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数学2013高考模拟题3



数学 2013 高考预测题
第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分)共 120 分钟 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上)

1.计算复数 A.0

4 ? 2i 等于 1 ? 2i
B.2 C.2 i D. ? 2i

2.等差数列 ?an ? 中, a5 ? a9 ? a7 ? 10 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S13 = A.130 3.已知 f ? x? ? a
x ?2

B.260

C.156

D.160

, g ? x? ? loga x ? a ? 0, a ? 1? ,若 f ? 4? ? g ? ?4? ? 0 ,则 y= f ? x ? ,

y= g ? x ? 在同一坐标系内的大致图象是

4 . 已 知 函 数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图象如下图:将函数 2?

y ? f ? x ? ? x ? R? 的图象向左平移
导函数) ,下面结论正确的是

? 个单位,得函数 y ? g ? x ? 的图象( g? ? x ? 为 g ? x ? 的 4

A.函数 g ? x ? 是奇函数 B.函数 g? ? x ? 在区间 ? ?

? ? ? , 0 ? 上是减函数 ? 3 ?

C. g ? x ? ? g ? ? x ? 的最小值为 ?3 D.函数 g ? x ? 的图象关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?6 ?

5.已知三条不重合的直线 m、n、l ,两个不重合的平面 ?、? ,有下列命题: ①若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? ; ②若 l ?

? , m ? ? ,且 l ∥ m ,则 ? ∥ ?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ? ? , ? ? ? = m , n ? ? , n ? m ,则 n ? 其中正确命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

?

6.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产 每吨,乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 1 万元,每吨乙产 品可获得利润 3 万元,该企业在某个生产周期内甲产品至少生产 1 吨,乙产品至少生产 2 吨,消耗 A 原料不超过 1 3 吨,消耗 B 原料不超过 1 8 吨,那么该企业在这个生产周期内获 得最大利润时甲产品的产量应是 A.1 吨 B.2 吨 C.3 吨 D.

11 吨 3

7、执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是

A. 2 或 2 2

B. 2 2 或 ? 2 2

C. ? 2 或 ? 2 2

D. 2 或 ? 2 2

8、如图,给定两个平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 120? ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB

??? ??? ? ?

上,且 OC ? xOA ? yOB (其中 x, y ? R ) ,则满足 x ? y ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 的概率为

A. 2 ? 1

B.

3 4

C.

?
4

D.

?
3

9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标

? 准煤) 的几组对应数据, 根据表中提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y =0. 7x+0. 35,
那么表中 m 的值为 x y A.4 10、已知双曲线 0)到直线 A. [ 3 2.5 B.3.15 4 m 5 4 C.4.5 6 4.5 D.3

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,离心率为 e,若点(-1,0)与点(1, a2 b2

x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S,且 S ? c ,则离心率 e 的取值范围是 a b 5
B. [ 2 , 7 ] C. [ 5 , 7 ] 2 D. [ 2 , 5 ]

5 , 5] 2

11、已知函数 f ? x ? ? ? 根,则实数 a 的范围是 A. ? ??,0?

?log 2 x ? x ? 0 ? ? ,且关于 x 的方程 f ? x? ? x ? a ? 0 有且只有一个实 x ?3 ? x ≤ 0 ? ?

B. ? 0,1?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, ?? ?

12 、 在 整 数 集 Z 中 , 被 4 除 所 得 余 数 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” , 记 为 [ k ] , 即

[k ] ? {4 ? k | n? Z } k ? 0,1, 2,3 . 给 出 如 下 四 个 结 论 : ①2012 ?[1] ; ②?2 ?[2] ; n , Z ③ ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ;④ “整数 a , b 属于同一‘类’”的充要条件是“ a ? b ? [0] ”.其中正确
的个数为 A.1 B.2 C.3 第Ⅱ 非选择题 (共 90 分) 卷 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) D.4

13. (1 ? x)(1 ? x) 5 展开式中 4 的系数是 x

(用数字作答) .

14.为了保障生命安全,国家有关部门发布的《车辆驾驶人员血液呼气酒精含量值与检验》 中规定:车辆驾驶人员血液酒精含量 (单位:mg/l00m1) 大于或者等于 20, 且小于 80 的为 “饮 酒驾车” ,大于或者等于 80 的为“醉酒驾车” .某城市 3 月份的交通执法部门对 200 名车辆 驾驶人员的血液酒精含量(单位:mg/l00ml )进行测试,并根据测试的数据作了如下统计: 组号 1 2 3 4 5 分组 频数 162 18 10 6 频率 0.81 0.09

?0,20?

