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上海版-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题05 数列、数学归纳法与极限(解析版)Word版含解析


一.基础题组 1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列 ?a n ?
是公差为 2 的等差数列,若 a6 是 a7 和 a8 的等比中项,则 an =________.

2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知数
列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N ) ,则 a8 的值是__________.
*

3. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】若
? r ? lim? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_____________. n?? 2r ? 1 ? ?
n

4.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】 在

?An Bn C n 中,记角 An 、 Bn 、 C n 所对的边分别为 an 、 bn 、 c n ,且这三角形的三边长
是公差为 1 的等差数列,若最小边 an ? n ? 1 ,则 lim C n ? (
n??

) .

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

5.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

n2 ? 1 lim 2 ? ___________. n?? 2n ? n

2 2 6.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学 (理) 试题】 若圆 x ? ( y ? 1) ? 1
* 的圆心到直线 l n : x ? ny ? 0 ( n ? N )的距离为 d n ,则 lim d n ?
n??

.

【答案】1 【解析】 试题分析:圆心为 (0,1) , d n ?

n 1? n
2

, lim

n 1? n
2

n ??

? lim
n ??

1 ? 1. 1 ?1 n2

考点:点到直线距离公式,极限.

7.
lim
n ??

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】计算:

(n ? 1)(1 ? 3n) ? ________. (2 ? n)(n 2 ? n ? 1)

8.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________.

9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】设正项数列 {a n } 的前 n 项

和是 S n ,若 {a n } 和 { S n } 都是等差数列,且公差相等,则 a1 =_______________. 【答案】 【解析】

1 4

试题分析:等差数列 {a n } 的公差为 d ,则 S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n , 2 2

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n ,数列 { S n } 是等差数列,则 Sn 是关于 n 的一次函数(或者 2 2
d d d d ? 0 , Sn ? 从而数列 { S n } 的公差是 , 那么有 ?d, n, 2 2 2 2
1 1 , a1 ? . 2 4

是常函数) , 则 a1 ?

d ? 0 (舍去)或 d ?

考点:等差数列的通项公式.

10.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】计算:

2 1 1 lim [n 2 ( ? ? )] =_________. n ??? n n ?1 n ? 2

11. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是
S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则 a1 ? d ? __
_.

12.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】计算:

2n ? 10 = x ?? 3n ? 23 2 【答案】 3 lim
【解析】

.

? ”型极限问题,求极限的方法是分子分母同时除以 n ( n 的最高次 ? 10 2? 2n ? 10 n ?2. 幂) ,化为一般可求极限型,即 lim ? lim x ?? 3n ? 23 n ?? 23 3 3? n ? 考点: “ ”型极限 ?
试题分析:这属于“

13.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】如果

1 1 f ?n? ? 1? ? ? 2 3

1 1 ? ? ? n n ?1

?

1 ( n ? N * )那么 f ? k ? 1? ? f ? k ? 共有 2n

项.

14.【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷 (理科) 】
3n ? 计算: lim n n ?? 3 ? 1


15.【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】已知

数 列 ?an ?, ?bn ? 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为 a1 , b1 , 且 a1 ? b1 ? 5,

a1 , b1 ? N , 设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ?的前 10 项和等于______.
【答案】 85 【解析】 试题分析:数列 ?c n ?到底是什么暂时不知,因此我们试着把其前 10 项的和 S10 表示出来,

S10 ? ab1 ? ab2 ? ?ab10 ? [a1 ? (b1 ?1)] ? [a1 ? (b2 ?1)] ?
10a1 ? 10b1 ?

? [a1 ? (bn ?1)] ? 10a1 ? (b1 ? b2 ?

? b10 ) ?10 ?

10 ? 9 ? 10 ? 10(a1 ? b1 ) ? 45 ?10 ? 85 . 2

考点:等差数列的通项公式与前 n 和公式.

二.能力题组 1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知数列 ?a ?
n

满足 an?1

? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?a ?的前 2016 项的和 S2016 的值是___________.
n
n

可行,由此我们可得

S2016 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ?

? (a4k ?3 ? a4k ?2 ? a4k ?1 ? a4k ) ?
? (2 ? 2 ? (4k ? 2)) ?

