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“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评


中学数学杂志  2014 年第 5 期   

                         

ZHONGXUESHUXUEZAZHI 

“ 导数的概念 ( 起始课 ) ” 的教学设计 、 反思与点评
湖北省黄石市第一中学    435000    杨瑞强  彭福来 1  教学预设 1.1  教学标准 (1) 通过情境的介绍, 让学生知道导数的实际 (2) 通过大量的实例的分析, 让学生知道平均 及其导数概念的基础. 在这个过程中, 注意特殊到一 般、数形结合等数学思想方法的渗透. 变化率、平均变化率. 学情诊断 吹气球是很多人具有的生活经验, 运动速度是 教学重点   在实际背景下直观地解释函数的

背景,体验学习导数的必要性;

变化率的意义,体会平均变化率的思想及内涵,为后 续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背 景; (3) 通过实例的分析, 让学生感受平均变化率

1. 2 2 

学生非常熟悉的物理知识, 这两个实例的共同点是 背景简单. 从简单的背景出发, 既可以利用学生原有 的知识经验,又可以减少因为背景的复杂而可能引 起的对数学知识学习的干扰, 这是有利的方面. 但是 如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是 本节课教学的关键. 而对本节课( 导数的概念 ) , 学生 因此若能让学生主动参与到导数的起始课学习过 程,让学生体会到自己在学 “ 有价值的数学 ” , 必能 激发学生学习数学的兴趣,树立学好数学的自信心. 教学难点   如何从两个具体的实例归纳总结 是在充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的,

广泛存在于日常生活之中, 经历运用数学描述刻画 现实世界的过程,体会数学知识来源于生活,又服务 于生活,感悟数学的价值; (4) 通 过 问 题 探 索、 观 察 分 析、 归 纳 总 结 等 方

式,引导学生从变量和函数的角度来描述变化率,进 而抽象概括出函数的平均变化率, 会求函数的平均 1.2  标准解析 1. 2 1  变化率.

内容解析

变化率、导数的概念、导数的几何意义. 实际上, 它们 是理解导数思想及其内涵的不同角度. 首先, 从平均 变化率开始,利用平均变化率探求瞬时变化率, 并从 数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述, 即 导数;然后,从数转向形,借助函数图象, 探求切线斜 率和导数的关系,说明导数的几何意义. 根据教材的 安排,本节内容分 4 课时完成. 第一课时介绍平均变 化率问题,在“ 气球膨胀率 ” 、“ 高台跳水 ” 两个问题 的基础上, 归纳出它们的共同特征, 用 f( x) 表示其 中的函数关系,定义了一般的平均变化率, 并给出符 号表示. 本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、 高 台跳水问题,总结归纳出一般函数的平均变化率概 念,在此基础上,要求学生掌握函数平均变化率解法 的一般步骤. 平均变化率是个核心概念, 它在整个高 中数学中占有极其重要的地位, 是研究瞬时变化率

本节是导数的起始课,主要包括三方面的内容:

出函数平均变化率的概念, 对生活现象作出数学解 1. 2 3 教学对策 释.

何自然引入导数的概念是至关重要的. 为了有效实 现教学目标,准备投影仪、多媒体课件等. ① 在信息技术环境下, 可以使两个实例的背景

本节作为导数的起始课,同时也是个概念课, 如

更形象、更逼真, 从而激发学生的学习兴趣, 通过演 示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结 合思想. ② 通过应用举例的教学, 不断地提供给学生比

较、分析、归纳、综合的机会,体现了从特殊到一般的 思维过程,既关注了学生的认知基础, 又促使学生在 原有认知基础上获取知识,提高思维能力, 保持高水 1. 2 4  平的思维活动,符合学生的认知规律. 教学流程

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  ZHONGXUESHUXUEZAZHI                    2  教学简录 2. 1 

 

       

中学数学杂志  2014 年第 5 期

象,在数学中引入了函数, 随着对函数的研究, 产生 了微积分,微积分的创立与自然科学中四类问题的 处理直接相关:( 课件演示相关问题情境) 物体在任意时刻的速度与加速度等; (2) 求曲线的切线; (1) 已知物体运动的路程作为时间的函数, 求

为了描述现实世界中运动、 过程等变化着的现

创设情境,引入课题

大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 时,气球的平均膨胀率是多少? 生: r( V2 ) - r( V1 ) V2 - V1 .

