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2014-2015学年山东省烟台市招远二中高一(下)质检数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年山东省烟台市招远二中高一(下)质检数学试卷
一.选择题(每题 5 分共 50 分) 1.下列命题正确的是( ) A. 第一象限角是锐角 B. 钝角是第二象限角 C. 终边相同的角一定相等 D. 不相等的角,它们终边必不相同 考点: 象限角、轴线角. 专题: 常规题型. 分析: 对象限角和锐角,钝角及终边相同角的定义的理解. 解答: 解:由任意角和

象限角的定义易知锐角是第一象限角,但第一象限角不都是锐角, 故 A 不对, ∵终边相同的角相差 2kπ,k∈Z,故 C,D 不对 ∴只有 B 选项是正确的. 故选 B 点评: 本题考查象限角和轴线角的定义,是个基础题,理解好定义是解决问题的根本. 2. (2015?汇川区校级三模)扇形的周长为 6cm,面积是 2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2 或 4 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题;方程思想. 2 分析: 设出扇形的圆心角为 αrad,半径为 Rcm,根据扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm , 列出方程组,求出扇形的圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形的圆心角为 αrad,半径为 Rcm, 则 ,解得 α=1 或 α=4.
2

选 C. 点评: 本题考查扇形面积公式,考查方程思想,考查计算能力,是基础题. 3. (2015 春?招远市校级月考)如果点 P(sin2θ,cos2θ)位于第三象限,那么角 θ 所在象 限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第二或第四象限 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据所给的点在第三象限,写出这个点的横标和纵标都小于 0,根据这两个都小于 0,得到角的正弦值大于 0,余弦值小于 0,得到角是第二象限的角.

解答: 解:∵点 P(sin2θ,cos2θ)位于第三象限, ∴sin2θ=2sinθcosθ<0,可得 θ 在第二或四象限, cos2θ<0,可得:k ,k∈Z,

∴θ 是第二或四象限的角. 故选:D. 点评: 本题考查三角函数的符号, 这是一个常用到的知识点, 给出角的范围要求说出三角 函数的符号,反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围.

4. (2015 春?招远市校级月考)如果 sin(α﹣ A. B. ﹣

)= ,那么 cos(α+

)=(

) D.

C. ﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:∵sin(α﹣ =﹣ , 故选:B. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的 易错点,属于基础题. 5. (2015 春?招远市校级月考)已知函数 f(cosx)=cos2x,则 f(sin15°)=( A. B. C. ﹣ D. ﹣ ) )= ,那么 cos(α+ )=﹣sin[(α+ )﹣ ]=﹣sin(α﹣ )

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 2 分析: 由题意可得 f(sin15)=2sin 15°﹣1=﹣cos30°,计算可得结果. 解答: 解: ∵函数 f (cosx) =cos2x=2cos x﹣1, 则f (sin15°) =2sin 15°﹣1=﹣cos30°=﹣ 故选:D. 点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. ﹣2x) (x∈[0,π])为增函数的区间是(
2 2



6. (2014?武侯区校级模拟)函数 y=2sin(



A. [ ,π]

[0,

]

B. [

]

C. [



]

D.

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的单调性,确定单调区间,结合 x 的范围,可得结论. 解答: 解:由正弦函数的单调性可得 ∴﹣ ﹣kπ≤x≤﹣ ﹣kπ ≤ ﹣2x≤ (k∈Z)

k=﹣1,则 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性,考查学生的计算能力,属于基础题.

7. (2012?自贡三模)要得到 A. 位 C. 位

的图象,只需将 y=3sin2x 的图象( 向左平移 个单位 B. 向右平移

) 个单

向左平移

个单位

D. 向右平移

个单

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据左加右减的原则进行左右平移即可. 解答: 解:∵ ∴只需将 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位 ,

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减. ) ,当 x∈[ ]时 f(x)的

8. (2015 春?招远市校级月考)下函数 f(x)=2sin(2x+ 值域为( A. 1,2] 考点: 正弦函数的图象. ) [﹣ , ] B.[﹣1,1]



C. [﹣ ,1] D. [﹣

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得 f(x)的值域. 解答: 解:当 x∈[ 故 2sin(2x+ , ]时,2x+ ∈[ , ],sin(2x+ )∈[﹣ ,1],

)∈[﹣1,2],即 f(x)∈[﹣1,2],

故选:D. 点评: 本题主要考查正弦函数的定义域和值域,属于基础题.