?(a2013 ? a2014 ?a2015
? (2 ? 2 ? 2014)

?a2016 ) ? (2 ? 2 ? 2) ? (2 ? 2 ? 6) ?
? 2 ? 504 ? 4 ? (1 ? 3 ? 5 ?
考点:分组求和.

?1007) ? 1017072 .

2. 【上海市嘉定区

2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】某种平

面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为 1 的等边三角形(图(1) ) ;二级分形图是 将一级分形图的每条线段三等分, 并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形, 然 后去掉底边(图(2) ) ;将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级 分形图(图(3) ) ;?;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、?、 n 级分形图.则 n 级 分形图的周长为__________.

??

图(1)

图(2)

图(3)

3. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数
f (n) ? n 2 sin n? ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2014 ? 2


【答案】 ? 4032 【解析】 试题分析: 考虑到 sin

n? 是呈周期性的数列, 依次取值 1,0, ?1,0, 2

, 故在 a1 ? a2 ?

? a2014

时要分组求和,又由 an 的定义,知

a1 ? a3 ? a5 ?

? a2013 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ?

? f (2013) ? f (2014)

? 1 ? 32 ? 52 ? 72 ?

? 20092 ? 20112 ? 20132 ? 1 ? (5 ? 3)(5 ? 3) ? (9 ? 7)(9 ? 7) ?
? 2011 ? 2013)

?(2013 ? 2011) ? (2013 ? 2011) ? 1 ? 2(3 ? 5 ? 7 ? 9 ?
? 1 ? 1006 ? 2016 , a2 ? a4 ?

? a2014
? f (2014) ? f (2015) ? ?32 ? 52 ? ? 20132 ? 20152

? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?

? 2(3 ? 5 ? a1 ? a2 ?

? 2013) ? 20152 ? 1006 ? 2006 ? 20152 ,从而 ? a2014 ? 1 ? 2 ?1006 ? 2016

?20152 ? ?4032 .
考点:周期数列,分组求和.

4. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知 ?an ?
是各项均为正数的等比数列,且 a1 与 a5 的等比中项为 2,则 a 2 ? a 4 的最小值等 于 .

5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】数列 ?an ?
满足

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 an ? 2 2 2

.

6.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

已知函数 f ( x) ?

x2 ,则 x2 ?1

?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? ?2?
( )

?1? ? 1 ? f ? ? ?L ? f ? ?? ? 3? ? 2013 ?

? 1 ? f? ?? ? 2014 ?

(A) 2010

1 2

(B) 2011

1 2

(C) 2012

1 2

(D) 2013

1 2

7.

【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】数列 {an } 中,若

a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 * (n? N ) ,则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? n ?? 2n

.

8. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】数列 {an } 的前 n 项
和为 S n ,若 a n ? 1 ? n cos 【答案】1006 【解析】 试题分析:组成本题数列的通项公式中,有式子 cos

n? * (n? N ) ,则 S 2014 ? 2

.

n? ,它是呈周期性的,周期为 4,因 2

此在求和 S2014 时,想象应该分组,依次 4 个为一组,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 ? (1 ? 2) ? 1 ? (1 ? 4) ? 6 , a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 1 ? (1 ? 6) ? 1 ? (1 ? 8) ? 6 , a4k ?3 ? a4k ?2 ? a4k ?1 ? a4k ? 1 ? [1 ? (4k ? 2)] ? 1 ? (1 ? 4k )

? 6 ,最后还剩下 a2013 ? 1 , a2014 ? 1 ? 2014 ? ?2013 ,所以

S2014 ? 6 ? 503 ? 1 ? 2013 ? 1006 .
考点:分组求和.

9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】若数列 {an } 满足: .(用数字作答)

a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则前 6 项的和 S6 ?

10.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】等差数列 ?an ? 中,

a1 ? 2, S10 ? 15 ,记 Bn ? a2 ? a4 ? a8 ?

? a2n ,则当 n ? ____时, Bn 取得最大值.

11.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知函数
*

2 ? ? x ? 3tx ? 18, x ? 3 f ? x? ? ? ,记 an ? f ?n ? ?n ?N t ? 13 x ? 3, x ? 3 ? ? ? ?