师:非常好! 可以看出, 随着气球体积逐渐增 归纳到一般情形, 当空气容量从 V1 增加到 V2

师生活动:教师播放多媒体,学生可以直接回答 问题,教师板书其正确答案. 型,从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景. 自然合理地提出问题, 让学生体会 “ 数学来源于生 活” ,创造和谐积极的学习氛围, 让学生能通过感知 表象后,学会进一步探讨问题的本质, 学会使用数学 语言和数学的观点分析问题, 避免浅尝辄止和过分 依赖老师. 问题 2  高台跳水( 观看多媒体视频) 评析   通过熟悉的生活体验, 提炼出数学模

(3) 求已知函数的最大值与最小值; (4) 求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一, 它是研究函数

增减、变化快慢、最大 ( 小) 值等问题最一般、 最有效 的工具. 导数研究的问题即变化率问题: 研究某个变 量相对于另一个变量变化的快慢程度. 评析   充分利用章引言中提示的微积分史料,

引导学生探寻微积分发展的线索, 体会微积分的创 立与人类科技发展之间的紧密联系, 初步了解本章 2. 2  的学习内容,从而激发他们学习本章内容的兴趣. 问题 1  提出问题,探求新知 气球膨胀率( 课件演示“ 吹气球” )

h( 单位:m) 与起跳后的时间 t( 单位:s) 存在函数关 系 h( t) = - 4. 9t 2 + 6. 5t + 10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? t ≤ 2 的平均速度 v. 师: 请同学们分组,思考计算:0 ≤ t ≤ 0. 5 和 1 ≤ = 生:( 第一组 ) 在 0 ≤ t ≤ 0. 5 这段时间里,v 生 : ( 第 二 组 ) 在 1 ≤ t ≤ 2 这 段 时 间 里 ,v = 师生活动:教师播放多媒体,学生通过计算回答 评析   高台跳水展示了生活中最常见的一种

在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢? 间的函数关系是 V( r) =


我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程, 可以

气球的体积 V( 单位:L) 与半径 r( 单位:dm) 之 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r( V) = 4 3 πr ; 3

h(0. 5) - h(0) = 4. 05( m / s) ; 0.5 - 0 h(2) - h(1) = - 8. 2( m / s) 2 -1

3V . 4π

少? 如何表示?

师:当 V 从 0 增加到 1 时, 气球半径增加了多 生:r(1) - r(0) ≈ 0. 62( dm) . 生:

问题. 对第( 2) 小题的答案说明其物理意义.

变化率 — — — 运动速度,而运动速度是学生非常熟悉 的物理知识,这样可以减少因为背景的复杂而可能 引起的对数学知识学习的干扰. 通过计算为归纳函 数平均变化率概念提供又一重要背景. 师:( 探究) 计算运动员在 0 ≤ t ≤ 65 这段时间 49

师:气球的平均膨胀率为多少? 如何刻画? 师:当 V 从 1 增加到 2 时, 气球半径增加了多 生:r(2) - r(1) ≈ 0. 16( dm) . 生:
22

r(1) - r(0) ≈ 0. 62( dm / L) . 1 -0

少? 如何表示?

里的平均速度,并思考以下问题:

师:气球的平均膨胀率为多少? 如何刻画? r(2) - r(1) ≈ 0. 16( dm / L) . 2 -1

(1) 运动员在这段时间内是静止的吗?

有什么问题吗?

