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高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材习题点拨北师大选修2-2讲解



高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师 大版选修 2-2
练习(P85) 1.解:(1)定积分

? 0 e dx 中,被积函数为 y=e .
x x x

1

被积函数的一个原函数为 y=e , 由牛顿—莱布尼茨公式可得

? 0 e dx=e | =e -e =e-1.
x x 1 0

1

1

0

(2)定积分

??

?

cosxdx 中,被积函数为 y=cosx.

2

被积函数的一个原函数为 y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得

??

?

cosxdx=sinx

2

|? =sinπ -sin 2 =-1.
2

?

?

(3)定积分

? 0 x dx 中,被积函数为 y=x .
3 3

1

被积函数的一个原函数为 y=

1 4 x, 4

由牛顿—莱布尼茨公式可得

?0

1

x dx=

3

1 41 1 4 1 4 1 x | = ×1 - ×0 = . 0 4 4 4 4
2

2.解:(1)导函数为 y′=(x )′=2x,

2

? 0 2xdx=x | =1 -0 =1;
2 2

1

1

0

(2)导函数为 y′=(x +5)′=2x,

2

? 0 2xdx=(x +5)| =(1 +5)-(0 +5)=1;
2 2 2

1

1

0

(3)导函数为 y′=(x -π )′=2x,

2

? 0 2xdx=(x -π )| =(1 -π )-(0 -π )=1;
2 2 2

1

1

0

(4)导函数为 y′=(x -a)′=2x,

2

?0

1

2xdx=(x -a) =(1 -a)-(0 -a)=1.
0

2

|

1

2

2

3.解:(1)定积分

? 0 (x -1)dx 中,被积函数为 y=x -1.
3 3

1

被积函数的一个原函数为 y=

1 4 x -x, 4
1

由牛顿—莱布尼茨公式可得

? 0 (x -1)dx=( 4 x -x)| =( 4 ×1 -1)-( 4 ×0 -0)=
3 4 4 4

1

1

1

1

1

0

?

3 . 4

(2)定积分

?2

4 1 1 dx 中,被积函数为 y= . x x

被积函数的一个原函数为 y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得
?

?2

4 4 1 dx=ln|x| | =ln4-ln2=ln2. 2 x

(3)定积分

?

4 0

1 1 dx 中,被积函数为 y= . 2 cos x cos 2 x
?
0

被积函数的一个原函数为 y=tanx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得 习题 42(P85) 1.解:

?

4 0

? 1 ? 4 =tan dx=tanx -tan0=1. | 2 0 4 cos x

?0 e
1

1

1 x 2

1 x 1 1 1 0 1 1 dx= e 2 | = e 2 - e = e 2 - . 0 2 2 2 2 2

1

1

1

2.解:

? 0 f(x)dx= x ? 1 | = 1 ? 1 ? 0 ? 1 =- 2 .
0

1

1

1

1

1

3.解:

? ? f(x)dx=sinxcosx =sinπ cosπ -sin0cos0=0. | ?0 0

4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx. (2)

?

?

2 0

cosxdx=sinx

|

? 2 0

=sin

? -sin0=1. 2
2

5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是 F(x)=x+x ,所以 f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为

? 0 f(x)dx= ? 0 (1+2x)dx=(x+x ) | =(1+1 )-(0+0 )=2.
2 2 2

1

1

1

0

(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是 F(x)=-3cosx+sinx,所以 f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1] 上 的 定 积 分 为

? 0 f(x)dx= ? 0 (3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)| =(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)
0

1

1

1

=-3cos1+sin1+3. 2 6.解:(1)函数 y=2x-7 的一个原函数为 F(x)=x -7x, 所以

? 0 (2x-7)dx=(x -7x)| =(1 -7×1)-(0 -7×0)=-6.
2 2 2

1

1

0

2

(2)函数 y=

3 3 2 + 的一个原函数为 F(x)= ? +2ln|x|, 2 x x x

所以

?1

2

(

2 3 3 3 3 3 2 ? + )dx=( +2ln|x|) =(- +2ln2)-( ? +2ln1)= +2ln2. | 2 1 x 2 1 2 x x

(3)





y=3

x















F(x)=

1 ln 3

3,

x



以,

? 1 3 dx=( ln 3 3 )|
x x

3

1

3 1

=(

1 3 1 1 24 3 )-( 3 )= . ln 3 ln 3 ln 3

(4)函数 y=sinx 的一个原函数为 F(x)=-cosx, 所以,

? ? ? sinxdx=-cosx| ? =(-cosπ )-[-cos(-π )]=0.
?