? ,若 ?a ? 是递减数列,则实数 t 的
n

取值范围是______________.

12.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知无穷数列 ?an ? 具有如下

性质:① a1 为正整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时, an ?1 ? 时, an ?1 ?

an ? 1 .在数列 ?an ? 中,若当 n ? k 时, an ? 1 ,当 1 ? n ? k 时, an ? 1( k ? 2 , 2
(用 k 表示)

an ;当 an 为奇数 2

k ? N* ) ,则首项 a1 可取数值的个数为

三.拔高题组 1. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列 ?an ?
是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 an 的前 n 项和 Tn . 【答案】(1) an ? 2n ? 10 ; (2) ?20 ; (3) Tn ? ? 【解析】

? ?

?? n 2 ? 9n,1 ? n ? 5, n ? N *, ? . 2 ? ?n ? 9n ? 40, n ? 6, n ? N *,

2.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N * .
(1)证明数列 an ? 2n 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若 不存在,请说明理由; (3)若 1 ? r 线上.

?

?

? s 且 r , s ? N * ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直

(2) 假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列, 不妨设连续的三项依次为 ak ?1 ,ak ,ak ?1

* (k ? 2,k ?N ) ,由题意得, 2ak ? ak ?1 ? ak ?1 ,

将 ak ? 2 k ? (?1) k ?1 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k ?2 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3 所以,存在满足条件的连续三项为 a2 , a3 , a4 成等比数列。??10 分

3.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知无穷数列 ?an ? 的前 n 项和

2 为 Sn ,且满足 Sn ? Aan ? Ban ? C ,其中 A 、 B 、 C 是常数.

(1)若 A ? 0 , B ? 3 , C ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 A ? 1 , B ?

1 1 ,C ? ,且 an ? 0 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 16 2

(3)试探究 A 、 B 、 C 满足什么条件时,数列 ?an ? 是公比不为 ?1 的等比数列. 【答案】 (1) an ? ( )

3 2

n ?1

; (2) Sn ?

1 n2 q ? 1或 或 0 , C ? 0 . ; (3) A ? 0 , B ? 2 4 q ?1

(3)若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,

4. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】称满足以下两
个条件的有穷数列 a1 , a2 , ① a1 ? a2 ? a3 ?

, an 为 n ? n ? 2,3, 4,

: ? 阶“期待数列”

? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1.

(1)若等比数列 ?an ? 为 2k ? k ? N *? 阶“期待数列” ,求公比 q 及 ?an ? 的通项公式; (2)若一个等差数列 ?an ? 既是 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” ?ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1, 2,3, (i)求证: S k ?

, n? :

1 ; 2

(ii)若存在 m ??1,2,3,

, n? 使 S m ?

1 ,试问数列 ?Sk ? 能否为 n 阶“期待数列”? 2

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

【答案】 (1)







(2)



(3) (i)证明见解析; (ii)不能,证明见解析.

试题解析: (1)①若

,由①得,

,得

,矛盾.-----------1 分



,则由①

=0,得

,-------------3 分

由②得





所以,

.数列

的通项公式是



------------------------------------4 分

记数列 ?Sk ? (k ? 1, 2,3, 则由(i)知, Tk ?

, n) 的前 k 项和为 Tk ,

1 , 2 1 1 ,而 S m ? , 2 2

?Tm ? S1 ? S2 ?

? Sm ?

? S1 ? S2 ?

? Sm?1 ? 0 ,从而 a1 ? a2 ?
? an ? ? 1 , 2

? am?1 ? 0 , am ?

1 , 2

又 am ?1 ? am ? 2 ? 则 Sm?1 , Sm?2 ,

, Sn ? 0 ,-------------------------16 分

? S1 ? S2 ? S3 ?
S1 ? S2 ? S3 ?

? Sn ? S1 ? S2 ? S3 ?

? Sn , ? Sn ? 1 不能同时成立,
, n} 使 S m ?
1 ,则 2

? Sn ? 0 与 S1 ? S2 ? S3 ?

所以,对于有穷数列 a1 , a2 ,

, an (n ? 2,3, 4, ) ,若存在 m ?{1, 2,3,

, 3不 , 能, 为) n 阶 “ 期 待 数 数 列 {an } 的 和 数 列 {Sk } (k ? 1 , 2 n
列” . ----------------------18 分 考点: (1)等比数列的前 n 和公式与通项公式; (2)等差数列的前 n 和公式与通项公式; (3) 数列综合题.

5. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试 (即一模) 数学 (理) 试题】 已知数列 ? a n ?,

满足 a 2 ? 6 ,

a n ?1 ? a n ? 1 1 ? n? N? , a n ?1 ? a n ? 1 n

?

?

(1)已知 b1 ? 1, bn ?1 ?

an?1 (n ? N *) ,求数列 {bn } 所满足的通项公式; n(n ? 1)

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)己知 lim
n??

n 2
n

? 0 ,设 cn =

an (n ? N *) ,常数 c ? 0, c ? R ,若数列 {cn } 是等差数列, n?c
Sn ? cncn ,求 lim n ?? .



Sn ? c1c ? c2c2 ? c3c3 ?

?1, n ? 1 4 ? 【答案】 (1) bn ? ? 1 ; (2) an ? n(2n ?1) ; (3) ? . 9 ? 2, n ? 2 ? ? n ?1
【解析】 试题分析: (1) 这属于数列的综合问题, 我们只能从已知条件出发进行推理, 以向结论靠拢, 由已知

an ?1 ? an ? 1 1 ? 可得 (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an ? ?(n ? 1) ,从而当 n ? 1 时有结论 an ?1 ? an ? 1 n

an ?1 an 1 ? ? (n ? 1)n n(n ? 1) n
? 1 ,很幸运,此式左边正好是 bn?1 ? bn ,则此我们得到了数列 {bn } 的相邻两项的差 n ?1

那么为了求 bn , 可以采取累加的方法 (也可引进新数列) 求得, 注意这里有 n ? 2 , bn?1 ? bn , 对 b1 要另外求得; (2)有了第(1)小题 bn ,那么求 an 就方便多了,因为 an ? n(n ? 1)bn , 这里不再累赘不; (3)在(2)基础上有 cn ?

n(2n ? 1) ,我们只有求出 c 才能求出 Sn ,这 n?c

里可利用等差数列的性质,其通项公式为 n 的一次函数(当然也可用等差数列的定义)求出

1 c ? ? ,从而得到 cn ? 2n ,那么和 Sn 的求法大家应该知道是乘公比错位相减法,借助已 2 n 知极限 lim n ? 0 可求出极限 lim S n . n ?? n ?? 2

?1, n ? 1 ? ∴ bn ? ? 1 . ? 2, n ? 2 ? ? n ?1
(说明:这里也可利用 bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ,依据递推,得 n n ?1 (n ? 1) ? 1 n ?1

bn ?

1 1 1 ? b2 ? ? bn ? 2 ? (n ? 2) ) n ?1 1 n ?1

6. 【上海市长宁区

2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】由函数

y ? f ( x) 确定数列 ?an ? , an ? f (n) .若函数 y ? f ?1 ( x) 能确定数列 ?bn ?, bn ? f ?1 (n) ,
则称数列 ?bn ?是数列 ?an ? 的“反数列”. (1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ?,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ?,不等式

1 bn ?1

?

1 bn ? 2

?? ?

1 1 ? log a (1 ? 2a ) 对任意的正 b2 n 2

整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 c n ?

数列 ?t n ?的前 n 项和 S n .

1 ? (?1) ? n 1 ? (?1) ? ?3 ? ? (2n ? 1) ( ? 为正整数) ,若数列 ?c n ? 的反数列为 2 2 ?d n ?,?c n ?与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?(公共项 t k ? c p ? d q , k, p, q 为正整数) ,求

(3)当 ? 为奇数时, c ? 2n ? 1 , n

dn ?

. 1 (n ? 1) 2

????11分

由 2 p ?1 ? 即 ?c 所以

1 (q ? 1) ,则 q ? 4 p ? 3 , 2
????13分 ????14分

n

? ? ?d n ?,因此 t n ? 2n ? 1 ,

Sn ? n2 .

当 ? 为偶数时,

cn ? 3n , d n ? log3 n .
p

????15分
n

由 3 p ? log3 q 得 q ? 33 ,即 ?cn ? ? ?d n ?,因此 t n ? 3 , 所以

????17 分 ????18分

Sn ?