?20,40? ?40,60? ?60,80? ?80,100?

y
0.03 0.02

x

估计该城市 3 月份“饮酒驾车”发生的概率 15、已知三边长分别为 4、5、6 的△ ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点, 若点 P 到△ ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P—ABC 的体积为 16 、 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 S n , 若

a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,设 bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为
三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)



在某社区举办的《环保知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道环保知识 的问题,已知甲回答这道题对的概率是 都回答对的概率是

3 1 ,甲、丙两人都回答错的概率是 ,乙、丙两人 4 12

1 . 4

(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率; (Ⅱ)用 ? 表示回答该题对的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 各棱长都为 a , P 为线段 A1 B 上的动点. (Ⅰ)试确定 A1 P : PB 的值,使得 PC ? AB ;

(Ⅱ)若 A1 P : PB ? 2 : 3 ,求二面角 P ? AC ? B 的大小;

19. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 角 A 、 B 、 C

b 的 对 边 分 别 为 a、 、 ,c设 向 量

?? ? ?? ? ?? ? m ? (a,cos B), n ? (b,cos A)且m// n, ? n. m
(Ⅰ)若 sin A ? sin B =
6 ,求 A; 2

(Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆半径为 1,且 abx ? a ? b, 试确定 x 的取值范围. 20、 (本题满分 12 分) 设 C1 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y 2 = 2 p x( p 0 ), C2 是 以 直 线 2 x >

3y = 0与

2x + 3 y = 0 为渐近线,以 (0,

7 为一个焦点的双曲线.

)

(1)求双曲线 C2 的标准方程; (2)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点 A 和 B ,求 p 的取值范围,并求 FA? FB 的 最大值; (3)若 ?FAB 的面积 S 满足 S ?

2 FA ? FB ,求 p 的值. 3

21、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, g ( x) ? xe
1? x

.(a ? R, e为自然对数的底数)

(I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (II)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; ( III ) 若 对 任 意 给 定 的 x0 ? ? 0, e? , 在? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) , 使 得

1 2

f ( xi ) ? g ( x 成立 求 a , 的取值范围。 0 )
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与圆 O1、圆 O2 交于 C,D 两点。 求证: )PA· (Ⅰ PD=PE· PC; (Ⅱ )AD=AE。

23、选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin 2 ? ? 2cos? ,过点 A(5,α) 为锐角且 tan ? ? (α 作平行于 ? ?

?
4

3 ) 4

( ? ? R ) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(Ⅰ )以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角 坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ )求|BC|的长。 24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2x ? 1| ? | x ?1|? log 2 a (其中 a ? 0 ) 。 (Ⅰ )当 a=4 时,求不等式的解集; (Ⅱ )若不等式有解,求实数 a 的取值范围。 2011-2012 学年度河北省衡水中学第二学期高三第一次模拟

参考答案

一、选择题 CABDBA DBDADC

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.-5; 14.0.17; 15、10 16、 n ? 2n ?1

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17. (Ⅰ)记“甲回答对这道题”“ 乙回答对这道题”“丙回答对这道题”分别为事件 A 、 、 、

1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? P ? A? ? ? ?1 ? P ? C ? ? ? 12 ? P A ? P C ? 12 3 ? ? B 、 C ,则 P ? A? ? ,且有 ? ,即 ? 1 4 ? P ? B ? ? P ?C ? ? ?P ? B ? ? P ?C ? ? 1 ? ? 4 ? 4 ?

? ? ? ?

3 2 , P ? C ? ? .????6′ 8 3 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) P A ? 1 ? P ? A? ? , P B ? 1 ? P ? B ? ? . 4 3
∴ P ? B? ?

? ? ?

? ?

? 的可能取值为: 0 、 1 、 2 、 3 .
则 P ?? ? 0 ? ? P A ? B ? C ?

?

1 1 5 5 ? ? ? ; 4 3 8 96

3 5 1 1 3 2 3 5 2 7 ; P ?? ? 1? ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 3 4 8 3 4 8 3 24 15 ; P ?? ? 2 ? ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? 32 3 P ?? ? 3? ? P ? A ? B ? C ? ? .????9′ 16

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

∴ ? 的分布列为

?

