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高中不等式专题



基础不等式的解法及应用 一、一元二次不等式的解法 例 1、解下列不等式

x2 ? 2 x ? 3 ? 0

?3x 2 ? 5x ? 2 ? 0

4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0

? x2 ? 2x ? 3 ? 0

结论:方法 1、数轴穿跟法:因式分解、系数为正 奇穿,

偶不穿;方法 2:利用二次函数的图像 二、分式不等式的解法 例 2、解下列不等式

x?3 ?0 x?7

x?

2 ?0 x

4 2? x ? ?3 x ?3 3? x

(高次不等式)

1 ?x x

结论:先移项通分标准化 f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0;
g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

三、简单的绝对值不等式 例 3、解下列不等式

x ?3

x ?1 ? 3

3 ? 2x ? 3 ? 5

| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 .

结论:小题图像法,大题零点分段法
四、指数、对数不等式

结论:底数化相同,根据函数性质求解 五、二元一次不等式组

结论:划区域,求最值 六、基本不等式的应用

七、不等式的证明方法

比较法(做差法、做商法) 、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

1、 (2010,山东)已知全体 U A、

? R ,集合 M ? x x 2 ? 4 ? 0
C、

?

? ,则 C M ? (
U



? x ?2 ? x ? 2?
?1, 2,3?

B、

? x ?2 ? x ? 2?
?4,5?

?x x ? ?2或x ? 2?
*

D、

? x x ? ?2或x ? 2?


2、 (2009,安徽)若集合 A ? A、 B、

?x ? 2 x ? 1??3 ? x ? ? 0? , B ? ?x ? N
C、 D、

x ? 5? ,则 A B 是(

?1, 2?

?1,2,3,4,5?
x ? 4, x ? Z

3、 (2010,全国)已知集合 A ? A、

?x

x ? 2, x ? R
C、

? , B ? ?x
D、

?

,则

A B?(



? 0, 2 ?

B、

?0, 2?

?0, 2?

?0,1, 2?
?
B 是(


4、 (2009,安徽)若集合 A ?

2x ? 1 ? ? 0? ,则 A ?x 2x ?1 ? 3? , B ? ? ?x 3? x ?
B、

A、 ? x

?

1 ? ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?
2

? x 2 ? x ? 3?

C、 ? x

?

1 ? ? ? x ? 2? 2 ? ?

D、 ? x

?

1? ?1 ? x ? ? ? 2? ?
N 为(


5、 (09,陕西)若不等式 x A、

? x ? 0 的解集为 M,函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 N,则 M
C、

?0,1?

B、

? 0,1?

?0,1?

D、

? ?1,0?
2

6、已知全集全体 U A、

? R ,且 A ? x x ? 1 ? 2
B、

?

? , B ? ?x x
D、

? 6x ? 8 ? 0

? ,则 (C

U

A) B 等于(



??1, 4?

? 2,3?

C、

? 2,3?

? ?1, 4?
CR B ? (
D、 )

7、设集合

A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0
B、

?

x ? ? 2? ,则 A ?, B ? ? ?x ? x ?1 ?
C、

A、

? x ?1 ? x ? 3?
f ? x? ? 1?

? x ?1 ? x ? 3?


? x ?2 ? x ? 3?

? x ?2 ? x ? ?1?

8、函数

1 的定义域是( x

A、

? ??,1?
x y ? y x

B、

? ??,0? ? ?0,1?
) C. tan ?

C、

?1, ???
D. 2
x

D、

? ??,0? ??1, ???

1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A. B.

x2 ? 5 x ?4
2

?

1 tan ?

? 2? x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y A. 3
3

? 2 ,则 3x ? 27 y ? 1 的最小值是(
C. 6 D. 7



9

B. 1 ? 2

2

3.设 x

? 0, y ? 0, A ?
B
B. A ?

x? y x y , B? ,则 A, B 的大小关系是( ? 1? x ? y 1? x 1? y
B
C. A ?



A. A ? 4.函数

B

D. A ? )

B
B.

y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为(

A. 2

2

C. 4

D. 6

2 2 13、已知一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根是 ?2,3 ,且 a ? 0 ,那么 ax ? bx ? c ? 0 的解集是(



A、 x x ? ?2或x ? 3

?

?

B、 x x ? ?3或x ? 2

?

?
?

C、 x ?2 ? x ? 3

?

?

D、 x ?3 ? x ? 2

?

?

2 14、不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 x ?2 ? x ? 3 ,则 b ? c ? _____________

?

ax ? 1 的解集为 ? x x ? 1或x ? 2? ,则 a 的值为( ) x ?1 1 1 1 1 A、 a ? B、 a ? C、 a ? D、 a ? ? 2 2 2 2
15、不等式
2 16、已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 x x ? 1或x ? b

?

?

(1) 、求 a , b (2) 、解不等式

x?c ? 0 ( c 为常数) ax ? b

补充:

1、不等式 x ? A、 ? ?1,0?

2 ? 2 的解集是( x ?1



?1, ???

B、 ? ??, ?1?

? 0,1?

C、 ? ?1,0?

? 0,1?

D、 ? ??, ?1?

?1, ???


2、 已知关于 x 的不等式 A、第一象限

? x ? a ?? x ? b ? ? 0 的解为 ?3 ? x ? ?2或x ? 4 , 则点 ? b ? c, a ? 位于坐标平面内 ( ? x ? c?
C、第三象限 D、第四象限

B、第二象限

3、关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 ?1, ?? ? ,则关于 x 的不等式 A、 ? ??, ?1? 4、解不等式

ax ? b ? 0 的解集是( x?2



? 2, ???
a ?2 x ?1

B、 ? ?1, 2?

C、 ?1, 2 ?

D、 ? 2, ???



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