?

?

(5)函数 y=lnx 的一个原函数为 F(x)=x(lnx-1), 所以,

?1

e

lnxdx=x(lnx-1) =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1.
1

|

e

(6)函数 y=

1 x ?1
2

的一个原函数为 ln(x+ x ? 1 ),
2

所以,

?0

1

1 x2 ?1
2

dx=ln(x+ x ? 1 ) =ln(1+ 2 )-ln(0+1)=ln(1+ 2 ).
2

|

1

0

(7)函数 y=x -2x+3 的一个原函数为 F(x)=

1 3 2 x -x +3x, 3 1
3 2

所以,

? 0 (x -2x+3)dx=( 3 x -x +3x)| =( 3 ×1 -1 +3×1)-( 3 ×0 -0 +3×0)=2 3 .
2 3 2 3 2

1

1

1

1

1

0

(8)函数 y=(x-1) =x -2x+1 的一个原函数为 F(x)=

2

2

1 3 2 x -x +x, 3
3 2

所以,

? 1 (x-1) dx=( 3 x -x +x)| =( 3 ×3 -3 +3)-( 3 ×1 -1 +1)=2 3 .
2 3 2 3 1 3 2 x 2

3

1

1

1

2

(9)函数 y=2 +x 的一个原函数为 F(x)=

1 x 1 3 2 ? x , ln 2 3 1 1 1 1 -1 1 3 2 3 3 ? . 2 + ×1 )-( 2 + ×(-1) )= ln 2 3 ln 2 3 2 ln x 3

所以

? ? 1 (x +2 )dx=( ln 2 2 + 3 x )|
2 x x 3

1

1

1

1 ?1

=(

(10)函数 y= 所

1 1 2 2 x +x x 的一个原函数为 F(x)= ln|x|+ x , 2x 2 5

3

以,

? 1 ( 2 x +x

2

1

x )dx=(

2 1 2 2 1 2 2 2 )-( 1 ln1+ 2 ×12 1 )= ln|x|+ x x ) | =( ln2+ ×2 1 2 5 2 5 2 5

1 8 2 2- . ln2+ 2 5 5
4 t2 7.解:设汽车在 5~10 s 这段时间走过的路程为 s,则 s= ? (2t+t+2)dt=[ t 2 + +2t] 3 5 2

10

3

|

10 5

=

40 20 10 3 3

5+

95 (m). 2 40 20 95 10 5+ m. 3 3 2

答:汽车在 5~10 s 这段时间走过的路程为

8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为 W,则 W= 答:这一过程中弹簧弹力所做的功为 0.07 焦耳. B组 1.解:

? 0.8 (-0.5x)dx=0.07(焦耳).

0 .6

??
2 ?

?

f(x)dx=

2

?

?

2 0

f(x)dx+

??
?

0

f(x)dx=

2

?

?

2 0

-sinxdx+

??
?

0

xdx

2

=cosx

|

? 2 0

+

1 20 ? 1 ? 2 ?2 2 1 x |? =cos -cos0+ ×0 - ×(- ) =-1. 2 2 2 2 2 2 8

? ? ? ? ? ? , ]拆分成[0, ]和[- ,0],函数 f(x)在区间[- , ]的积分等 2 2 2 2 2 2 ? ? 于函数在区间[0, ]和[- ,0]的积分之和. 2 2
思路分析:将区间[2.解:(1)定积分

? 0 x dx 中,被积函数为 y=x .
2 2

1

被积函数的一个原函数为 y=

1 3 x, 3

由牛顿—莱布尼茨公式可得 用图像表示为:

? 0 x dx= 3 x | = 3 ×1 - 3 ×0 = 3 .
2 3 3 3

1

1

1

1

1

1

0

(2)定积分

? 1 (x-1) dx 中,被积函数为 y=(x-1) =x -2x+1.
2 2 2

2

4

被积函数的一个原函数为 y=

1 3 2 x -x +x, 3

由牛顿—莱布尼茨公式可得

? 1 (x -2x+1)dx=( 3 x -x +x) | =( 3 ×2 -2 +2)-( 3 ×1 -1 +1)=
2 3 2 3 2 3 2

2

1

2

1

1

1

1 . 3
用图像表示为:

(3)定积分

? ? 1 (x+1) dx 中,被积函数为 y=(x+1) =x +2x+1.
2 2 2

0

被积函数的一个原函数为 y=

1 3 2 x +x +x, 3

由牛顿—莱布尼茨公式可得

? ?1

0

(x +2x+1)dx=(

2

1 3 2 x +x +x) 3

|

0 ?1

=(

1 3 2 ×0 -0 +0)3



1 1 3 2 ×(-1) +(-1) -1]= . 3 3

通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面 积相等,故积分值相等. 练习(P88) 1. 解 : 曲 线 y=

1 , 直 线 x=1,x=2 以 及 x 轴 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为 x

?1

2 2 1 dx=ln|x| | =ln2-ln1=ln2. 1 x
x x

2.解:曲线 y=e 与 y 轴的交点为(0,1),曲线 y=e ,直线 x=1 以及 x 轴、 y 轴围成的平面图形的 面积为

?0

1

e dx=e

x

x

| =e -e =e-1.
1 0

1

0

练习(P90) 1. 解 : 直 线 x=y, 直 线 x=1,x=2 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 得 到 的 圆 台 体 积 为

? 1 π x dx= 3 π x | = 3 π ×2 - 3 π ×1 = 3 π .
2 3 3 3

2

1

2

1

1

7

1

2.解:曲线 y= x ? 1 x+1,x 轴,y 轴和直线 x=1 围成的区域绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体
5

积为:

? 0 π (x+1)dx=( 2 π x +π x)| | =( 2 π ×1 +π ×1)-( 2 π ×0 +π ×0)=
2 2 2

1

1

1 1

1

1

0 0

3? . 2

习题 43(P90)

?y ? x2 , ?x ? 2, ?x ? ?1, 1.解: ? 解方程组得 ? . 或? ? y ? x ? 2, ?y ? 4 ?y ? 1
所求平面图形的面积为

? ?1

2

(x+2-x )dx=(

2

21 x2 x3 2 +2x) | =8. 6 2 3 ?1

2.解:如图所示:

所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是 x 轴上方的面积,一部分是 x 轴下方的面积. x 轴上方的面积 S1=

??
2 ?

?

cosxdx=sinx

|

2

? 2 ? ? 2

=sin

? ? -sin(- )=2, 2 2

x 轴下方的面积 S1=S2=2, 所求的阴影部分的面积为 S=S1+S2=2+2=4. 3.解:所求的面积为 S= 4.解:所求的面积为 S=

?

?

2 0

sinxdx=-cosx

|

? 2 0

=-cos

? -(-cos0)=1. 2

? 1 (x+ x )dx=( 2 x +ln|x|)| =( 2 ×2 +ln2)-(
2 2

2

1

1

2

1

1

1 3 2 ×1 +ln1)= +ln2. 2 2

5.解:所求旋转体的体积为 V=

? 1 π ( x ) dx=-π · x | =(-π × 2 )-(-π × 1 )= 2 .
2

2

1

1

2

1

1

?

1

6.解:所求旋转体的体积为 V=

?0

1

π ( x ) dx=π ·
2

1 21 1 1 ? 2 2 x | =(π × ×1 )-(π × ×0 )= . 0 2 2 2 2

7.解:由题意知 ?

2 ? ? x ? 0, ? x ? 1, ?y ? x , 解此方程组得 ? 或? . y ? 0 y ? 1 ? y ? x ? ? ?

所求平面图形的面积为:

6

?0 ?0
)= STS

1

1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 x dx- ? x2dx= x x | - x3 | = ×1×1- ×0× 0 -( ×13- ×03)= . 0 3 0 3 3 3 3 3 3 0

该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:

1

π(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 x )2dx- ? π (x2)2dx= π x2 | - π x5 | = π ×12- π ×02-( π ×15- π ×05 0 0 2 5 2 2 5 5 0

3 π. 10

浅淡微积分(二) 微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数 是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极 限.17 世纪后半叶,英国数学家 I.牛顿和德国数学家 G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间 前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基 础.19 世纪,柯西和 K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之 19 世纪后半叶 实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻 完善. 微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念 .牛顿从 苹果下落时越落越快的现象受到启发 ,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学 工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、 极小值问题 中的应用. 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分 .主要内容包括积分的性质、计算, 以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.

7



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