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2015年一中高一(下)第二次月考数学试卷



2015-2016 学年江西省南昌市进贤一中高一(下)第二次月考数学试卷
一、选择题 1.已知集合 M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lgx},则 M∩N 为( ) A. B. C.[2,+∞) D.[1,+∞) (0,+∞) (1,+∞) 2.若 sinα=﹣ A. B.﹣ ,则 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( C. D.﹣ ) )
<

br />3.若不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x+2>0 的解集是 R,则 m 的范围是( A.[1,9) B.[2,+∞) C. D.[2,9] (﹣∞,1] 4.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 A.5 B.7 C.8 , C. D. ) D.15 ,若 ,则 k=( ) =( )

5.已知向量 A.﹣12 B.12

6.在△ABC 中,若 a=2,b=2 ,B=60°,则角 A 的大小为( A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 7.已知 f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是(



A. (0,1) B.

C.

D. ,且 a+b=3 则△ABC 的面积为( )

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2, A. B. C. D.

9. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各 得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、 乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) .这个问题中,甲 所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 10.如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若 =λ +μ ,则 λ+μ 的值为( )

A.

B.

C.1

D.﹣1
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11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2﹣b2= A.30° B.60° C.120° D.150°

bc,sinC=2

sinB,则 A=(



12.数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2015=(



A.

B.

C.

D.

二、填空题 13.已知不等式 ax2﹣bx+2<0 的解集为{x|1<x<2},则 a+b= . 14.在△ABC 中,已知三边 a,b,c 满足 b2+a2﹣c2= ab,则∠C= 15.若数列{an}满足 ﹣

. }为调和数列

=d(n∈N*,d 为常数) ,别称数列{an}为调和数列,已知数列{

且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16= . 16.已知 f(x)为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) ,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,有 >0 成立,给出四个命题:

①f(3)=1; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为 . (请将正确的序号都填上)

三、解答题 17.已知函数 f(x)=ax2+x﹣a,a∈R (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)>1; (2)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值.

18.在等差数列{an}中,a1=1,又 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的公差; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

19.已知在锐角△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2 . (1)求角 A 的值; (2)若 a= ,则求 b+c 的取值范围. 20.如图,已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B. (1)若 ,求向量 ; 2 ( )求| |的最大值.

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21.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(﹣1,1) , =(cosBcosC,sinBsinC﹣ 且 ⊥ . (1)求 A 的大小; (2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c﹣( 求出所确定的△ABC 的面积. 22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn (2)设 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

) ,

+1)b=0;③B=45°,试从中再选择两个条件以确定△ABC,

,数列{bn}中,b1=1,

. (n∈N*)

(3)设

,若对于一切 n∈N*,有 λ>hn 恒成立,求 λ 的取值范围.

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2015-2016 学年江西省南昌市进贤一中高一(下)第二次月考数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知集合 M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lgx},则 M∩N 为( ) A. B. C.[2,+∞) D.[1,+∞) (0,+∞) (1,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 M 中值域确定出 M,求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 【解答】解:由 y=2x,x>0,得到 y>1,即 M=(1,+∞) , 由 N 中 y=lgx,得到 x>0,即 N=(0,+∞) , 则 M∩N=(1,+∞) , 故选:B.

2.若 sinα=﹣ A. B.﹣

,则 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( C. D.﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出 cosα,然后求解即可. 【解答】解:sinα=﹣ tanα= 故选:D. 3.若不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x+2>0 的解集是 R,则 m 的范围是( A.[1,9) B.[2,+∞) C. D.[2,9] (﹣∞,1] ) =﹣ . ,则 α 为第四象限角,cosα= = ,

【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】若 m﹣1=0,即 m=1 时,满足条件,若 m﹣1≠0,即 m≠1,若不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x+2>0 的解集是 R,则对应的函数的图象开口朝上,且与 x 轴没有交点,进而构造关于 m 的不等式,进而得到 m 的取 值范围 【解答】解:当 m﹣1=0,即 m=1 时, 原不等式可化为 2>0 恒成立, 满足不等式解集为 R, 当 m﹣1≠0,即 m≠1 时, 若不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x+2>0 的解集是 R, 则 解得:1<m<9; 故选:A.
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4.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 A.5 B.7 C.8 D.15

=(



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的通项公式与前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:S3=

=

,a3=

=





=7.

故选:B.