3 n (3 ? 1). 2

考点: (1)反函数; (2)数列的单调性; (3)分类讨论,等差数列与等比数列的前 n 项和.

7. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】数列{an }
的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) .设 bn ? S n ? 1 , . cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式;
* (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {cn } 为等比数列,且 a , t ,

k 成等差数列.

(n ? 3)[(n ? 3)a ? 2] ? 0 ,可分类( n ? 1, n ? 2, n ? 3, n ? 4 )分别求出 a 的范围,最后取
其交集即得; (3)考查同学们的计算能力,方法是一步步求出结论,当 t ? 1 时,an ? at n?1 ,

Sn ?

a(1 ? t n ) a (1 ? t n ) ?1 , bn ? 1? t 1? t a at n ? ,最后用分组求和法求出 1? t 1? t

? 1?

cn ? k ? b1 ? b2 ?

? bn ?

at n?1 1 ? a ? t k (1 ? t )2 ? at , ? ? n ? (1 ? t )2 1? t (1 ? t )2

?1 ? a ? t ?0, ? ? 1? t 根据等比数列的通项公式的特征一定有 ? ,再加上三个正数 a , t , k 成 2 ? k (1 ? t ) ? at ? 0 2 ? ? (1 ? t )
等差数列,可求出 a , t , k ,这里考的就是计算,小心计算.

a (1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n ?1 ? 1? ? (3)当 t ? 1 时, S n ? , bn ? , 1? t 1? t 1? t 1? t

8.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】
*

设项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 {an } 、 {bn }、 {cn }前 n 项的和分别为 Sn 、 Tn 、 U n . 已知集合 {a1 , a2 ,

, ak , b1, b2 ,

, bk } = {2, 4, 6,

, 4k ? 2, 4k} .

(1)已知 U n ? 2n ? 2n ,求数列 {cn }的通项公式;
* (2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2n (1 ? n ? k, n ? N ) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合

条件的数列对( {an } , {bn }) ,并说明理由; (3 )若 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N * ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对 ( {an } , {bn })有偶数对.

【答案】 (1) cn ? ?

?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

; (2) k ? 4 时,数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一)

6,12,16,14;2,8,10,4, k ? 6 时,数列对( {an } , {bn })不存在.(3)证明见解析.

【解析】

6,12,16,14;2,8,10,4



16, 10,8,14;12,6,2,4

???????8 分

当 k ? 6 时, ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1)k ?1
1 2 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ?2 k ?1 ? Ckk? 1 ? Ck ?1

1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn })不存在. 另证: ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
0 1 当 k ? 6 时, 2k ? Ck ? Ck ? Ck2 ?

????????????10 分

1 ? Ckk ?1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知数列 ?an ? 具有性

质:① 对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时, a1 为整数;②

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m ?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n ?N)时,都有 an ? 0 .

故对于给定的 m , Sn 的最大值为 a1 ? a2 ?

? am ? am?1

? (2m ? 3) ? (2m?1 ? 1) ? 2m?2 ? 2m?3 ?

? 20 ? (2m ? 2m?1 ?

? 20 ) ? 4

?

2 m ?1 ? 1 ? 4 ? 2 m ?1 ? 3 ,所以 Sn ? 2m?1 ? 3 . (6 分) 2 ?1

10.【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷 (理科) 】
设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N* 都有 2S n ? ?kn ? b??a1 ? an ? ? p 成立, (其 中 k 、 b 、 p 是常数) . (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 S n ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, ①若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; ②设数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “ ? 数列” . 如果 a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在数列 ?an ? 为“ ? 数列” ,使得对任意 n ? N* ,都有

Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 S1 S2 S3

?

1 11 ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所 S n 18

有取值构成的集合;若不存在,说明理由.

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,

n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2

? an ) ,



用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2

? an ? an?1 ) , ④



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

…….17 分 ?? 18 分

所以,首项 a1 的所有取值构成的集合为 ?4, 6, 8, 10? (其他解法,可根据【解】的评分标准给分)

考点:(1)已知 Sn 与 an 的关系,求 an 和 Sn ;(2)等差数列的通项公式,前 n 项和 Sn .



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