9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第三节 平面向量的数量积



第三节

平面向量的数量积

一、平面向量的数量积 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则向量 a 与 b 的数量积 是数量|a||b|cos θ,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 2.向量的投影:设 θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方

向上的投影是|a|cos θ;向量 b 在 a 方向上的投影是|b|cos θ. 3.数量积的几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的 乘积. 二、平面向量数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a; 2.数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); 3.分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. 结论 模 数量积 夹角 a⊥b 的充 要条件 |a· b|与|a||b| 的关系 几何表示 |a|= a· a a· b=|a||b|cos θ a· b cos θ= |a||b| a· b=0 |a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 坐标表示
2 |a|= x2 1+y1

a· b=x1x2+y1y2 cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y1 · x2 2+y2

x1x2+y1y2=0
2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ x2 1+y1 · x2+y2

1.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a 等于( A.(26,-78) B.(-28,-42) C.-52 D.-78

) )

2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 3.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a A.0 B.|a· b|=|a|· |b| C.4 C.λ(a· b)=λa· b ) D.|a· b|≤|a|· |b| )

4.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( B.2 2 D.8

→ → 5.(2013· 湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方 向上的投影为( 3 2 A. 2 ) 3 15 B. 2 3 2 C.- 2 3 15 D.- 2

6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b,若 b· c
1

=0,则 t=________.

考向一 [077] 平面向量数量积的运算 → → (1)(2012· 浙江高考)在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, BC=10, 则AB· AC= ________. → → (2)(2012· 北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的 → → 值为________;DE· DC的最大值为________.

规律方法 1 坐标来计算.

1.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用

→ → 2.要有“基底”意识, 关键用基向量表示题目中所求相关向量, 如本例?1?中用AM 、 MB → → 表示AB 、AC 等.注意向量夹角的大小,以及夹角 θ=0° ,90° ,180° 三种特殊情形. π 对点训练 (1)(2013· 江西高考)设 e1,e2 为单位向量, 且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+ 3 3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的投影为________. → → → → → → (2)(2014· 济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设BC=2BD, CA=3CE, 则AD· BE= ________. 考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直 (1)(2013· 安徽高考)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余 弦值为________. → → → → → → (2)(2013· 山东高考)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+ → → → AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 规律方法 2 1.当 a,b 以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知条件求出|a|、 |b|与 a· b 的关系. 2.?1?非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a· b=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0.?2?本例?2? → → → 中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成AC -AB ,导致求解受阻. 对点训练 ________. (2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. 考向三 [079] 平面向量的模及其应用 (1)(2014· 威海模拟)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a
2

(1)已知 a,b 都是非零向量,且 |a|= |b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为

⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 B. 10

) C.2 5 D.10

→ → (2)(2014· 郑州模拟)已知OP=(cos θ,sin θ),OQ=(1+sin θ,1+cos θ),其中 0≤θ≤π, → → 求|PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 θ 的值.

规律方法 3 1.x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同,前者是 a=?x1,y1,z1?,b=?x2,y2, z2?共线的充要条件,而后者是它们垂直的充要条件. 2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑: ?1?利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量, 再利用余弦定理等方法求解; ?2?利用公式|a|= a· a 及?a± b?2=|a|2± 2a· b+|b|2 把长度问题转化为数量积的运算问题解 决. 对点训练 (1)(2012· 安徽高考)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m). 若(a+c)⊥b, 则|a|=________. π π (2)已知向量 a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),- <θ< . 2 2 ①若 a⊥b,则 θ=________. ②若|a+b|的最大值为 2+1,则 θ=________.

易错易误之九 忽略向量共线条件致误 (2014· 广州模拟)已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围为________. 【防范措施】 锐角或 0° . 2.依据两向量的夹角 θ 求向量坐标中的参数时,要注意 θ=0° 或 180° 的情形.其中 cos 0° =1>0,cos 180° =-1<0.) 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是________. 1.a,b 的夹角为锐角并不等价于 a· b>0,a· b>0 等价于 a 与 b 夹角为

第三节

平面向量的数量积

1. A 2. C 3. B 4. B 5. A 6. 2 5 1 (1)-16 (2)1 1 对点训练 1 (1) (2)- 2 4
3

1 7 (1)- (2) 3 12 (1) B

对点训练 2

(1)30° (2)1

→ → → (2)∵PQ=OQ-OP=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ), ∴|P Q |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=4-4sin θcos θ=4-2sin 2θ. → → ∵0≤θ≤π,∴-1≤sin 2θ≤1,∴|PQ|2∈[2,6],∴|PQ|∈[ 2, 6]. 3π → 当 sin 2θ=-1,即 θ= 时,|PQ|取得最大值. 4 π π 对点训练 3 (1) 2 (2)- 4 4
? ? ? 5 ?λ λ>- 且λ≠0 ?. 3 ? ? ? ? ? ? 3 练习. ?λ?λ< 且λ≠-6 2 ? ? ? ? ? ? ? ?