9. (2012 春?中山期末)函数 y=cosx?|tanx|(﹣

<x

)的大致图象是(



A.

B.

C.

D. 考点: 正弦函数的图象;同角三角函数间的基本关系. 专题: 图表型. 分析: 将函数 y=cosx?|tanx|(﹣ <x )去掉绝对值符号,转化为

y=

,由正弦函数图象即可得到答案.

解答: 解:∵函数 y=cosx?|tanx|(﹣

<x

)可化为:

y=



对照正弦函数 y=sinx(﹣

<x

)的图象可得其图象为 C.

故选 C. 点评: 本题考查正弦函数的图象, 关键是将原函数中的绝对值符号去掉, 转化为分段的正 弦函数来判断,属于中档题.

10. (2004?天津)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正 周期是 π,且当 x∈[0, A. ﹣ ]时,f(x)=sinx,则 f( B. )的值为( ) C. ﹣ D.

考点: 函数单调性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 要求 f( 变量转化到区间[0 ) ,则必须用 f(x)=sinx 来求解,那么必须通过奇偶性和周期性,将 ]上,再应用其解析式求解.

解答: 解:∵f(x)的最小正周期是 π ∴f( )=f( ﹣2π)=f(﹣ )

∵函数 f(x)是偶函数 ∴f( )=f( )=sin = .

故选 D 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性, 周期性以及应用区间上的解析性求函数值, 是基础 题,应熟练掌握. 二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11. (2015 春?招远市校级月考)已知 tanx=6,那么 sin x+ cos x=
2 2



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 把所求式子利用 sin x+cos x=1 化为只含 cos x 的式子,然后再利用 sec x=1+tan x=
2 2

把原式化为关于 tanx 的式子,把 tanx 的值代入即可求出原式的值.

解答: 解:由 tanx=6, 则 sin x+ cos x= (1﹣cos x)+ cos x = ﹣ cos x= ﹣
2 2 2 2 2

= ﹣

=



故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用.根据已知 tanx 的值,把所求的式子利 用同角三角函数间的基本关系弦化切为关于 tanx 的式子是解本题的思路.

12. (2015 春?招远市校级月考)sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 89°=

2

2

2

2



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 利用三角函数的平方关系式,sin α+cos α=1,结合角的互余关系,把 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 89°转化为 cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 89°, 求和即可求出原式的 值. 2 2 2 2 解答: 解:设 S=sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 89°, 2 2 2 2 2 2 2 2 又∵S=sin 89°+sin 88°+sin 87°+…+sin 1°=cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 89°, ∴2S=89, 则 S= .

故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

13. (2015 春?招远市校级月考) 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 设 则 的模为 2 .



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则将所求变形,利用正方形的边对应的向量表示,即可求模. 解答: 解:正方形如图, 所以 故答案为:2. 的模为 2; = =2 ,

点评: 本题考查了平面向量的三角形法则; 解得本题的关键是将所求利用正方形的两边对 应的向量表示.

14. (2015 春?招远市校级月考)若 f(x)=sin(ωx+ (x)在区间( )上有最小值,则 ω= 8k﹣

) (ω>0) ,f( ,k≥1 .

)=f(

) ,且 f

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据条件 ( f ) =f ( ) , 可以得到函数的对称轴, 利用函数 ( f x) 在区间 ( )

上有最小值,确定角满足的条件即可. 解答: 解:∵f( )=f( ) ,且 f(x)在区间( )上有最小值,

∴x= 即 ω+ =﹣

是函数 f(x)的对称轴,且此时 f( +2kπ,k∈Z, ,k≥1, ,k≥1

)=﹣1,

解得 ω=8k﹣

故答案为:8k﹣

点评: 本题主要考查三角函数解析式的应用,根据三角函数的对称性是解决本题的关键. 15. (2015 春?招远市校级月考)下列命题: ①函数 y=﹣sin(kπ+x) (k∈Z)是奇函数; ②函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ③设 θ 为第二象限角,则 tanθ>cos
2

,且 sin

>cos

④函数 y=cos x+sinx 的最小值为﹣1 其中真命题的序号是 ①④ ( (写出所有正确命题的编号) ) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 依次分析命题:①根据奇函数的定义进行判断; ②结合函数 y=sin|x|的图象可判断; ③首先推知 所在的象限,然后再来比较它们的大小;
2

④根据 sinx∈[﹣1,1]、y=﹣(sinx﹣ ) + ,利用二次函数的性质求得它的最小值.

