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江阴市三校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题



2015~2016 学年度秋学期江阴三校期中联考试卷 高一数学
(满分 160 分,考试时间 120 分钟)









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答题(第

15 题~第 20 题,共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,只要将答题卡 交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上,并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑,如需改动, 请用橡皮擦干净后,再正确涂写。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其 它位置作答一律无效。

一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 .. . 相应位置上 . .....

, 2, 3? ,则 A ? B = 1.已知集合 A ? ?01 ?, B ? ?1,



. ▲ .

2.计算:tan45° +cos60° ÷ lne= ▲ . 3.已知角 ? 的终边经过点 P(4, ?3) ,则 sin ? ? cos ? ?

1 4.函数 f ( x) ? 的定义域为 ▲ . ln( x ? 1) 5.半径为 3 cm ,圆心角为 120? 的扇形面积为 ▲
x

cm2 .
▲ .

6.函数 y ? 2 ? log2 ( x ? 1) 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为

1

7.已知 a ? log0.3 4, b ? log4 3, c ? 0.3?2 ,则 a, b, c 的大小关系是



. (用<连接)

? 8.设函数 f ( x) ? ? x ,

?

x ? 8 ,则 f (4) ? ? ?2 f ( x ? 2), x ? 8

1 3





1 9.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+x ,则 f(-1)=



. ▲ .

10. 已知函数 f ( x) ? (3a ? 1) x , 当 m ? n 时, f (m) ? f (n) , 则实数 a 的取值范围是

11.函数 y ? log a (3 x ? 5) ? 4 ? a ? 0且a ? 1? 的图象恒过定点 A ,且点 A 在幂函数 f ( x ) 的 图象上,则 f (3) ?
2





12.若方程 7 x ? ? m ? 13? x ? m ? 2 ? 0 的一个根在区间 ? 0,1? 上,另一个根在区间 ?1,2 ? 上, 则实数 m 的取值范围是 ▲ .
2 13 .已知 t 为常数,函数 y ? x ? 4 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 3,则 t=





14 .已知定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) 为单调函数,且 f ? f ? x ? ? ▲ .

? ?

4? ? ? 4 ,则 f ?1? ? x?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题 卡 指定区域 内作答,解答时 .. . .... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x |1 ? x ? 7 } , B ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 3} , C ? {x | x ? a} ,全集为实数 集R . (1)求 A ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,且 B ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围. ▲▲▲

16.(本小题满分 14 分) 计算: (1) (2

1 1 3 ?2 ) 2 ? (?9.6)0 ? (3 ) 3 ? (1.5) ?2 ; 4 8
2

(2) lg

5 ? lg 2lg 50 ? 2

1 1? log 2 5 2 .

▲▲▲

2

17. (本小题满分 14 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值; 1 (2)解方程 f(x)= . 4 ▲▲▲ -2x+b 是奇函数. + 2x 1+a

18.(本小题满分 16 分) 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只 选择一种进行投资生产,已知投资 . 生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
项 目 类 别

年固定成本 20 40

每件产品成本 m 8

每件产品销售价 10 18

每年最多可生产的件数 200 120

A 产品 B 产品

其中年固定成本与年生产的件数无关, m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决 定,预计 m ? [6,8] ,另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美元的特别关税,假 . 设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的 函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. ▲▲▲

3

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? log a

1? x 4 ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 P(? , 2) . 1? x 5

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? 递减; (3)解不等式: f (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 . ▲▲▲

1? x ,用函数单调性的定义证明:函数 y ? g ( x) 在区间 (?1,1) 上单调 1? x

20.(本小题满分 16 分)

?1 ? 1 ,0 ? x ? 1, ? ?x f ( x ) ? 已知函数 ? ?1 ? 1 , x ? 1. ? ? x
1) 和[1 , (1)判断函数 f ( x ) 在区间 (0 , ? ?) 上的单调性(不必证明) ;
(2)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,求

1 1 ? 的值; a b

b( 1? a ? (3) 若 存 在 实 数 a,

b ), 使 得 x ?[a, b] 时 , f ( x) 的 取 值 范 围 是

m 的取值范围. [m a ,m ] b( ? m 0 ) ,求实数
▲▲▲

4

2015~2016 学年度秋学期江阴三校期中联考试卷 高一数学参考答案及评分标准 2015.11
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果 后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.