第三节

平面向量的数量积

一、平面向量的数量积 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则向量 a 与 b 的数量积 是数量|a||b|cos θ,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 2.向量的投影:设 θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ;向量 b
4

在 a 方向上的投影是|b|cos θ. 3.数量积的几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的 乘积. 二、平面向量数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a; 2.数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); 3.分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. 结论 模 数量积 夹角 a⊥b 的充 要条件 |a· b|与|a||b| 的关系 几何表示 |a|= a· a a· b=|a||b|cos θ a· b cos θ= |a||b| a· b=0 |a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 坐标表示
2 |a|= x2 1+y1

a· b=x1x2+y1y2 cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y1 · x2 2+y2

x1x2+y1y2=0
2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ x2 1+y1 · x2+y2

1.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a 等于( A.(26,-78) 【解析】 B.(-28,-42) C.-52 D.-78

)

∵b· c=4×2+6×3=26,∴(b· c)a=(26,-78). 【答案】 A )

2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

【解析】 向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ a· b 1 π = = ,∴θ= .【答案】 C |a|· |b| 2 3 3.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a 【解析】 A.0 【解析】 B.|a· b|=|a|· |b| C.λ(a· b)=λa· b |a· b|=|a||b||cos θ|,故 B 错误. 【答案】 B ) B.2 2 C.4 D.8 ) D.|a· b|≤|a|· |b|

4.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=(

∵|a|=1,|b|=2,a· b=0∴|2a-b|= 4a2-4a· b+b2= 4+4=2 2.【答案】 B

→ → 5.(2013· 湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方 向上的投影为( 3 2 A. 2 【解析】 ) 3 15 B. 2 3 2 C.- 2 3 15 D.- 2

→ → AB· CD 15 3 2 → → → → 由已知得AB=(2,1), CD=(5,5), 因此AB在CD方向上的投影为 = = . 2 → 5 2 |CD|
5

【答案】 A 6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b,若 b· c =0,则 t=________. 【解析】 |a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° . 1 t t ∵c=ta+(1-t)b,∴b· c=ta· b+(1-t)b2=t×1×1× +(1-t)×1= +1-t=1- . 2 2 2 t ∵b· c=0,∴1- =0,∴t=2.【答案】 2 2

考向一 [077] 平面向量数量积的运算 → → (1)(2012· 浙江高考)在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, BC=10, 则AB· AC= ________. → → (2)(2012· 北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的 → → 值为________;DE· DC的最大值为________. 【尝试解答】 → → → → → → → → (1)如图所示,AB=AM+MB,AC=AM+MC=AM-MB,

→ → → → → → → → → → ∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB)=AM2-MB2=|AM|2-|MB|2=9-25=-16.

(2)法一 如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系, 由于正方形边长为 1,故 B(1,0),C(1,1),D(0,1). → → 又 E 在 AB 边上,故设 E(t,0)(0≤t≤1).则DE=(t,-1),CB=(0,-1). → → → → → 故DE· CB=1.又DC=(1,0),∴DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t. → → 又 0≤t≤1,∴DE· DC的最大值为 1. → → 法二 ∵ABCD 是正方形,∴DA=CB. → → → → → → → → → → → ∴DE· CB=DE· DA=|DE||DA|cos∠EDA=|DA||DE|cos∠EDA=|DA|· |DA|=|DA|2=1. → → → → 又 E 点在线段 AB 上运动, 故为点 E 与点 B 重合时, DE在DC上的投影最大, 此时DC· DE 2 → → → → =|DC||DE|cos 45° = 2× =1.所以DE· DC的最大值为 1.【答案】 2 规律方法 1 坐标来计算. → → 2.要有“基底”意识, 关键用基向量表示题目中所求相关向量, 如本例?1?中用AM 、 MB → → 表示AB 、AC 等.注意向量夹角的大小,以及夹角 θ=0° ,90° ,180° 三种特殊情形. π 对点训练 (1)(2013· 江西高考)设 e1,e2 为单位向量, 且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+ 3
6