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态 师生活动:教师播放多媒体,学生通过计算回答

中学数学杂志  2014 年第 5 期   

                         

ZHONGXUESHUXUEZAZHI 

问题. 对答案加以说明其物理意义 ( 可以结合图像说 明) . 评析   通过计算得出平均速度只能粗略地描

Δx 看作是对于 x 1 的一个“ 增量” ,可用 x 1 + Δx 代替 x2 ) . (3) 则 平 均 变 化 率 为 Δx . Δy = Δx f( x 2 ) - f( x 1 ) Δy = = Δx x2 - x1

述运动状态,从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为 导数的概念作了铺垫, 利用图像解释的过程体现了 数形结合的数学思想方法. 探究过程: 图 1 是函数 h( t) = - 4. 9t


f( x 1 + Δx) - f( x 1 )

65 可知,h( ) = h(0) , 49 = 所以 v 0( s / m) . h(

+ 6. 5t + 10 的图象,结合图形 65 ) - h(0) 49 = 65 -0 49

f( x 2 ) - f( x 1 ) x2 - x1

思考:观察函数 f( x) 的图象, 平均变化率 表示什么?

( 师 生 一 起 讨 论、 分 生:曲线 y = f( x) 上两

图1

析,得出结果)

点 ( x 1 ,f ( x 1 ) ) 、 ( x 2 ,f ( x 2 ) ) 率) .

连线 的 斜 率 ( 割 线 的 斜 生:( 补充 ) 平均变化

度为 0( s / m) , 但实际情况是运动员仍然运动, 并非 静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的 运动状态. (1) 让学生亲自计算和思考,展开讨论;

65 虽然运动员在 0 ≤ t ≤ 这段时间里的平均速 49

图2

率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势 ( 变化 快慢) ,即在某个区间上曲线陡峭的程度. 化率的步骤是什么? 师:两位同学回答得非常好! 那么, 计算平均变 生:① 求自变量的增量 Δx = x 2 - x 1 ;② 求函数 Δy = Δx

步修正到最终的结论上;

(2) 老师慢慢引导学生说出自己的发现, 并初 (3) 得到结论是:① 平均速度只能粗略地描述

的增量 Δy = f( x 2 ) - f( x 1 ) ;③ 求平均变化率 f( x 2 ) - f( x 1 ) x2 - x1 评析   .

运动员的运动状态, 它并不能反映某一刻的运动状 态;② 需要寻找一个量, 能更精细地刻画运动员的 运动状态. 思考:当运动员起跳后的时间从 t 1 增加到 t 2 时, 师生活动:教师播放多媒体,学生可以直接回答

通过对一些熟悉的实例中变化率的理

解,逐步推广到一般情况, 即从函数的角度去分析、 应用变化率,并结合图形直观理解变化率的几何意 义,从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化 率的几何意义,体现数形结合的数学思想. 为进一步 2. 4  加深理解变化率与导数作好铺垫. 例 1  知识应用,提高能力 已知函数 f( x) = - x 2 + x 图象上的一点

运动员的平均速度是多少?

问题,教师板书其正确答案. 通过引导, 使学生逐步 归纳出问题 1、2 的共性. 评析   把问题 2 中的具体数据运算提升到一般

的字母表示,体现从特殊到一般的数学思想, 同时为 2. 3  归纳函数平均变化率概念作铺垫. (1) 上 述 问 题 中 的 变 化 率 可 用 式 子 表示,称为函数 f( x) 从 x 1 到 x 2 的平均 知识迁移,把握本质

A( - 1, - 2) 及临近一点 B ( - 1 + Δx, - 2 + Δy) ,则 Δy =        . Δx 例 2  求 y = x 2 在 x = x 0 附近的平均变化率.

f( x 2 ) - f( x 1 ) 变化率. x2 - x1

2. 5 

(2) 若设 Δx = x 2 - x 1 ,Δy = f( x 2 ) - f( x 1 ) . ( 这里

Δt) 中相应的平均速度为       .

(1) 质点运动规律为 s = t 2 + 3,则在时间(3,3 + (2) 物体按照 s( t) = 3t 2 + t + 4 的规律作运动,
23

课堂练习,自我检测

  ZHONGXUESHUXUEZAZHI                    求在 4s 附近的平均变化率.


 

       

中学数学杂志  2014 年第 5 期

Δx,1 + Δy) 作曲线的割线,求出当 Δx = 0. 1 时割线 的斜率. 评析   概念的简单应用, 体现了由易到难, 由

(3) 过曲线 f( x) = x 上两点 P (1,1) 和 P′(1 +

算量,但激发学生思维的好问题不多. 整堂课学生的 析的成分、时间都不够.

