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解排列组合应用题的26种策略



解排列组合应用题的 26 种策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路 灵活,不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理,分类用加法原理,分 步用乘法原理,问题在于怎样合理地进行分类、分步,特别是在分类时如何做到 既不重复,又不遗漏,正确分每一步,这是比较困难的。要求我们周密思考,细 心分析, 理解并掌握解题的常用方法和技巧, 掌握并能运用

分类思想、 转化思想、 整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明,掌握题型和解 题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一 谈排列组合应用题的解题策略.
1、相邻排列——捆绑法: 相邻排列—— 排列 n 个不同元素排列成一排,其中某 k 个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这 k 个元素“捆绑在一起” ,看成一个整体,当作一个元素同其它元素一起排列,
n ? +1 共有 An ? kk+1 种排法.然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有 Akk 种方法.由乘法

n ? +1 原理得符合条件的排列,共 An? kk+1 Akk 种. ·

例 1. a, b, c, d , e 五人并排站成一排,如果 a, b 必须相邻且 b 在 a 的右边,那么不同的排法种 数有( A、60 种 ) B、48 种 C、36 种 D、24 种
4

解析: a, b 视为一人, b 固定在 a 的右边, 把 且 则本题相当于 4 人的全排列,A4 = 24 种, 答案: D . 例 2 有 3 名女生 4 名男生站成一排,女生必须相邻,男生必须相邻,共有多少种不同 的站法? 解:先把 3 名女生作为一个整体,看成一个元素,4 名男生作为一个整体,看成一个元
2 3 4 素,两个元素排列成一排共有 A2 种排法;女生内部的排法有 A3 种,男生内部的排法有 A4

2 种.故合题意的排法有 A2· 3· 4 = 288 种. A3 A4

2.相离排列——插空法: 相离排列——插空法: 相离排列 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 将 n 个不同元素排成一排,其中 k 个元素互不相邻 (k ≤ n ? k ) ,有多少种排法?
k 先把 ( n ? k ) 个元素排成一排,然后把 k 个元素插入 (n ? k + 1) 个空隙中,共有排法 An ? k +1 种.

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例 3 五位科学家和五名中学生站成一排照像,中学生不相邻的站法有多少种?
5 5 解:先把科学家作排列,共有 A5 种排法;然后把 5 名中学生插入 6 个空中,共有 A6 种

排法, 故符合条件的站法共有 A55 A6 = 86400 种站法. ·5
例 4.七位同学并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种
5



D、4800 种
2

解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排 法种数是 A5 A6 = 3600 种,选 B .
5 2

3、定序问题---倍缩法: 、定序问题 缩法: 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.此法也被叫

消序法.
将 n 个不同元素排列成一排,其中某 k 个元素的顺序保持一定,有多少种不同排法?
n k 于 n 个不同元素排列成一排, 共有 An 种排法; 个不同元素排列成一排共有 Akk 种不同排法.

是,k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的 Akk 分之一.故符合条件的排列共

Ann 种. Akk

例 5. a, b, c, d , e 五人并排站成一排,如果 b 必须站在 a 的右边( a, b 可以不相邻)那么不同 的排法种数是( A、24 种 ) B、60 种 C、90 种 D、120 种

解析:b 在 a 的右边与 b 在 a 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排列 数的一半,即

1 5 A5 = 60 种,选 B . 2

例 6. A,B,C,D,E 五个元素排成一列,要求 A 在 B 的前面且 D 在 E 的前面,有多少 种不同的排法?
5 2 解:5 个不同元素排列一列,共有 A5 种排法. A,B 两个元素的排列数为 A2 ;D,E

2 两个元素的排列数为 A2 .

