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广东省实验中学2013-2014学年高二下学期期中数学理试题 Word版含答案



广东实验中学 2013—2014 学年(下)高二级期中考试

理科数学
本试卷分基础检测、能力检测两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干

净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

第一部分

基础检测(100 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.若复数(1+bi) (2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b R),则 b 等于 ( ) A.2 B.-2 C.-

1 2

D.

1 2

2.为防止某种疾病,今研制一种新的预防药.任选取 100 只小白鼠作试验,得到如下的列联表:

经计算得 K 的观测值为 3.2079 ,则在犯错误的概率不 超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效” 。 B. 0.10 C. 0.01 D. 0.005

2

A. 0.025 参考数据:

0 , 3.有一段“三段论”推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) , 若 f ?( x0) ? 则 x ? x0 是函数 f ( x)
的极值点. 因为 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是 f ( x) ? x3 的极值点. 以上推理中 A.大前提错误 ( ) B. 小前提错误 C.推理形式错误 ) D. e ? ex
x

D.结论正确

4.下列不等式对任意的 x ? (0, ??) 恒成立的是( A. x ? ln(1 ? x ) B. x ? x ? 0
2

C. sin x ? ? x ? 1

π π 5.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) 3 3 A. 1 2
2

B.1

C.

3 2

D. 3

6.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0 在 (0, 2) 内根的个数有( )
3

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

7.若函数 f ( x) 满足 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 ,设 a ? 为 ( ) B. b ? 0 ? a

f (1) , b ? f (2) ,则 a , b 与 0 的大小关系 2
D. b ? a ? 0

A. a ? 0 ? b
8.给出下列五个命题:

C. a ? b ? 0

①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用 系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号,33 号,46 号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为 23; ②一组数据 1、2、3、3、4、5 的平均数、众数、中位 数相同; ③一组数据 a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为 1, 则样本标准差为 2; ④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为

y ? bx ? a中, a ? 2 , x ? 1, y ? 3 ,则 b =1;
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克,并且小于 104 克 的产品的个数是 90. 其中真命题为: A. ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题(4*6 分=24 分) 9.若

?

a ? 1 ? bi , 其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi ? ______ . 1? i

10.如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可知其中位数 为 .

11.曲线 f ( x) ?

ln x 在点 P(1, 0) 处的切线方程是 x



12.观察下列等式:
2 1 2 , ( 1? x ? x ) ? 1 ?x ?x

2 2 2 ( 1? x ? x ) ? 1? 2 x ? 3 x

3 ? 2 x

4 ,x ?

2 3 2 ( 1? x ? x ) ? 1? 3 x ? 6 x

3 ? 7 x

4 ? 6 x

5 6 , ?x ? 3 x

2 4 2 3 4 5 6 7 8 , 4 ( 1? x ? x ) ? 1? 4 x ? 1x 0 ? 1 x 6 ? 1 x 9? x 1 6? x 10 ? x ?x

由以上等式推测:对于 n ? N ? ,若 (1 ? x ? x2 )n ? a ? a x ? a x2 ? 0 1 2

? a2 n x2 n

. 则 a2 ? ______
三、解答题 13. (8 分)已知复数 z ? a ? i (a ? R) ,且 | z ? 1 |? 1 ,若 z, z 2 , z ? z 2 在复平面中对应的 点分别为 A, B, C ,求 ?ABC 的面积.

14. (10 分,每小题 5 分) (1)已知 a ? 0, b ? 0且a ? b ? 2, 求证:

1? b 1? a , 中至少有一个小于 2。 a b

(2)设 x>0,y>0 且 x+y=1,求证: ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? ?1 ? ? ≥9. x ?? y ?

15.(10 分) 阅读下面材料:根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?

……………① ……………② ③ …………

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B cos 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (1)利用上述结论,试求 sin 15 ? sin 75 的值。
0 0

(2)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? 2 cos

A? B A? B ? cos 。 2 2

(3)求函数 y ? cos 2 x ? cos( 2 x ?

) x ? [0, ] 的最大值。 6 4 第二部分 能力检测(50 分) * * 2n?2 16.(5 分) 已知 f (n) ? 3 存在 m ? N , 使对任意 n ? N , 都有 m 整除 f ( n) , ? 8n ? 9 ,
则 m 的最大值为______________. 17.(5 分)对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 定义: 设 f '' ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数 f ' ( x) 的导数,若方程 f '' ( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ?x0 , f ( x0 ) 都有对称中心” ,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件. (1) 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x 的对称中心为________. (2) 若函数 g ( x) ?
9 1 3 1 2 5 i x ? x ? 3x ? , 则? g ( ) ? 3 2 12 10 i ?1

?