5.已知向量 A.﹣12 B.12 C.

, D.

,若

,则 k=(



【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】先求得 2 ﹣ 的坐标,再根据两个向量共线的性质求得 k 的值. 【解答】解:由题意可得 2 ﹣ =(5,2﹣k) , 若 解得 k=﹣ , 故选:D. 6.在△ABC 中,若 a=2,b=2 ,B=60°,则角 A 的大小为( A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° ) ,则 2(2﹣k)﹣5×1=0,

【考点】梅涅劳斯定理;正弦定理. 【分析】直接利用正弦定理求得 sinA,结合三角形中的大边对大角得答案. 【解答】解:∵a=2,b=2 ,B=60°, ∴由正弦定理 ,得 = ,

∴sinA= , 又 a<b,∴A=30°. 故选:A.

7.已知 f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是(



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A. (0,1) B.

C.

D.

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【分析】由 f(x)在 R 上单调减,确定 a,以及 3a﹣1 的范围,再根据单调减确定在分段点 x=1 处两个值的大 小,从而解决问题. 【解答】解:依题意,有 0<a<1 且 3a﹣1<0, 解得 0<a< , 又当 x<1 时, (3a﹣1)x+4a>7a﹣1, 当 x>1 时,logax<0, 因为 f(x)在 R 上单调递减,所以 7a﹣1≥0 解得 a≥ 综上: ≤a< 故选 C.

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2, A. B. C. D.

,且 a+b=3 则△ABC 的面积为(



【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】由已知及余弦定理可解得 ab 的值,利用三角形面积公式即可得解. 【解答】解:∵c=2, ,a+b=3,

∴由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:4=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=9﹣3ab, ∴解得:ab= , ∴S△ABC= absinC= 故选:D. 9. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各 得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、 乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) .这个问题中,甲 所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,由题意求得 a=﹣6d,结合 a ﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1,则答案可求. 【解答】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 则 a﹣2d=a﹣2× = .
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=



故选:B. 10.如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若 =λ +μ ,则 λ+μ 的值为( )

A.

B.

C.1

D.﹣1

【考点】向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用向量转化求解即可. 【解答】解:由题意正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,可知: 则 λ+μ 的值为: . 故选:A. 11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2﹣b2= A.30° B.60° C.120° D.150° bc,sinC=2 sinB,则 A=( ) = .

【考点】余弦定理的应用. 【分析】先利用正弦定理,将角的关系转化为边的关系,再利用余弦定理,即可求得 A. 【解答】解:∵sinC=2 sinB,∴c=2 b, ∵a2﹣b2= bc,∴cosA= = =

∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选 A.

12.数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2015=(



A.

B.

C.

D.

【考点】数列递推式. 【分析】根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论. 【解答】解:由递推数列可得, a1= ,a2=2a1﹣1=2× ﹣1= , a3=2a2=2× = , a4=2a3=2× = ,
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a5=2a4﹣1=2× ﹣1= , … ∴a5=a1, 即 an+4=an, 则数列{an}是周期为 4 的周期数列, 则 a2015=a503×4+3=a3= , 故选:B 二、填空题 13.已知不等式 ax2﹣bx+2<0 的解集为{x|1<x<2},则 a+b= 4 . 【考点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法. 【分析】不等式 ax2﹣bx+2<0 的解集是{x|1<x<2},故 1,2 是方程 ax2﹣bx+2=0 的两个根,由根与系数的关 系求出 a,b,即可. 【解答】解:由题意不等式 ax2﹣bx+2<0 的解集是{x|1<x<2},可知不等式是二次不等式, 故 1,2 是方程 ax2﹣bx+2=0 的两个根, ∴1+2= ,1×2= ∴a=1,b=3. ∴a+b=4. 故答案为:4. 14.在△ABC 中,已知三边 a,b,c 满足 b2+a2﹣c2=

ab,则∠C=



【考点】余弦定理. 【分析】由已知结合余弦定理可求 cosC 的值,结合 C 的范围及特殊角的三角函数值即可得解. 【解答】解:在△ABC 中,∵b2+a2﹣c2= ab, ∴由余弦定理可得:cosC= ∵C∈(0,π) , ∴C= . . = = ,

故答案为:

15.若数列{an}满足



=d(n∈N*,d 为常数) ,别称数列{an}为调和数列,已知数列{

}为调和数列

且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16= 20 . 【考点】等差数列的性质. 【分析】由题意知道,本题是构造新等差数列的问题,经过推导可知{xn}是等差数列,运用等差数列的性质可 求解答案. 【解答】解:由题意知:

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∵数列{

}为调和数列

∴ ∴{xn}是等差数列 又∵x1+x2+…+x20=200= ∴x1+x20=20 又∵x1+x20=x5+x16 ∴x5+x16=20 故答案为 20. 16.已知 f(x)为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) ,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,有 >0 成立,给出四个命题:

①f(3)=1; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为 ②④ . (请将正确的序号都填上) 【考点】抽象函数及其应用. 【分析】①令 x=﹣3,由偶函数的定义,可得 f(3)=0,即可判断; ②由于函数 y=f(x)是以 6 为周期的偶函数,可得 f(﹣6+x)=f(﹣6﹣x) ,即可判断; ③由条件可得 y=f(x)在区间[0,3]上为增函数,再由偶函数和周期性,即可判断; ④先判断方程 f(x)=0 在[﹣3,3]上有 2 个实根(﹣3 和 3) ,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数,即可判 断. 【解答】解:对于①:∵y=f(x)为 R 上的偶函数,且对任意 x∈R,均有 f(x+6)=f(x)+f(3) , ∴令 x=﹣3 得:f(6﹣3)=f(﹣3)+f(3)=2f(3) ,∴f(3)=0,故①错; y=f x 6 对于②:∵函数 ( )是以 为周期的偶函数, ∴f(﹣6+x)=f(x) ,f(﹣6﹣x)=f(x) , ∴f(﹣6+x)=f(﹣6﹣x) ,∴y=f(x)图象关于 x=﹣6 对称,即②正确; 对于③:∵当 x1,x2∈[0,3]且 x1≠x2 时,有 >0 成立,

∴y=f(x)在区间[0,3]上为增函数,又函数 y=f(x)是偶函数, ∴y=f(x)在区间[﹣3,0]上为减函数,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, ∴y=f(x)在区间[﹣9,﹣6]上为减函数,故③错误. 对于④:∵y=f(x)在区间[﹣3,0]上为减函数,在区间[0,3]上为增函数,且 f(3)=f(﹣3)=0, ∴方程 f(x)=0 在[﹣3,3]上有 2 个实根(﹣3 和 3) ,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, ∴方程 f(x)=0 在区间[﹣9,﹣3)上有 1 个实根(为﹣9) ,在区间(3,9]上有一个实根(为 9) , ∴方程 f(x)=0 在[﹣9,9]上有 4 个实根.故④正确. 故答案为:②④

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三、解答题 17.已知函数 f(x)=ax2+x﹣a,a∈R (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)>1; (2)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值.

【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)当 a=2 时,不等式即 2x2+x﹣2>1,解得 x 的范围,可得不等式的解集.

(2)由题意

,由此解得 a 的值.

【解答】解: (1)当 a=2 时,不等式即 2x2+x﹣2>1,即 2x2+x﹣3>0,解得 故不等式的解集为 .



(2)由题意

,解得



因此



18.在等差数列{an}中,a1=1,又 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的公差; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【分析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由等差数列的通项公式求出 an,由等比中项的性质列出方程,求出 d 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)求出 an,代入 bn= 化简,由裂项相消法求出数列{bn}的前 n 项和.

【解答】解: (I)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 a1=1,所以 an=1+d(n﹣1)… 又 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列,则 所以(1+d)2=1×(1+4d) ,解得 d=2 或 d=0(舍 … (Ⅱ)由(Ⅰ)得,an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 所以 则 … … …

19.已知在锐角△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2 . (1)求角 A 的值;
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(2)若 a= ,则求 b+c 的取值范围. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (1)在锐角△ABC 中,根据条件利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB) ,化简可得 cosA = ,由此可得 A 的值. (2)由正弦定理可得 = =2,可得 b+c=2(sinB+sinC)=2 sin(B+ ) .

再由

,求得 B 的范围,再利用正弦函数的定义域和值域求得 b+c 的取值范围.

【解答】解: (1)在锐角△ABC 中,根据(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2 =a﹣2a? 利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB) , 即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA,即 sin(B+A)=2sinCcosA, 即 sinC=2sinCcosA,∴cosA= ,∴A= (2)若 a= ,则由正弦定理可得 . = ﹣B)]=3sinB+ =2, cosB=2 sin(B+ ) .