因此,符合条件的排列法为

A55 = 30 种. A· 2 A2
2 2

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4、标号排位问题 分步法: 、标号排位问题---分步法: 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继 续下去,依次即可完成. 例 7.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格 的标号与所填数字均不相同的填法有( A、6 种 B、9 种 C、11 种 ) D、23 种

解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 5、留空排列——借元法 、留空排列—— 例 8、一排 10 个坐位,3 人去坐,每两人之间都要留空位,共有 种坐法。 解:由题意,先借 7 人一排坐好,再安排 3 在 8 个空中找 3 个空插入,最后撤出借来的 7 人。
7 3 7 得不同的坐法共有 A7 A8 / A7 种。

6、有序分配问题----逐分法: 、有序分配问题 逐分法: 有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例 9.(1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担 这三项任务,不同的选法种数是( A、1260 种 B、2025 种 ) C、2520 种 D、5040 种

解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第 三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10C8C7 = 2520 种,选 C .
2 1 1

(2)学生会的 12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查,若每个年 级 4 人,则不同的分配方案有( A、 C C C
4 12 4 8 4 4 种 4 12 4 8


4 4

B、 3C C C 种

C、 C C A 种

4 12

4 8

3 3

4 4 C12C84C4 D、 种 3 A3

答案:先从 12 人中选出 4 人到第一个年级,再从剩下的 8 人中选 4 人到第二个年级,第 三步从剩下的 4 人中选 4 人到第三个年级,不同的选法共有 C12C8 C4 种,选 A . 7、平均分堆问题---除序法: 、平均分 问题 除序法:
4 4 4

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例 10. 12 本不同的书,平均分为 3 堆,不同的分法种数为多少种。 解:先从 12 本书中选出 4 本到第一堆,再从剩下的 8 本中选出 4 本到第二堆,第三步从 剩下的 4 本中选 4 本到第三堆,但题中是不要堆序,所以不同的分法共有 8、全员分配问题---分组法: 、全员分配问题 分组法: 例 11.(1)4 名优秀学生全部保送到 3 所大学去,每所大学至少去一名,则不同的保送方案 有多少种? 解析:把四名学生分成 3 组有 C4 种方法,再把三组学生分配到三所大学有 A3 种,故共 有 C4 A3 = 36 种方法.
2 3 2 3

4 4 C12C84C4 种。 3 A3

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( A、480 种 答案: B . 9、名额分配问题---隔板法: 、名额分配问题 隔板法: 例 12: 个三好学生名额分到 7 个班级, 10 每个班级至少一个名额, 有多少种不同分配方案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每 堆至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方 案,故共有不同的分配方案为 C9 = 84 种.
6



B、240 种

C、120 种

D、96 种

10、限制条件的分配问题---分类法: 、限制条件的分配问题 分类法: 例 13.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建 设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方 法,然后安排其余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种; ④若甲乙都参加, 则先安排甲乙, 7 种方法, 有 然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A8 种, 共有 7 A8 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A8 + 3 A8 + 3 A8 + 7 A8 = 4088 种.
2 4 3 3 2 2 3 3 3 4

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11、多元问题----分类法: 、多元问题 分类法: 元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例 14(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位 数字的共有( A、210 种 ) B、300 种 C、464 种 D、600 种
5

解析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,
1 1 3 1 1 1 1 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A33 , A2 A3 A33 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3…,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两 个数的取法(不计顺序)共有多少种? 解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被 7 整除,将这 100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 A = {7,14, 21,L 98} 共有 14 个元素, 不能被 7 整除的数组成的集合记做 A = {1, 2,3, 4,L ,100} 共有 86 个元素; 由此可知, A 中 从 任取 2 个元素的取法有 C14 ,从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有 C14C86 ,两种情形 共符合要求的取法有 C14 + C14C86 = 1295 种.
2 1 1 2 1 1

(3)从 1,2,3,…,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序) 有多少种? 解 析 : 将 I = {1, 2,3L ,100} 分 成 四 个 不 相 交 的 子 集 , 能 被 4 整 除 的 数 集

A = {4,8,12,L100} ;能被 4 除余 1 的数集 B = {1,5,9,L 97} ,能被 4 除余 2 的数集 C = {2, 6,L ,98} ,能被 4 除余 3 的数集 D = {3, 7,11,L 99} ,易见这四个集合中每一个有
25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合要求;从 C 中任取两个 数也符合要求; 此外其它取法都不符合要求; 所以符合要求的取法共有 C25 + C25C25 + C25 种.
2 1 1 2

12、交叉问题----集合法: 、交叉问题 集合法: 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式

n( A ∪ B ) = n( A) + n( B ) ? n( A ∩ B ) .
例 15.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,
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共有多少种不同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙跑第 四棒的排列} ,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B ) + n( A ∩ B ) = A64 ? A53 ? A5 + A4 = 252 种.