思维量不够,学生缺少思辩,同时留给学生判断和分 4  教学点评

2. 6 

特殊到一般的数学思想,符合学生的认知规律. (1) 函数平均变化率的概念是什么? 它是通过 (2) 求函数平均变化率的一般步骤是怎样的? (3) 这节课主要用了哪些数学思想? 师生活动:最后师生共同归纳总结: 函数平均变 化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、 求函数平 均变化率的一般步骤、主要的数学思想有: 从特殊到 一般,数形结合. 认知结构. 评析   复习重点知识、 思想方法, 完善学生的 课堂小结,知识再现

法,通过不断出现的一个个问题,一步步创设出使学 生有兴趣探索知识的 “ 情境 ” , 营造生动活泼的课堂 教学气氛,充分发挥学生的主体地位, 通过实例, 引 导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程, 从 4. 1  而更好地理解变化率问题. 注重情境创设,适度使数学生活化、情境化

采用相互讨论、 探究规律和引导发现的教学方

什么实例归纳总结出来的?

不失浓厚的数学味,可以激发学生学习的内在需要, 把学生引入到身临其境的环境中去, 自然地生发学 习需求. 因此, 本节课以两个实际问题 ( 吹气球和高 台跳水) 为情景,在激发主体兴趣的前提下, 引导学 生在生活感受的基础之上从数学的角度刻画 “ 吹气 球” 和 “ 高台跳水 ” , 并注重数形结合思想方法的渗 4. 2  透. 准确定位,精心设问,注重学生合作交流

注重情境创设,适度使数学生活化、 情境化而又

2. 7 

(1) 课本第 10 页:习题 A 组:第 1 题.

布置作业,课后延伸

3  教学反思

地刻画运动员的运动状态,那么该量应如何定义?

(2) 课后思考问题:需要寻找一个量, 能更精细

的核心概念. 教学的预设目标基本完成, 特别是知识 并会利用概念求平均变化率. 根据这一节课的内容 特点以及学生的实际情况, 在教学过程中让学生自 己去感受问题情境中提出的问题, 并以此作为突破 口,启发、引导学生得出函数的平均变化率. 成功之处:通过生活中的实例,引导学生分析和

在教学设计时, 我把 “ 平均变化率” 当成本节课

引导学生从事有效的学习活动, 并在学生遇到困难 时,适时点拨,让学生体会到学习数学的过程是人生 的一种有意义的经历和体验, 从而发挥学生学习数 学的能动性和创造性. 教师精心设计好问题, 从而更 好地激发每个学生积极主动地参与到数学学习活动 中来,让学生在解决问题时又不断产生新的思维火 花,在解决问题的过程中达到学习新知识的目的和 激发创新的意识. 因此, 本课采用自主探索、 合作交 4. 3  流的探究式学习方式,使学生真正成为学习的主人. 借用信息技术辅助,强化直观感知

教师的角色始终是数学活动的组织者, 参与并

目标,学生能较好地掌握 “ 平均变化率 ” 这一概念,

归纳,让学生在已有认知结构的基础上建构新知识, 从而达到概念的自然形成, 进而从数学的外部到数 学的内部,启发学生运用概念探究新问题. 这样学生 生活中处处蕴含着数学化的知识, 同时可以提高他 们学习数学的主观能动性. 教学的预设目标基本完 成,特别是知识目标, 学生能较好地掌握 “ 平均变化 率” 这一概念,并会利用概念求平均变化率. 改进之处:课堂实施过程中,虽然在形式上没有

不会感到突兀,并能进一步感受到数学来源于生活,

高台跳水) 的背景更形象、更逼真, 从而激发学生的 学习兴趣,通过演示平均变化率的几何意义让学生 使探究落到实处. 更好地体会数形结合思想. 同时帮助学生发现规律,

在信息技术环境下,可以使两个实例( 吹气球和

将知识直接抛给学生,但自己的 “ 引导 ” 具有明显的 “ 牵” 的味道. 在教学过程中,虽然能关注到适当的计
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级教师. 主要从事数学教育与中学教学研究. 发表论文 60 余 篇.

作者简介  杨瑞强,男,1979 年生,湖北黄冈人,中学一



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