0

1
7 24

2

3

15 3 16 32 5 7 15 3 43 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .????12′ 96 24 32 16 24

P

5 96

18. 【法一】 (Ⅰ)当 PC ? AB 时,作 P 在 AB 上的射影 D .连结 CD . 则 AB ? 平面 PCD ,∴ AB ? CD ,∴ D 是 AB 的中点, PD // AA1 ,∴ P 也是 A B 的中点, 又 1 即 A1 P : PB ? 1 . 反之当 A1 P : PB ? 1 时,取 AB 的中点 D ? ,连接 CD? 、 PD? . ∵ ?ABC 为正三角形,∴ CD? ? AB . 由于 P 为 A1 B 的中点时, PD? // A1 A

∵ A1 A ? 平面 ABC ,∴ PD? ? 平面 ABC ,∴ PC ? AB .??6′

(Ⅱ)当 A1 P : PB ? 2 : 3 时,作 P 在 AB 上的射影 D .则 PD ? 底面 ABC . 作 D 在 AC 上的射影 E ,连结 PE ,则 PE ? AC . ∴ ?DEP 为二面角 P ? AC ? B 的平面角. 又∵ PD // AA1 ,∴

BD BP 3 2 ? ? ,∴ AD ? a . DA PA1 2 5
3 PD 3 3 a ,又∵ ? ,∴ PD ? a . 5 AA1 5 5

∴ DE ? AD ? sin60? ?

∴ tan?PED ?

PD ? 3 ,∴ P ? AC ? B 的大小为 ?PED ? 60? .?12 DE

【法二】以 A 为原点, AB 为 x 轴,过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴,

AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示,

设 P ? x,0, z ? ,则 B ? a,0,0 ? 、 A1 ? 0,0, a ? 、 C ? ,

?a ?2 ?

3a ? ,0 ? . ? 2 ?

??? ??? ? ? ? a 3a ? (Ⅰ)由 CP ? AB ? 0 得 ? x ? , ? , z ? ? ? a,0,0 ? ? 0 ,

? ?

2

2

? ?

a? 1 ? 即 ? x ? ? ? a ? 0 ,∴ x ? a ,即 P 为 A1 B 的中点, 2? 2 ?
也即 A1 P : PB ? 1 时, PC ? AB .????4′

?? ? 2a 3a ? ,0, ? . 取 m ? 3, ? 3, ?2 . (Ⅱ)当 A1 P : PB ? 2 : 3 时, P 点的坐标是 ? 5 ? ? 5

?

?

?? ??? ? ?? ???? ? 2a 3a ? 则 m ? AP ? 3, ? 3, ?2 ? ? ,0, ? ? 0 , m ? AC ? 3, ? 3, ?2 5 ? ? 5

?

?

?

??? a , ?2
?

?

3a ? ,0 ? ? 0 . ? 2 ?

?? ∴ m 是平面 PAC 的一个法向量.
又平面 ABC 的一个法向量为 n ? ? 0,0,1? .

?

?? ? ?? ? m?n 1 ? ∴ cos ? m, n? ? ?? ? ? ,∴二面角 P ? AC ? B 的大小是 60 .??8′ 2 m?n
19.解:因为 m ? (a,cos B), n ? (b,cos A)且m// n , 所以 a cos A ? b cos B ,-------------------------------------------1 分 由正弦定理,得 sin A cos A ? sin B cos B , 即 sin 2 A ? sin 2 B -------------------------------------------------2 分 又 m ? n, 所以 2 A ? 2B ? ? , 即

??

?

?? ?

??

?

A? B ?

?
2

.--------------------------------3 分

(1) sin A ? sin B = sin A ? sin(

?

? A) ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ------4 分 2 4

?

?0 ? A ?
得 A?

?
2

,?

?
4

? A?

?
4

?

3? , 4

?? 6 ?? 3 ? ? 2 sin ? x ? ? ? ? sin ? A ? ? ? 4? 2 4? 2 , ? ?
6分

?
12



5? 12

(2)若 abx ? a ? b, 则 x ? 由正弦定理,得 x ?

a?b , ab
8分
2

sin A ? sin B 2sin A sin B

设 sin A ? cos A = t ? 1, 2 ,则 t ? 1 ? 2sin A cos A ,

?

?

t 2 ?1 所以 sin A cos A ? -------------------------------------------10 分 2
即x?
t 1 ? ? 2 ,所以实数 x 的取值范围为 t ? 1 t ? 1/ t
2

?

2, ?? .---------12 分

?

2 ?a y 2 x2 ?b ? 3 20、解: (1)设双曲线 C2 的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 则据题得: ? a b ?c ? 7 ?
又 a ?b ? c ??
2 2 2

?a ? 2 y 2 x2 ? ? 双曲线 C2 的标准方程为: ? ? 1 4 3 ?b ? 3 ?