13、定位问题----优先法: 、定位问题 优先法: 有限制条件, 某个或几个元素要排在指定位置, 通常要优先考虑这个或几个元素受限位 置或受限元素,再排其它的元素。若反面情况较为简单时,则用排除法求解. 例 16. 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,现要派 5 名参加比赛,3 名主力队员 要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安 排共有_________种(用数字作答) .
3 解:由题意,先安排 3 名主力队员在第一、三、五位置,有 A3 种;再安排其余 7 名队

2 3 员选 2 名在第二、四位置有 A7 种;由乘法原理,得不同的出场安排共有 A3· 72 = 252 种. A

例 17.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少 种? 解析: 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种, 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法; 4 所以共有 A3 A4 = 72 种。.
1 4 1 4

14、多排问题----单排法: 、多排问题 单排法: 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 例 18.(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 )

解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共

A66 = 720 种,选 C .
(2)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法? 解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在 后半段的四个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有
1 5 A4 A42 A5 = 5760 种排法. 1 5 2

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15、 至少” 至多”问题----间接排除法或分类法: 、 至少” 至多”问题 间接排除法或分类法: “ “至多 “ 例 19.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台, 其中至少要甲型和乙 型电视机各一台, 则 不同的取法共有 ( A、140 种 ) B、80 种 C、70 种 D、35 种

解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视 机,故不同的取法共有 C9 ? C4 ? C5 = 70 种,选. C
3 3 3

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故不同的取法有 C5 C4 + C5C4 = 70 台,选 C .
2 1 1 2

16、选排问题----先取后排法: 、选排问题 先取后排法 后排法: 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法. 例 20.(1)四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有 多少种? 解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中 每次排 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4 = 144 种.
3 2 3 2

(2)9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多少种 不同的分组方法? 解析:先取男女运动员各 2 名,有 C5 C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A2 中排法, 故共有 C5 C4 A2 = 120 种.
2 2 2 2 2 2

17、部分合条件问题----排除法: 、部分合条件问题 排除法: 在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求. 例 21.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( A、70 种 B、64 种 C、58 种 ) D、52 种
4

解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C8 四面体,但 6 个表面和 6 个 对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有 C8 ? 12 = 58 个.
4

(2) 四面体的顶点和各棱中点共 10 点, 在其中取 4 个不共面的点, 不同的取法共有 ( A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种



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解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四 个面上,每面内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空间四边形各边中点的平 行四边形共 3 个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数 是 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 = 141 种.
4 4 4 4

4

18、圆排问题----直排法: 、圆排问题 直排法: 把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法 才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排 列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列 n 个普通排列:

a1 , a2 , a3 L , an ; a2 , a3 , a4 ,L , an ,L ; an , a1 ,L , an ?1 在圆排列中只算一种,因为旋转后可
以重合,故认为相同, n 个元素的圆排列数有 的 n ? 1 元素全排列. 例 22.5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种,然后在让插入其间,每位均可 插入其姐姐的左边和右边,有 2 种方式,故不同的安排方式 24 × 2 = 768 种不同站法.
5

n! 种.因此可将某个元素固定展成单排,其它 n

4

说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 19、可重复的排列---求幂法: 、可重复的排列 求幂法:

1 m An 种不同排法. m

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象, 元素不受位置的约束, 可逐一安排元素 的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m 种方法. 例 23.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 解析:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案,第二 步: 将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案, 依次类推, 由分步计数原理知共有 7 种 不同方案. 20、元素个数较少的排列组合问题----枚举法: 、元素个数较少的排列组合问题 枚举法: 例 24.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投 入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同, 问有多少种
6 n

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不同的方法? 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对 应,利用枚举法分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号球不能装入 3 号盒 子,当 3 号球装入 4 号盒子时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号 球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2C5 = 20 种.
2 2

21、复杂的问题----对应思想转化法: 、复杂的问题 对应思想转化法: 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 25.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 解析: 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点, 一个圆的内接四边形就 对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个 不同的四边形,显然有 C10 个,所以圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交 点有 C10 个. (2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径有 多少种?
4 4

B

A

解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过 4 段的走法,便能确 定路径,因此不同走法有 C7 种.
4