解答: 解:①函数 y=﹣sin(kπ+x) (k∈Z)= ②函数 y=sin|x|得图象如图所示,由图象可知函数不是周期函数,

,为奇函数,成立;

故②不成立; ③∵θ 是第二象限的角,即 2kπ+ ∴ 可能在第一或第三象限, ,sin
2

<θ<2kπ+π,k∈z,可得 kπ+



<kπ+



∴无法比较 tanθ 与 cos
2

与 cos

的大小,故③不一定成立;
2

④函数 y=cos x+sinx=﹣sin x+sinx+1=﹣(sinx﹣ ) + ,再根据 sinx∈[﹣1,1], 可得当 sinx= 时,函数取得最大值为 ,当 sinx=﹣1 时,函数取得最小值为﹣1, 故④成立. 综上所述,正确的结论是:①④. 故答案是:①④. 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要注意函数的连续性和极限的灵活运用. 三.解答题: (共 75 分) 16. (2013 春?九原区校级期末)已知 (1)求 sinx﹣cosx 的值; (2)求 的值. , .

考点: 同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 可知 x 是第四象限角,从而 sinx<0,cosx>0,由此可知 sinx
2 2

﹣cosx<0.再利用平方关系式求解. (sinx﹣cosx) =(sinx+cosx) ﹣4sinxcosx. (2)由(1)求出 tanx,sinx,cosx 代入分式即可得到答案. 解答: 解: (1)∵ ,∴sinx<0,cosx>0,则 sinx﹣cosx<0,

又 sinx+cosx= ,平方后得到 1+sin2x= ∴sin2x=﹣
2

, ,

∴(sinx﹣cosx ) =1﹣sin2x=

又∵sinx﹣cosx<0, ∴sinx﹣cosx=﹣ . (2)由(1)可得 sinx=﹣ ,cosx= ,tanx=﹣ ,

代入分子分母中,原分式可化为:

=

=
2 2

点评: 本题利用公式(sinx﹣cosx) =(sinx+cosx) ﹣4sinxcosx.求解时需要开方,一定 要注意正负号的取法,注意角 x 的范围. 17. (2015 春?招远市校级月考)求解下列问题: (1)已知设 f(α)= (1+2sinα≠0) ,求

f(﹣



(2)证明:

=



考点: 三角函数恒等式的证明;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)首先利用三角函数的诱导公式化简 f(α) ,然后计算; (2)利用三角函数的基本关系、倍角公式进行证明. 解答: 解: (1)f(α) = = =

, (1+2sinα≠0) ,

所以 f(﹣

)=

=

=

﹣1;

(2)

=

=

=

=右

边. 点评: 本题考查了三角函数的诱导公式的运用化简三角函数式以及利用基本关系式证明 三角函数式;注意三角函数的符号和名称的变化.

18. (2015 春?招远市校级月考)已知函数 f(x)=2sin(x+ (1)求常数 a 的值 (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值范围.

)+a 的最大值为 1

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数的最大值为 1,得到 2+a=1,即可求常数 a 的值 (2)根据三角函数的图象和性质解不等式 f(x)≥0 即可. 解答: 解: (1)∵f(x)=2sin(x+ ∴当 2sin(x+ 即 a=﹣1. (2)∵a=﹣1, ∴f(x)=2sin(x+ )﹣1, )﹣1≥0, )+a 的最大值为 1,

)=1 时,函数取得最大值为 2+a=1,

则由 f(x)≥0 得 2sin(x+ 即 sin(x+ 即 2kπ+ 即 2kπ﹣ )≥ , ≤x+ ≤2kπ+

,k∈Z,

≤x≤2kπ+

,k∈Z, ,2kπ+ ],k∈Z.