一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 .. . 相应位置上 . .....
1. {1}; 5. 3? ; 9. -2; 13. 1 或 3; 2.

3 ; 2

6. 4;

1 ; 5 7. a ? b ? c ;
3. 11. 9;

4. (?1, 0) ? (0, ??) ; 8. 12. 8 ;

?1 2? 10. ? , ? ; ?3 3?
14. 6.

? -4,-2? ;

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题 卡 指定区域 内作答,解答时 .. . .... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 log 2 ( x ? 2) ? 3 ,得 0 ? x ? 2 ? 8 , ………………………2 分 ………………………4 分 ………………………7 分 ………………………9 分 ………………………11 分 ………………………14 分

? 2 ? x ? 10 ,即 B ? {x | 2 ? x ? 10} . ∴ A ? B ? {x | 1 ? x ? 10} . (2)? A ? C ? ? , ∴ a ? 1 . 又∵ B ? C ? ? , ∴a ? 2, ∴ 1 ? a ? 2 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, 2? .
16.(本小题满分 14 分) 解:(1)原式= ( 9 ) 2 ? 1 ? ( 27) 3 ? ( 3 ) ?2
1 ? 2

………………………3 分

4

8

=

3 3 3 ? 1 ? ( ) ?2 ? ( ) ?2 2 2 2

2 1 = 2

………………………7 分
5

(2)原式= (lg5) 2 ? lg 2(lg5 ? 1) ? 21 ? 2lg2

………………………10 分 ………………………14 分

= lg 5(lg5 ? lg 2) ? lg 2 ? 2 5 ? 1 ? 2 5 17. (本小题满分 14 分)
5

解 (1)因为 f(x)是奇函数,且定义域为 R,所以 f(0)=0, -1+b 即 =0,解得 b=1. 2+a -2x+1 从而有 f(x)= x+1 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a ∴a=2,b=1(经检验适合题意). -2x+1 1 1 1 x (2)由(1)知 f(x)= x+1 = ,则 2 ? 解得 x ? log 2 4 2 +2 3 3 18.(本小题满分 16 分) 解:(1) y1 ? 10x ? (20 ? mx) ? (10 ? m) x ? 20 定义域为{x| 0 ? x ? 200 且 x ? N }

………………………2 分 ………………………4 分

………………………8 分 ………………………9 分 ………………………14 分

………………………2 分 ………………………3 分 ………………………5 分 ………………………6 分

y2 ? 18x ? (8x ? 40) ? 0.05x 2 ? ?0.05x 2 ? 10x ? 40
定义域为{x|0<x≤120 且 x ? N } (2)∵ 6 ? m ? 8 ∴ 10 ? m ? 0 ∴ y1 ? (10 ? m) x ? 20 为增函数 又 0 ? x ? 200, x ? N

………………………7 分

200-20=1980-200m(万美元) ∴x=200 时,生产 A 产品有最大利润(10-m)× ………………………9 分

y2 ? ?0.05x 2 ? 10x ? 40 ? ?0.05( x ? 100) 2 ? 460 ………………………11 分
,x?N ∵ 0 ? x ? 120
∴ x ? 100 时,生产 B 产品有最大利润 460(万美元)………………………12 分

( y1 ) max ? ( y2 ) max ? 1980? 200m ? 460 ? 1520? 200m ……………………13 分
?? 0,6 ? m ? 7.6 ? = ?? 0, m ? 7.6 ?? 0,7.6 ? m ? 8 ?
∴当 6 ? m ? 7.6 时,投资 A 产品 200 件可获得最大利润; 当 m=7.6 时,生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润 当 7.6 ? m ? 8 时,投资 B 产品 100 件可获得最大利润……………………16 分 19.(本小题满分 16 分)

4 1 ? (? ) 4 5 ? 2 ,解得: a 2 ? 9 解:(1) f (? ) ? log a 4 5 1 ? (? ) 5
6

∵a ? 0 且a ? 1 ∴a ?3; (2)设 x1 、 x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 ,

………………………3 分

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

∵ x1 、 x2 ? (?1,1) ,且 x1 ? x2 , ∴ x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , ? g ( x1 ) ? g ( x2 )
? g ( x) ?
(3)方法(一) : 由

………………………6 分

1? x 在区间 (?1,1) 上单调递减. 1? x

………………………8分

1? x ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 ,即函数 y ? f ( x) 的定义域为 (?1,1) ; 1? x
………………………10 分

(先研究函数 f ( x ) ? log 3

1? x 在 (?1,1) 上的单调性) 1? x

设 x1 、 x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 , 由(2)得: g ( x1 ) ? g ( x2 )

? log3 g ( x1 ) ? log3 g ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减.
(再利用函数 f ( x ) ? log 3 ………………………12分

1? x 的单调性解不等式) 1? x

? f (0) ? 0 且 y ? f ( x) 在 (?1,1) 上为单调减函数.