?

? 为函数

;任何一个三次函数 y ? f ( x) 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’

.

18.(12 分)正三角形有这样一个性质:正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和 为定值.且此定值即高. 类比到空间正四面体,对于空间正四面体内任一点(不与顶点重合),关注它到四个面的 距离和, 请类比出一个正确的结论.并予以证明.

19. (14 分)设正项数列 {an } 的前 n 项和 S n ,且满足 S n ?

1 2 n a n ? (n ? N ? ) . 2 2

(Ⅰ)计算 a1 , a2 , a3 的值,猜想 {an } 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)设 Tn 是数列 {

4n 1 . } 的前 n 项和,证明: Tn ? 2 2n ? 1 an

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x , a ? R . 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值;
20. (14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求证:无论 c 取何值,直线 y ? ?6 2 x ? c 均不可能与函数 f ( x ) 相切;

(Ⅲ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ? ? ? ,且 x1 ? x2 ,有 成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由。

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a恒 x2 ? x1

广东实验中学 2013—2014 学年(下)高二级期中考试理科数学

参考答案
第一部分 基础检测(100 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. A 2. B 3. A 4.A 5.D 6.B. 7. D 8.B 二.填空题(4*6 分=24 分) 9.

5

10.13

11. y ? x ? 1

12.

n( n ? 1) 2

三.解答题 13.解: z ? 1 ?

(a ? 1) 2 ? 1 ? 1得a ? 1,即z ? 1 ? i ?????3 分

所以 z 2 ? (1 ? i) 2 ? 2i,

z ? z 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? 3i ????5 1 所以 A(1,1), B(0,2), C (1,?3) ,即 S ?ABC ? ? 4 ? 1 ? 2 ?????8 分 2
14. (1)证明:假设

1? b 1? a 1? b 1? a , ? 2, ?2 都不小于 2,则 a b a b
……………..3

…………2

? a ? 0, b ? 0, ?1 ? b ? 2a, 1 ? a ? 2b, ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) , 即 a ? b ? 2
这与已知 a ? b ? 2 矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. (2)证明:证法一(综合法) : 左边 ? ?1 ?

…………….4 ……………..5

? ?

x ? y ?? x ? y ? ? ? ? ?2? ? ?1 ? x ?? y ? ? ? ?

y ?? ?? 2 ? x ??

?y x? ? ? 5 ? 2? ? y? ?x

x? ? ? 5? 4 ? 9. y?

证法二(分析法) :要证 ?1 ?

1 ?? 1 ? ? ?1 ? ? ≥9 成立, -----1 分 x ?? y ?

因为 x>0,y>0,且 x+y=1,所以 y=1-x>0. 只需证明 ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? ≥9, --------------------2 分 x ?? 1 ? x ?

即证(1+x)(2-x)≥9x(1-x),-------------------------3 分 即证 2+x-x ≥9x-9x ,即证 4x -4x+1≥0. 即证(2x-1) ≥0,此式显然成立,----------------------4 分 所以原不等式成立.----------------------------------5 分
2 2 2 2

15.解:

(1) sin 150 ? sin 750 ? 2 sin 150 ? 750 150 ? 750 6 ? cos ? 2 sin 450 ? cos(?300 ) ? 2 2 2
……………………3 (2)因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , ①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , ②
①+② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 cos? cos ? ,

???5 ③ ?????6 ????7

A? B A? B ,? ? , 2 2 A? B A? B ? cos 代入③得: cos A ? cos B ? 2 cos . 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (3) .由(2)知, y ? cos 2 x cos(2 x ?

?

1 ? ? 1 ? 3 ) ? [cos(4 x ? ) ? cos ] ? cos(4 x ? ) ? 6 2 6 6 2 6 4
???????8

? ? ? 7? ? x ? [0, ], ? 4 x ? ? [ , ] , 4 6 6 6
故函数的最大值为 f (0) ?

………………………..9

3 . 2

……………………………10

第二部分 16. 64 17.(1). (1,1) (2) 9.