(2)将 y 2 = 2 px ( p > 0) 代入到

y 2 x2 ? ? 1 中并整理得: 2x2 ? 3 px ? 6 ? 0 4 3

? ? ? ( ?3 p ) 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 0 ? 3p ? ?0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )其中x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 则 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? x1 x2 ? 3 ?

?p?

4 3 3

又 F(

p , 0) 2

??? ??? ? ? p p p p2 ? FA?FB ? x1 - (x2 - ) 1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( ) +y ? 2 p x1 x2 2 2 2 4

??

1 2 1 p ? 2 3 p ? 3 ? ? ( p ? 2 3) 2 ? 9 ? 9 2 2
??? ??? ? ?

? 当且仅当 p ? 2 3 时 FA ×FB 的最大值为 9
(3)直线 AB 的方程为:

y ? y1 x ? x1 即 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 ? y2 ? y1 x2 ? x1

p ? F ( , 0) 到直线 AB 的距离为: d ? 2

p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | 2 2 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2

p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | 1 1 2 ? S ? | AB | d ? | AB | 2 2 2 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2
1 1 p 1 | AB | d ? | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | ? (2 3 ? p) 3 p 2 ? 4 3 p 2 2 2 4 ? ? 1 2 ??? ??? 2 1 2 2 又 S = FA FB ? (? p ? 2 3 p ? 3) ? (2 3 ? p) 3 p ? 4 3 p ? p ? 2 3 3 2 4 3 2 21、解: (I)当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, 则f ?( x) ? 1 ? , …………1 分 x ?S ?
由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为? 0,2?, 单调增区间为?2, ???. (II)因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能, 故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立, …………3 分

1 2

1 2

1 2

1 2 ln x 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令 l ( x) ? 2 ? x ?1 2
即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

…………4 分

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x ? , 则 l ( x) ? ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m ?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ?

…………5 分

1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2 1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. …………6 分 (III) g ?( x) ? e
1? x

1 2

? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,

当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以,函数 g ( x)在? 0, e? 上的值域为? 0,1?. …………7 分

当a ? 2时, 不合题意;
2 (2 ? a ) x ? 2 ? ? x x (2 ? a )( x ? x 2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e

当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? 当x ?

?

2 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调,
故0 ?

2 2 ? e,即a ? 2 ? 2?a e



…………9 分

此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0,

2 ) 2?a


2 2?a
0

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+

f ?( x)

f ( x) ↘ 最小值 ↗ 又因为,当x ? 0时, f ( x) ? ??, 2 2 f( ) ? a ? 2ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2),

使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :
2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
令h(a ) ? a ? 2 ln
② ③

2 2 , a ? ( ??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 故当a ? (??, 0)时, h ?( a) ? 0, 函数h( a)单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?(a ) ? 0, 函数h( a)单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h( a) ? h(0) ? 0, e 2 即② 对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e 3 . 由③ 式解得: a ? 2 ? ④ e ?1
综合①可知,当 a ? ? ??, 2 ? ④

…………10 分

? ?

3 ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。…………12 分

PA O 22、解: )? PE、PB 分别是⊙ 2 的割线∴ ? PE ? PD ? PB (Ⅰ

① 分) (2 (4 分)

PA ? PC ? PB O 又? PA、PB 分别是⊙ 1 的切线和割线∴
2



由① 得 PA ? PD ? PE ? PC ,② (Ⅱ )连结 AC 、 ED ,设 DE 与 AB 相交于点 F

(5 分)

BC ∵ 是⊙ 1 的直径 O ? ∴ CAB ? 90? AC O ∴ 是⊙ 2 的切线. 分) (6
由(Ⅰ )知

PA PC ? AC ED AB DE ,∴ ∥ ∴ ⊥ , ?CAD ? ?ADE (8 分) PE PD

AC O 又∵ 是⊙ 2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED

? 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ AED ? ?ADE AD ? AE ∴
23、 )由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? (Ⅰ 曲线 L 的普通方程为: y 2 ? 2 x 直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ )设 B( x1 , y1 )C( x2 , y2 ) (10 分) (1 分) (3 分) (5 分)

? y 2 ? 2x 2 联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0 ? ?y ? x ?1
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 由弦长公式得 BC ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 2 6
2

(7 分) (10 分)

24、 )当 a ? 4 时, f ( x) ? 2 , (Ⅰ

1 1 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? 2 2 1 1 2 ? ? x ? 1 时, 3 x ? 2 ,得 ? ? x ? 2 2 3
x ? 1 时, x ? 0 ,此时 x 不存在

(1 分) (2 分) (3 分)

∴ 不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

? ?

2? ? 3?

(5 分)

(Ⅱ )略



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