即 x 的取值范围是[2kπ﹣

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用正弦函数的有界性先求出 a 的值是解决 本题的关键.

19. (2015 春?招远市校级月考)已知函数 y=2sin(2x+



(1)写出这个函数的振幅,初相和最小正周期; (2)求 y 的最大值及此时 x 的值; (3)写出这个函数的单调增区间; (4)画出这个函数的图象,并说出它是怎样由 y=sinx 的图象变换而得到的?

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的解析式求得这个函数的振幅,初相和最小正周期. (2)由条件利用正弦函数的最值,求得 y 的最大值及此时 x 的值. (3)由条件利用正弦函数的单调性,求得这个函数的单调增区间. (4)用五点法作函数在一个周期上的简图,再根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可 得结论. 解答: 解: (1)对于函数 y=2sin(2x+ (2)函数的最大值为 2,此时,2x+ (3) 令 2kπ﹣ kπ+ ],k∈z. ≤2x+ ≤2kπ+ ) ,它的振幅为 2,初相为 ,k∈z,即 x=kπ+ ≤x≤kπ+ ,周期为 =π.

=2kπ+

,k∈z. ,

, 求得 kπ﹣

,故函数的增区间为[kπ﹣

(4)用五点法作出它在一个周期上的简图: 2x+ x y 0 ﹣ 0 2 0 ﹣2 0 π 2π

把 y=sinx 的图象向左平移

个单位,可得 y=sin(x+

)的图象; )的图象; )的图象.

再把所得图象的横坐标变为原来的 倍,可得 y=sin(2x+ 再把所得图象的纵坐标变为原来的 2 倍,可得 y=2sin(2x+

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,正弦函数的单调性和最值,用 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属 于中档题.

20. (2015 春?招远市校级月考)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 象如图所示. (1)求函数 y=f(x)的解析式;

) 的部分图

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y=

与函

数 y=g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数图象可得 A,T,利用周期公式可得 ω,由点( 上,结合范围|φ|< ,解得 φ,从而可求函数 y=f(x)的解析式. ) ,由 2sin(2x+ , )= , ,0)在函数图象

(2)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换得到 g(x)=2sin(2x+ 可解得:sin(2x+ 即可得解. 解答: 解: (1) 由函数图象可得: A=2, T= 由点( ,0)在函数图象上,可得:2sin(2× ,所以解得:φ= . ) . )= ,由 x∈(0,π)可求 2x+ ∈(

) ,从而可得 x 的值,

=π, 可得 +φ)=0,解得:φ=k

, ,k∈Z,

因为:|φ|<

故函数 y=f(x)的解析式为:y=2sin(2x+ (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 (2x+ ) , )= ,可解得:sin(2x+

个单位,得到 y=g(x)=2sin[2(x﹣

)+

]=2sin

由 2sin(2x+ ∵x∈(0,π) ∴2x+ ∴2x+ ∈( =

)=





) , , ) .

,解得 x=

∴直线 y=

与函数 y=g(x)的图象在(0,π)内交点的坐标为(

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换,函数的图象的交点的求法,考查计算能力,属于基本知识的考查.

21. (2015 春?招远市校级月考)已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点 的坐标为( ) . (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数的最高点的坐标确定 A,根据函数零点的坐标确定函数的周期,利 用最值点的坐标同时求 ψ 的取值,即可得到函数的解析式. (2)利用五点法即可得到结论. 解答: 解: (1)∵函数图象的一个最高点为( ∴A= ,x= ,为其中一条对称轴. , ) , , ) ,此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点( π,0) ,若 φ∈(﹣ ,

这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于( π,0) , ∴ = π﹣ = ,

即函数的周期 T=π, ∵T= ,

∴ω=2, 此时函数 y=f(x)= ∵f( ∴sin( 即 +φ= , , ) . , )= sin(

sin(2x+φ) , ×2+φ)= ,

+φ)=1, ,

即 φ= ∵φ∈(﹣

∴当 k=0 时,φ=

∴这个函数的解析式为 y=f(x)= (2)列表: x ﹣

sin(2x+

) .

2x+ sin(2x+

0 )0

π 0 ﹣

2π 0

作出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图.图象如下.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件确定 A,ω,φ 的取值是解决本题 的关键.



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