∴b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(

由于

,求得

<B<

,∴

<B+





∴sin(B+

)∈(

,1],∴b+c∈(3,2

].

20.如图,已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B. (1)若 ,求向量 ; (2)求| |的最大值.

【考点】向量在几何中的应用. 【分析】 (1)根据题意设出 B(cosθ,sinθ) ,0≤θ≤π,在根据 2 ( )根据| |的定义将之转化为关于 θ 的三角函数

列出关于 θ 的三角方程即可 ,并将之平方得

,最后在将 sinθ+cosθ 平方求出范围即可 【解答】解: (1)依题意,B(cosθ,sinθ) ,0≤θ≤π(不含 1 个或 2 个端点也对) =(1,1) , =(cosθ,sinθ) (写出 1 个即可) ,
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因为 解得 (2)

,所以 ,所以 OB=(﹣

,即 cosθ+sinθ=0, , ) .

=(1+cosθ,1+sinθ) , = , , ,

则|OA+OB|= ∴

令 t=sinθ+cosθ,则 t2=1+sin2θ≤2,即 ∴ 当 ,即 时,| ,有

|取得最大值



21.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(﹣1,1) , =(cosBcosC,sinBsinC﹣

) ,

且 ⊥ . (1)求 A 的大小; (2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c﹣( +1)b=0;③B=45°,试从中再选择两个条件以确定△ABC, 求出所确定的△ABC 的面积. 【考点】解三角形;数量积判断两个平面向量的垂直关系;两角和与差的余弦函数;余弦定理. 【分析】 (1)利用 ,推出 cos(B+C)= ,然后求出 A=30°. ,求出 S△ABC.

(2)方案一:选择①②,可以确定△ABC,通过余弦定理,得 c= 方案二:选择①③,可以确定△ABC,由正弦定理的 c,然后求出 S△ABC. 【解答】解: (1)因为 所以 cos(B+C)= , ,所以﹣cosBcosC+sinBsinC﹣ =0,

因为 A+B+C=π,所以 cos(B+C)=﹣cosA, 所以 cosA= ,A=30°.

(2)方案一:选择①②,可以确定△ABC, 因为 A=30°,a=1,2c﹣( )b=0, 由余弦定理,得:12=b2+( 整理得:b2=2,b= 所以 S△ABC= ,c= = )2﹣2b? , = . ? ,

方案二:选择①③,可以确定△ABC, 因为 A=30°,a=1,B=45°,C=105°, 又 sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+sin60°cos45°= .

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由正弦定理得:c= 所以 S△ABC= =

=

= =

, .

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn (2)设 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

,数列{bn}中,b1=1,

. (n∈N*)

(3)设

,若对于一切 n∈N*,有 λ>hn 恒成立,求 λ 的取值范围.

【考点】数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 ,可得当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,两式相减可得 an=2an﹣1,从而可知 , 两边取倒数, 可得数列

2 为公比的等比数列, 数列{an}是以 2 为首项, 故可得 an=2n; 根据 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,从而可求{bn}的通项 (2)

,所以数列{cn}的前 n 项和 Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×22+…+(2n﹣1)×2n,利用错

位相减法可求数列{cn}的前 n 项和 (3) = ,可判断 n=1,2 时,hn+1>hn;n≥3 时,hn+1<hn,故 n=3 时,hn 取得最

大值

,从而可求 λ 的取值范围. ,可得当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2

【解答】解: (1)由 两式相减可得:an=2an﹣2an﹣1 ∴an=2an﹣1 ∴ (n≥2)

∵n=1 时,S1=2a1﹣2,∴a1=2 ∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 ∴an=2n ∵

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∴ ∵b1=1,∴ ∴数列 ∴ ∴ 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列

(2) ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×22+…+(2n﹣1)×2n① ∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n﹣3)×2n+(2n﹣1)×2n+1② ①﹣②可得:﹣Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n﹣(2n﹣1)×2n+1=﹣6+2n+2﹣(2n﹣1)×2n+1 ∴Tn=6﹣2n+2+(2n﹣1)×2n+1; (3) =





=

∴n=1,2 时,hn+1>hn;n≥3 时,hn+1<hn ∴n=3 时,hn 取得最大值 ∵对于一切 n∈N*,有 λ>hn 恒成立, ∴ , .

∴λ 的取值范围为

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2016 年 11 月 10 日

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