? t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ?? , 2 ??1 ? t ? 2t ? 2 ? 1 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 即? 2 , ?t ? 2t ? 2 ? 0
? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .

………………………14 分

7

即不等式 f (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 的解集为 t ?1 ? t ? 1 ? 3 或1+ 3 ? t ? 3 …………16 分 方法(二) : ? log3

?

?

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ?0 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)
………………………10 分

?0 ?

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ?1 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 1 得: t 2 ? 2t ? 2 ? 0 或 t 2 ? 2t ? 2 ? ?1 ; 由 2 1 ? (t ? 2t ? 2)


1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 得: ?1 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 , 2 1 ? (t ? 2t ? 2)
………………………14 分

? 0 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1

? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .
即不等式 f (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 的解集为 t ?1 ? t ? 1 ? 3 或1+ 3 ? t ? 3 …………16 分

?

?

20.(本小题满分 16 分)

? ?) 上为增函数. 解:(1) f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上为减函数,在[1 ,
(2)由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 可得 0 ? a ? 1 ? b ,

………………2 分

1 1 ? 1 , f (b) ? 1 ? , a b 1 1 1 1 所以 ? 1 ? 1 ? ,即 ? ? 2 . a b a b
则 f (a) ? (3)因为 1 ? a ? b , ma ? mb ,所以 m ? 0 ,

………………………6 分

(?)

? ?) 上为增函数, 因为 1 ? a ? b ,且 f ( x ) 在[1 ,
所以 ?

? f (a) ? ma, ? f (b) ? mb,
2 ? ?ma ? a ? 1 ? 0, 所以 ? 2 ? ?mb ? b ? 1 ? 0,

………………………8 分

? 1 1 ? ? ma, ? ? a 即? ?1 ? 1 ? mb, ? ? b

………………………9 分

所以 a , b 是方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 的两根,

………………………11 分

8

且关于 x 的方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 有两个大于 1 的不相等的实根. 当 m ? 0 时, f ? 0? ? 1 ? 0 ,则方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 有一正根一负根, 故不符合题意舍去;

??=1-4m ? 0, ? 1 ? 1 ? 1, 当 m ? 0 时, ? 解得 0 ? m ? 4 ? 2m ? ? f ?1? ? m ? 0, 1 综上, 0 ? m ? . 4

………………………14 分

………………………16 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)

9

2015~2016 学年度秋学期江阴三校期中联考试卷 高一数学考题教材分布表
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 考查内容 集合的运算 三角、对数运算 任意角的三角函数 函数的定义域 弧度制 函数的最值 指对数比大小 分段函数求值 函数的奇偶性 指数函数的单调性 对数函数、幂函数 函数与方程 含绝对值函数的值域 函数的单调性 集合 指、对数运算 函数的奇偶性 函数应用题 函数综合题 函数综合题 难度 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 容易题 中等题 中等题 难题 难题 容易题 容易题 容易题 中等题 中等题 难题 来源 必修 1 第 12 页例 1 改编 必修 1 第 74 页练习 5 改编 必修 4 第 14 页例 1 改编 必修 1 第 83 页例 1 改编 必修 4 第 9 页例 3 改编 必修 1 第 81 页改编 必修 1 第 110 页第 7 题改编 必修 1 第 35 页第 7 题改编 必修 1 第 45 页第 11 题改编 必修 1 第 67 页练习 3 改编 必修 1 第 89 页练习 3 改编 必修 1 第 97 页第 8 题原题 必修 1 第 52 页第 2 题改编 必修 1 第 45 页第 13 题改编 必修 1 第 12 页例 3 改编 必修 1 第 63 页第 5 题改编 必修 1 第 80 页第 6 题改编 必修 1 第 113 页第 15 题改编 必修 1 第 98 页例 1 改编 必修 1 第 111 页第 15 题改编 必修 1 第 44 页第 3 题、第 7 题改编

10



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