(1)-16 (2)1 1

1.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用

3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的投影为________. → → → → → → (2)(2014· 济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设BC=2BD, CA=3CE, 则AD· BE= ________. 【解析】 (1)由于 a=e1+3e2,b=2e1,所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2 1+6e1· 1 a· b 5 =2+6× =5,所以 a 在 b 方向上的投影为|a a,b = = . 2 |b| 2 → → → → (2)∵BC=2BD,CA=3CE, ∴点 D 是线段 BC 的中点,点 E 是线段 CA 的三等分点, → → 以向量AB,AC作为基向量, → 1 → → → 2→ → ∴AD= (AB+AC),BE= AC-AB, 2 3 → → 1 → → 2 → → 1 → 2 1→2 1→ → ∴AD· BE= (AB+AC)· ( AC-AB)= AC - AB - AB· AC, 2 3 3 2 6 π → → → → 又|AB|=|AC|=1,且〈AB,AC〉= . 3 【答案】 5 1 (1) (2)- 2 4 考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直 (1)(2013· 安徽高考)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余 弦值为________. → → → → → → (2)(2013· 山东高考)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+ → → → AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 【尝试解答】 (1)由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a· b,所以
2 a· b -|b| 1 a· b=-|b|2.又|a|=3|b|,所以 cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 3|b|2 3

π 1 → → 1 1 1→ → ∴AD· BE= - - |AB||AC|cos =- . 3 2 6 3 4

→ → → → → → → → → → (2)∵AP⊥BC,∴AP· BC=0.又AP=λAB+AC,BC=AC-AB, → → → → → → → → ∴(λAB+AC)(AC-AB)=0,即(λ-1)AC· AB-λAB2+AC2=0, 1 7 → → - ?-9λ+4=0.解得 λ= . ∴(λ-1)|AC||AB|cos 120° -9λ+4=0.∴(λ-1)×3×2×? 2 ? ? 12 【答案】 1 (1)- 3 7 (2) 12

规律方法 2 1.当 a,b 以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知条件求出|a|、 |b|与 a· b 的关系. 2.?1?非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a· b=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0.?2?本例?2? → → → 中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成AC -AB ,导致求解受阻. 对点训练 ________. (2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. 【解析】 1 (1)由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a· b+b2,所以 a· b= a2.而|a+ 2
7

(1)已知 a,b 都是非零向量,且 |a|= |b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为

1 b|2=|a|2+2a· b+|b|2=2|a|2+2× |a|2=3|a|2,所以|a+b|= 3|a|. 2 1 a2+ a2 2 a· ?a+b? 3 设 a 与 a+b 的夹角为 θ, 则 cos θ= = 由于 0° ≤θ≤180° , 所以 θ=30° . 2 = 2 , |a||a+b| 3|a| (2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即 ka2+ka· b-a· b-b2=0.∴k-1+ka· b-a· b=0. 即 k-1+kcos θ-cos θ=0.(θ 为 a 与 b 的夹角) ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又 a 与 b 不共线,∴cos θ≠-1,∴k=1. 【答案】 (1)30° (2)1 考向三 [079] 平面向量的模及其应用 (1)(2014· 威海模拟)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a ⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 B. 10 ) C.2 5 D.10

→ → (2)(2014· 郑州模拟)已知OP=(cos θ,sin θ),OQ=(1+sin θ,1+cos θ),其中 0≤θ≤π, → → 求|PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 θ 的值. 【尝试解答】 (1)∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2.由 b∥c 得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2).∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 【答案】 B → → → (2)∵PQ=OQ-OP=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ), ∴|P Q |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=4-4sin θcos θ=4-2sin 2θ. → → ∵0≤θ≤π,∴-1≤sin 2θ≤1,∴|PQ|2∈[2,6],∴|PQ|∈[ 2, 6]. 3π → 当 sin 2θ=-1,即 θ= 时,|PQ|取得最大值. 4 规律方法 3 1.x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同,前者是 a=?x1,y1,z1?,b=?x2,y2, z2?共线的充要条件,而后者是它们垂直的充要条件. 2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑: ?1?利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量, 再利用余弦定理等方法求解; ?2?利用公式|a|= a· a 及?a± b?2=|a|2± 2a· b+|b|2 把长度问题转化为数量积的运算问题解 决. 对点训练 (1)(2012· 安徽高考)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m). 若(a+c)⊥b, 则|a|=________. π π (2)已知向量 a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),- <θ< . 2 2 ①若 a⊥b,则 θ=________. ②若|a+b|的最大值为 2+1,则 θ=________. 【解析】 (1)a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).