能力检测(50 分)

18.解: 类比的结论是: 空间正四面体内任一点(不与顶点重合)到它的四个面的距离和为定 值.且此定值即正四面体的高. 下面给出证明:如图: 正四面体 ABCD,P 为其内部一点,则点 P 将四面体分成四个共顶点
M3 M4 B M1 P D M2

………………………..3
A

C

的三棱锥. 设点 P 到四个面的距离分别记为 PM1 高记为 h 由 VP? BCD ? VP? ACD ?V P? ABD?VP? ABC ? VABCD

, PM 2

, PM3

, PM 4 , 正四面体的

……6

1 1 1 1 S ?BCD ? PM 1 ? S ?ACD ? PM 2 ? S ?ABD ? PM 3 ? S ?ABC ? PM 4 3 3 3 3 得: 1 ? S ?BCD ? h 3
………………………9

? ABCD 为正四面体,? 四个面面积相同.

? PM1 ? PM 2 ? PM3 ? PM 4 ? h

…………..12

19. (Ⅰ)解:

1 2 1 1 2 a1 ? ,得 a1 ? 1 ; a1 ? a 2 ? S 2 ? a 2 ? 1 ,得 a 2 ? 2 ; 2 2 2 1 2 3 a1 ? a 2 ? a3 ? S 3 ? a3 ? ,得 a3 ? 3 . 2 2
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 猜想 an ? n ………………………………………….3’ 证明: (ⅰ)当 n=1 时,显然成立. (ⅱ)假设当 n=k 时, ak ? k …………………….4’ 则当 n=k+1 时,

a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

1 2 k ?1 1 2 k 1 2 k ?1 1 2 k a k ?1 ? ? ( ak ? ) ? ak ?( k ? ) ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2

结合 an ? 0 ,解得 ak ?1 ? k ? 1 ………………..6’ 于是对于一切的自然数 n ? N ,都有 an ? n …………7’ (Ⅱ)证法一:因为
?

1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4n Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? )? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2 n n2 ?

1 ? n2

1

? 2(

1 1 ? ) ,………………10’ 2n ? 1 2n ? 1

……………………………………………………………………………………14’ 证法二:数学归纳法 证明: (ⅰ)当 n=1 时, T1 ?

1 4 ?1 4 4 ?1, ? , 1 ? ………………………………….8’ 2 2 ?1 ? 1 3 3 1

(ⅱ)假设当 n=k 时, Tk ? 则当 n=k+1 时, Tk ?1 ? Tk ?

4k ………………………………………………………………9’ 2k ? 1

1 4k 1 ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2 (k ? 1)

要证: Tk ?1 ?

4(k ? 1) 2(k ? 1) ? 1

只需证:

4k 1 4(k ? 1) ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1

由于

4(k ? 1) 4k 4 4 1 ? ? ? ? 2 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1 (2k ? 3)(2k ? 1) (2k ? 2) ? 1 (k ? 1) 2 4k 1 4(k ? 1) ………………………13’ ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1

所以

4n ……………………….14’ 2n ? 1 20. 解; (Ⅰ)显然函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , ....................1 分
? 于是对于一切的自然数 n ? N ,都有 Tn ?

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? . ( x ? 0) ...............2 分 x x ∴ 当 x ? ? 0,2?时, f ?( x) ? 0 , x ? ? 2, ??? , f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 x ? 2 时取得最小值,其最小值为 f (2) ? ?2ln 2 . ............ 4 分 2 (Ⅱ)∵ a ? ?1? f ?( x) ? x ? ? 3 , ....................................5 分 x 假设直线与 f ( x) 相切,设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x0 ) ? ?6 2 2 x ? 0 ? f ?( x0 ) ? x0 ? ? 3 ? 2 2 ? 3 ? ?6 2 所以 f ?( x0 ) ? ?6 2 所以无论 c 取何 x0
当 a ? 1时, f ?( x) ? 值,直线 y ? ?6 2 x ? c 均不可能与函数 f ( x ) 相切。....................8 分 (Ⅲ) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ? ? ? , 且 x1 ? x2 , 有 恒成立,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,只要

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a, x2 ? x1

令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,只要 g ( x) 在 ? 0, ? ? ? 为增函数 又函数 g ( x) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即: f ? x2 ? ? ax2 ? f ? x1 ? ? ax1 x2 ? x1

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x . 2

考查函数 g ?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a ?2 ? ? ..................12 分 x x x

要使 g ?( x) ? 0在(0,?? )恒成立 , 只要 ? 1 ? 2a ? 0, 即a ? ?

1 , 2

故存在实数 a ? (?? ,? ]时, 对任意的 x1 , x2 ? (0,?? ), 且x1 ? x 2 , 有

1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a, 恒成立..................................................14 分 x2 ? x1



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