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用样本的数字特征估 计总体的数字特征

现实生活中两个变量间的关系有哪些呢? 不相关 两个变量的关系 函数关系 相 关 关 系 线性相关 非线性相关

对于线性相关的两个变量怎样用什么方法 来刻划呢? 最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程:

y ? a ? bx
b?

?(x
i ?1 n

n

i

? X )( yi ? Y )
i

?(X
i ?1

? X)

2

a ? Y ? bX

回归分析的基本思想
回归分析 预报、决策 一种统计分析的方法 步骤 求回归方程 画散点图

用线性回归方程y=a+bx进行回归分析会 有误差吗? 有 怎样判断误差产生的影响?

用下面的线性回归模型:y=a+bx+e 解释更客观。

e:随机误差;a、b:模型的未知参数。
就例1而言,随机误差项e产生的原因是什么?

解释变量x
随机误差e

预报变量y

即:由解释变量x和随机误差e共同预报变 量y,这样就较准确

怎样衡量两个变量之间的线性相关关系?回归分 析 答:用相关系数r来衡量。

r?

?(x
i ?1

n

i

? X )( yi ? Y )
2

?(x
i ?1

n

i

? X)

?( y
i ?1

n

i

?Y)

2

判断方法:①r>0(两个变量)正相关; ②r<0 负相关;③︱r︱接近1表明相关性强; ④ ︱r︱接近0表明两变量几乎不相关。 ⑤︱r︱>0.75我们认为两变量有很强的相关关系!

问题:为了探讨身高、随机变量对体重的影 响我们应怎样做?
不考虑身高、随机误差的影响 观察体重情况

身高变,不考虑随机误差

观察体重情况

如:一位女大学生若其体重不受身高、随机 误差的影响其体重应为54.5公斤,但她的实 际体重为61公斤,这说明什么? 说明其受到身高、随机变量的双重影响。

如何刻划:预报变量(体重)的变化?这个变 量在多大程度上与解释变量(身高)有关?在 多大程度上与随机误差有关? 总偏差平方和--- 即描述解释变量、随机误差的效应总和
n

总偏差平方和=

(y ?
i ?1

i

?Y)

2

如例1中的总偏差平方和为354

残差平方和----刻划随机误差效应
n

残差平方和=

2 ? (yi ? y i ) ? i ?1

残差=

? ? ei ? yi ? y i

例1的残差平方和为128.361

回归平方和----反映解释变量的效应

回归平方和

总偏差平方和

残差平方和

例1的解释变量的效应为354-128.361=225.639

用什么来刻划回归的效果? 用相关指数平方R2
2 ? (yi ? yi ) ? n

R =1-

2

?( y
i ?1

i ?1 n

i

?Y)

2

作用:R2越大--残差平方和越小--模
型的拟合效果越好!反之相反。

来源 解释变量 随机误差

平方和 225.639
(回归平方和)

比例 0.64 0.36

128.361
(残差平方和)

总偏差

354
(总偏差平方和)

1.00

怎样判断模型的拟合效果?---用残差判断

判断原始数据中是否存在可疑数据--残差分析
进行残差分析的手段有哪些? 1.表格分析;2.画残差图

用身高预报体重时须注意下面问题: 1.适用范围;2.适用时间;3.样本选取影响 方程适用范围;4:预报值是是变量可能值 的平均值

建立回归方程的步骤:
画散点图

确立研究对象 按规律估计a、b 分析残差图是否异常

由经验确定回 归方程类型

例题1.一个车间为了规定工时定额,需要确定 加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验, 测得数据如下:
零件数 10 20 30 40 50 60 70 (x)个

80

90 100

加工时 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 间y

(1)y与x是否具有线性相关?

(2)若y与x具有线性相关关系,求回归直线方程
(3)预测加工200个零件需花费多少时间?

分析:这是一个回归分析问题,应先进行 线性相关检验或作散点图来判断x与y是否 具有线性相关才可以求解后面的问题。

作散点图如下:不难看出x,y成线性相关。
150 100 系列1 50 0 0 50 100 150

利用 r ? 样本

求出 n n 2 2 相关系数 ( x ? X ) ( y ? Y ) ? i ? i
i ?1 i ?1

?(x
i ?1

n

i

? X )( yi ? Y )

判断r的绝对值与1的接近程度,从而判断出 x,y是否具有较强的线性相关性。若具有较 强的线性相关性则选用线性回归方程模型求 解,否则,根据经验选用别的模型建立函数 模型! 根据10组数据求得:r=0.9998;可见x,y的线 性关系很强

解(1)列出下表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 0 12 2
12200

xi
yi x iy i

10 20 30 40 50 60 70 80
62
620

90

68 75 81 89 95 102 108 115
1360 2250 3240 4450 5700 7140 8640 10350

求出r判断

选择函数模型 求预报值

求相关数据 检验拟合效果



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