8

1 ∵(a+c)⊥b,∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0,∴m=- .∴a=(1,-1),∴|a| 2 = 2. π π π (2)①由 a⊥b 得 sin θ+cos θ=0,∴tan θ=-1.∵- <θ< ,∴θ=- . 2 2 4 π? 2 ? π? ②|a+b|=a2+2a· b+b2=sin2θ+1+2 2sin? ?θ+4?+cos θ+1=3+2 2sin?θ+4?. π π π π 3π ∵- <θ< ,∴- <θ+ < . 2 2 4 4 4 π π π ∴当 θ+ = ,即 θ= 时.|a+b|2 最大为 3+2 2,而 3+2 2= 2+1.∴|a+b|取最大 4 2 4 π 值 2+1 时,θ= . 4 π π 【答案】 (1) 2 (2)- 4 4

易错易误之九 忽略向量共线条件致误 (2014· 广州模拟)已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围为________. ∵a 与 a+λb 均为非零向量,且夹角为锐角,∴a· (a+λb)>0, 5 即(1,2)· (1+λ,2+λ)>0,∴(1+λ)+2(2+λ)>0,∴λ>- , 3 【解析】 当 a 与 a+λb 共线时,存在实数 m,使 a+λb=ma, 此处在求解时, 常因忽略“a 与 a+λb 共线”的情形致误, 出现错误的原因是误认为 a· b >0 与〈a,b〉为锐角等价.即(1+λ,2+λ)=m(1,2),
?1+λ=m ? ∴? ,∴λ=0,即当 λ=0 时,a 与 a+λb 共线. ?2+λ=2m ? ? ? 5 ? 综上可知,λ 的取值范围为?λ? ?λ>-3且λ≠0 . ? ?

【防范措施】 锐角或 0° .

1.a,b 的夹角为锐角并不等价于 a· b>0,a· b>0 等价于 a 与 b 夹角为

2.依据两向量的夹角 θ 求向量坐标中的参数时,要注意 θ=0° 或 180° 的情形.其中 cos 0° =1>0,cos 180° =-1<0.) 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是________. 3 【解析】 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< . 2 3 又当 a∥b 时,λ=-6,故所求 λ 的范围为 λ< 且 λ≠-6. 2
? ? ? 3 【答案】 ?λ?λ< 且λ≠-6 2 ? ?

?

? ? ? ? ?

9

10



更多相关文章:
第三节 平面向量的数量积
第三节 平面向量的数量积_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第三节 平面向量的数量积 特别注意: a, b, c, d 等请全部排成黑斜体 abcd 等,这是数学书籍手...
第三节 平面向量的数量积
第三节 平面向量的数量积 一、平面向量的数量积 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则向量 a 与 b 的数量积 是数量|a||b|cos...
【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型 文
【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 平面向量的数量积及平面...
第三节(数量积)
第三节(数量积)_数学_高中教育_教育专区。第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 [知识能否忆起] 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 ...
冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题二 三角函数与平面向量第三节 平面向量与代数的综合应用
专题二 三角函数与平面向量第三节 平面向量与代数的综合应用_数学_高中教育_...(a ? b)2 ?| a |2 | b |2 点拨:仿照平面向量的线性运算规则及数量积...
2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第4章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第4章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用_数学_高中教育_教育专区。第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 考点一...
4.3平面向量的数量积及平面向量的应用
第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 [备考方向要明了] 考什么 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意 义.了解平面向量的数量积与向量投影的关 系. 2....
平面向量的数量积及应用举例
石楼中学高三数学导学案 编号: 高三理数应届 017 班级: 姓名: 编写时间:2013 课题:第三节平面向量的数量积及应用举例主备人: 苏三平 赵军 审核: 备课组长:姬...
3平面向量的数量积与平面向量应用举例学案+作业(教师版)
3平面向量的数量积与平面向量应用举例学案+作业(教师版)_数学_高中教育_教育专区。第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 [归纳·知识整合] 一、两个向量的...
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 [备考方向要明了] 考什么 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意 义.了解平面向量的数量积与向量投影的关 系. 2....
更多相关标签:
平面向量的数量积    平面向量的数量积ppt    平面向量的数量积教案    平面向量数量积    平面向量数量积教案    平面向量的数量积公式    平面向量数量积ppt    平面向量数量积说课稿    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图