 ?? ? ? ? ? ? ? ②, ①+②得 ? ? ? ? l + m = . 3 6 6 2 2 2 12、已知 ? ABC 的三个内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 b ? c ? a ,且
因为 AE ? AF

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? 1 ,所以 ( AB + l AD)?(mAB

cos 2 A ? 3sin A ? 1 ? 0 ,则 sin ? C ? A? ?
A、 ? ?

3 cos ? 2 A ? B ? 的取值范围为( A ) 2
C、 ? 0,

? 1 3? , ? ? ? 2 4 ? ? ?

B、 ? ?

? 1 3? , ? ? ? 2 4 ? ?

? ?

3? ? 4 ?

D、 ? ?

? 2 1? ,? ? ? 3 2?

二、填空题: ( 每小题 5 分,共 20 分. ) 13、设向量 a ? ? 2, ? ? , b ? ? ? ? 1,1? ,若 a / / b ,则 ? ? _____ ?1或2 14、如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的 正南方向。海上停 泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75 方向,与 A 相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60 方向,与 B 相距 5 海里 的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里。
0 0

?

?

?

?

-6-

解: 连接 AC,∵

AB=BC,∠ABC=60°,∴AC=5;

在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45°,由余弦定理得 CD= 13。 15、 数列 ?an ? 满足:a1= 且对 任意的 m、n ? N 都有:an+m=an+am+nm , 则 a100 ? ___ 1,
*

解:令 m ? 1 则 an?1 ? an ? 1 ? n ? an?1 ? an ? n ? 1 ?

a100 ? ? a100 ? a99 ? ? ? a99 ? a98 ? ??? ? a3 ? a2 ? ? ? a2 ? a1 ? ? a1 ? 100 ? 99 ? ?? 2 ?1 ? 5050
16 、 已 知 D、E、F 分 别 是 ?ABC 的 三 边 BC、CA、AB 上 的 点 , 且 满 足

??? ? 3 ???? ??? ? 2 ??? ? AE ? AC , AF ? AB , 4 3

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ? ? BD sin B AD cos B ? AB AC ? ? ? ???? ? ? ? ? R ? , AD ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? R ? , DF ? ? ? ??? | AD | ? ? | AB | cos B | AC | cos C ? ? | BD | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? | EF | ? ? ____ DE ? DA ? DE ? DC 。则 ??? | BC |
解 :

??? ? ??? ? ???? ??? ? ?? ???? ??? ? ? AB?BC AC ?BC ? ? ? ? AD?BC ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? | AB | cos B | AC | cos C ? ? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ? AB BC cos B AC BC cos C ? ??0 ??? ? ? ???? | AB | cos B | AC | cos C ? ?

???? ??? ? ? AD ? BC

即 AD ? BC

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AB?BD sin B AB ?AD cos B ? ??? ? ???? ? AB?DF ? ? ? ? ? | BD | | AD | ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? AB BD cos B sin B AB AD cos ?BAD cos B ? ? ??? ? ???? ? ?? ? ? ? | BD | | AD | ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? AB BD cos B sin B AB AD sin B cos B ? ??? ? ???? ??0 ??? ? ???? ? ?? ? ? AB ? DF 即 AB ? DF ? ? | BD | | AD | ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? DE ? DA ? DC ? 0 ? DE ? CA ? 0 ? DE ? CA ? DE ? DA ? DE ? DC 即

?

?

? DE ? CA
连 接 EF

? DE ? CA, DF ? AB
所以 ?B ? ?ADF

? A、E、D、F 四点共圆 ??AEF ? ?ADF
从而 ?B ? ?AEF 故 ? AEF ?? ABC

又 AD ? BC

?

EF AE AF ? ? BC AB AC

??? ? 3 ???? ??? ? 2 ??? ? ? AE ? AC , AF ? AB 4 3

-7-

2 3 AB AC 2 2 3 4 ? ? ? AC ? AB AB AC 3
3 2 2 ? AB EF 4 2 3 ? ? ? BC AB 2
三、解答题: (6 小题,共 75 分. ) 17、 (10 分) 已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 120? 。 (1)求 | a ? 2b | 的值; (2)求 a ? 2b 在 a 方向上的投影. 解:(1) | a ? 2b | = a +4a ? b+4b = 22 +4 ? 2 ? 3 ? cos120? +4 ? 32 =2 7 .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?2

? ?

?2

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? (a ? 2b) ? a a ? 2b ? a 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos120? ? ? (2) a ? 2b 在 a 上的投影为 ? ? ? ?1 . 2 |a| |a|
18、(10 分)已知向量 OA ? ? ?1,3? , OB ? ? cos ? , ? sin ? ? ,且 ?AOB ?

??? ?

??? ?

?
2



(1)求

sin ?? ? 2? ? ? cos 2 ? ; sin 2? ? cos 2? ? 1
3 ,求 sin ? 的值。 5

(2)若 ? 是钝角, ? ? ? 是锐角,且 sin ?? ? ? ? ? 解:(1) ? ?AOB ?

?
2

??? ? ??? ? ? OA? OB ? 0

1 ?? cos ? ? 3sin ? ? 0 ? tan ? ? ? , 3

sin ?? ? 2? ? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 1 ? ? ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2sin ? cos ? ? 2cos ? 2 tan ? ? 2 4
(2)∵ ? 是钝角, tan ? ? ?

1 3 10 10 ,sin ? ? , ? cos ? ? ? , 3 10 10 3 4 , ? cos ?? ? ? ? ? 。 5 5

∵ ? ? ? 为锐角, sin ?? ? ? ? ?

?sin ? ? sin ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? sin ?? ? ? ? ?

