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解三角形基础知识精题讲解



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知识点一、解三角形基础知识
已知三角形 ABC 中,角 A、角 B、角 C 所对的边分别是 a、b、c。则

一、三边关系:
|a-b|∠c∠a+b(两边之差小于第三边,两边之和大于第三边)

二、三角关系
1、∠A+∠B+∠C=180 O O 2、最小角不能大于 60 ,最大

角不能小于 60
O

三、边角关系
1、大边对大角;大角对大边; 2、等边对等角;等角对等边; 3、 (1)正弦定理:

a b c = = =2R sin A sin B sin C

.外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆 心,连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同 弧所对的圆周角相等可以得到 c c ? 2R ∠BAB′=90° ,∠C =∠B′,∴sinC=sinB′= sin C ? sin B? ? ∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2R ∴ ? ? ? 2R 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 a b c ? ? sin A sin B sin C
(变形①、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC ②、sinA=
1/5

a b c ;sinB= ;sinC= 2R 2R 2R

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③、a:b:c=sinA:sinB:sinC) ;其中 2R 是三角形外接圆直径 (2)正弦定理的作用: ①、已知两边及其中一边的对角,解三角形 ②、已知两角及一边解三角形 ③不解三角形判断三角形的解的情况形状 ⅰ.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 ⅱ.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4、 (1)余弦定理:a =b +c -2bccosA;b =a +c -2acconB;c =a +b -2bcconC

? ? (变形 cosA= b c a 2bc

2

2

2

? ? ;cosB= a c b 2ac

2

2

2

? ? ;cosC= a b c 2ab

2

2

2



(2)余弦定理的作用: ①、已知两边及其夹角,解三角形; ②已知三边,解三角形 ③已知两边及其中一边的对角,解三角形 ④不解三角形判断三角形的形状

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角 ? ? ?ABC是锐角三角形
四、三角形的面积

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五、三角形内角平分线定理: 在△ABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D.则 六、三角形外角平分线定理: 在△ABC 中,∠A 的外角平分线 AD 与边 BC 的延长线相交于点 D.则

BD AB ? 。 DC AC BD AB ? 。 DC AC

贰、例题讲解
1、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 2、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值 ( )

? 5? ? 2? 或 D. 或 6 3 6 3 2 2 C ? 0 有一个根为 1, 3、 关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos 则△ABC 一定是 ( 2
A. B. C. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4、命题“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 5、在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 条件 6、sinA>sinB 是 A>B 的 条件 7、△ABC 的三边分别为 a,b,c,且 S△= ,则角 C=______

? 6

? 3



8、在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。

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叁、巩固与提高
1、在Δ ABC 中,条件甲:A<B,条件乙:cos A> cos B,则甲是乙的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 件 2、命题 p : “有的三角形是等边三角形” ,则 ?p 是
2 2





C、既非充分又非必要条件 D、充要条 ( )

A.有的三角形不是等边三角形 B.所有三角形是等边三角形 C.所有三角形都不是等边三角形 D.所有三角形不都是等边三角形 3.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 4 . 在 △ ABC 中 , 已 知 三 边 a 、 b 、 c 满 足 (a+b+c) · (a+b - c)=3ab, 则 ∠ C= ( ) A.15° B. 30° C .45° D.60° 5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第 三辆车的距离 d 2 之间的关系为( A. d1 ? d 2 ) C. d1 ? d 2 D. 不能确定大小 B. d1 ? d 2

3 ,则 C=________. 2 7 7.在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边上的中线 AD= ,那么 BC=________. 2 7 8 13 ? ? 8.在△ABC 中,若 ,则 C=________. sin A sin B sin C
6.在△ABC 中,a2+b2<c2,且 sinC= 7 9. 在△ABC 中, 已知角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 边 c=2 , 且 tanA+tanB= 3 tanA· tanB

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3 3 - 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC= 2 ,求 a+b 的值。

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