13 10 。 50

19 、(12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? a4 ? 12, S7 ? 49 。

-8-

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)是否存 在非零常数 c 使数列 ? 理由。 解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

? Sn ? ? 为等差数列?若存在,请求出 c ;若不存在,请说明 ?n ? c ?

?2a1 ? 5d ? 12 ?a ? 1 ? 依题意 得, ? ?? 1 ? an ? 2n ? 1. 7?6 7a1 ? d ? 49 ?d ? 2 ? ? 2
(2)由(1)知, Sn ?

………………6 分

n? ?1 ? ? 2n ? 1?? ? 2

? n2 ,

假设存在非零常数 c 使数列 ? 则

? Sn ? ? 为等差数列, ?n ? c ?

1 4 9 , , 成等差数列. 1? c 2 ? c 3 ? c

?

1 9 4 ? ? 2? 1? c 3 ? c 2?c
矛盾

解得 c ? 0

故不存在非零常数 c 使数列 ?

? Sn ? ? 为等差数列。………………12 分 ?n ? c ?

20 、( 12 分 ) 已 知 a、b、c 分 别 为 ? ABC 三 个 内 角 A、B、C 的 对 边 ,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c 。
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ? ABC 的面积为 3 ,证明: ? ABC 是正三角形。 解: (1)依题意及正弦定理得:

sin A cos C ? 3 sin Asin C ? sin B ? sin C

? sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C
? 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C
? sin C ? 0

? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ?
??300 ? A ? 300 ? 1500

1 2

? 00 ? A ? 1800

? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
-9-

(2) S ?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2
2

2 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc

? 4 ? ? b ? c ? ? 12 ? b ? c ? 4 ? b ? c ? 2
2

? A ? 60?

? B ? C ? 600

故 ?ABC 是正三角形。

? ? ? ? 21、 (12 分)已知向量 u ? (sin x,cos x) , 设函数 f ( x) ? u ? v 。 v ? (6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x) ,
(1)求函数 f ( x ) 的最大值及此时 x 的取值集合; (2)在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 BA?AC ? 0 , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 的面积为 3 , b ? 3 2 ,求 ?ABC 的外接圆半径 R 的大小。
2 2 解: (1) f ( x) ? u ? v ? sin x(6sin x ? cos x) ? cos x(7sin x ? 2cos x) ? 6sin x ? 2cos x ? 8sin x cos x

??? ? ??? ?

? ?

? 4sin 2 x ? 4cos 2 x ? 2 ? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 ……………………4 分 4 ? ? 3? ? k? ( k ? Z ) , 令 2 x ? ? ? 2k? ( k ? Z ) 得 x ? 4 2 8 3? ? k? , k ? Z } ……………………6 分 ? f ( x ) max ? 4 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 {x | x ? 8
(2 )由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ?

?

?
4

)?2 ?6

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 因为? BA?AC ? 0 ? BA AC cos ?? ? A ? ? 0 ? cos A ? 0 ? 0 ? A ? , 2 ? ? 3?
所以 ?

? 2 。 ? sin(2 A ? ) ? 4 2

4

? 2A ?

4

?

4



从而 2 A ?

?
4

?

?
4

,? A ?

?
4

…………………………………8 分

1 1 2 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 3 2c ? ?3 2 2 2

? c ? 2 ……… …………10 分

由余弦定理得? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 18 ? 4 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 由正弦定理得 2 R ?

2 ? 10 ? a ? 10 2

a 10 ? ?2 5?R? 5 sin A 2 2

所以 ?ABC 的外接圆半径 R ? 5 …………………12 分
2 * 22、(14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, S n ? nan ? 2n ? 2n n ? N 。

?

?

- 10 -

(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; (2)是否存在自然数 n ,使得 S1 ? 若不存在,请说明理由。 ( 3 ) 设 Cn ?

S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 2n ? 1124 ?若存在,求出 n 的值; 2 3 n

2 (n ? N ? ) , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .... ? cn (n ? N ? ) , 若 不 等 式 n( a n ? 7)

Tn ?

m ?m ? Z ? 32
?

对 n ? N 恒成立,求 m 的最大值。
2 * 解 (1)由 S n ? nan ? 2n ? 2n n ? N ,

?

?

得 S n ?1 ? ? n ? 1? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?
2

相减得 an ? nan ? ? n ?1? an?1 ? 4n ? 4

? ? n ?1? an ? ? n ?1? an?1 ? 4 ? n ?1? ? an ? an?1 ? 4 ? n ? 2?
故数 列 ?an ? 是以 1 为首项,以 4 为公差的等差数 列。
* 所以 an ? 1 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 3 n ? N

?

?

Sn ?

n ? a1 ? an ? ? 2n2 ? n ? n ? N * ? ………4 分 2
Sn ? 2n ? 1? n ? N * ? , n


(2)由(1)知 所

S1 ?
2

n ?1 ? ? 2n ? 1?? S S2 S3 ? ? 2n ? n 2 ? 2n ? ? ? ? n ? 2n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? 2 3 n 2
n

由 n ? 2 ? 1124 得 n ? 10 ,即存在满足条件的自然数 n ? 10 ………………9 分 (3) cn ?

2 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(an ? 7) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1
1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? (1 ? )? ? 2? 2 2 3 n n ?1 ? 2 n ? 1 2( n ? 1)

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .... ? cn ?

- 11 -

?Tn?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ?? n ? 1?
即 Tn 单调递增 故 ?Tn ? min ? T1 ?

?Tn ? Tn?1
要使 Tn ?

1 4

m m 1 ? 成立,即 m ? 8 ? m ? Z ? 。 恒成立,只需 32 4 32

故符合条件的 m 的最大值为 7 。 …………………………14 分

- 12 -



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