22、区域涂色问题——分步与分类综合法 2 区域涂色问题——
解答区域涂色问题,一是根据分步计数原理,对各个区域分步涂色;二是根据共用了多少种 颜色分类讨论;三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法常会结合起来使用。 例 27.用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相
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邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种? 法 1: A5 × A4 = 240
3 1

法 2: A5 + 2 A5 = 240
4 3

① ②

③ ④

例 28、一个地区分 5 个区域,现用 4 种颜色给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色, 则不同的着色方法有多少种? 法 1.分步:涂①有 4 种方法,涂②有 3 种方法,涂③有 2 种方法, 涂④有 2 种方法,涂⑤时需看②与④是否相同,因此分两类。

4 × 3 × 2 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 72
法 2.按用了几种颜色分两类:涂了 4 色和 3 色
3 2 A 44 + A 4 = 7 2

例 29、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) ,现要栽种 4 种不同颜

色的花,每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色,不同的栽种 方法有_____种. (用数字作答) 解法 1:①首先栽种第 1 部分,有 C4 种栽种方法; ②然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花,去栽种周围的 5 个部 分(如右图所示) , 对扇形 2 有 3 种栽种方法,扇形 3 有 2 种栽种方法, 扇形 4 也有 2 种栽种方法,扇形 5 也有 2 种栽种方法, 扇形 6 也有 2 种栽种方法. 于是,共有 3 × 2 种不同的栽种方法。但是,这种栽种方法可能出现
4

1

区域 2 与 6 着色相同的情形,这是不符合题意的,因此,答案应从 3 × 2 中减去这些不符合
4

题意的栽种方法。这时,把 2 与 6 看作一个扇形,其涂色方法相当于用 3 种颜色的花对 4 个扇形区域栽种(这种转换思维相当巧妙) 。 综合①和②,共有 C4 ? [3 × 2 ? (C3 × 2 × 2 + A3 × 1 × 1)] = 4 × (48 ? 18) = 4 × 30 = 120 种。
1 4 1 2

4 解法 2:依题意只能选用 4 种颜色,要分 5 类(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 4 (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 4 (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A4 ; (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120(种)

23、复杂问题——树图法(选组 3 复杂问题——树图法(选组穷举法)

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当以上各法还难以解决时,可用画树图的方法解决。虽然原始、笨拙,但清楚、可靠。

此法称选组穷举法,即将所有满足条件的排列一一列举,探索出其规律.
例 30.同例 29 解: a, b, c, d 分别代替 4 种颜色的花。 以 通过树图可知, 完成此事共分 6 步, 第一步有 4 方法;

二步有 3 方法,第三步有 2 同方案,第四步也有 2 不同方法第五步有 2 种不同方案,然而第 六步有?种不同方案?,不易看清!画出树图,由图知将四、五、六两步并为一步,有 5 种 方法。
于是共有 4 × 3 × 2 × 5 = 120

24、复杂排列组合问题---构造模型法: 4 复杂排列组合问题 构造模型法: 例 31.马路上有编号为 1,2,3…,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二 盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 解析:把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种 方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种. 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒 模型可使问题容易解决. 25、复杂的排列组合问题----分解与合成法: 5 复杂的排列组合问题 分解与合成法: 例 32.(1)30030 能被多少个不同偶数整除? 解析: 先把 30030 分解成质因数的形式: 30030=2×3×5×7×11×13; 依题意偶因数 2 必取, 3,5,7,11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为
1 C50 + C5 + C52 + C53 + C54 + C55 = 32 个. 3

(2)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线? 解析: 因为四面体中仅有 3 对异面直线, 可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不 同的四面体,从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C8 ? 12 = 58 个,所以 8 个
4

顶点可连成的异面直线有 3×58=174 对. 26、 逆向问题 方程法 逆向问题---例 33. 平面上有相异的 11 个点,每两点连成一条直线,共得 43 条不同的直线。 (1)这 11 个点中有无三点或三个以上的点共线?若有共线,情形怎样? (2)这 11 个点构成多少个三角形? 解: (1)设若有 x 条三点共线,y 条四点共线,z 条五点共线,……,于是有: C112-x(C32-1)-y(C42-1)-z(C52-1)-…=43 即 23-2x-5y-9z-…=0 这方程的解只可能是:x=6,y=z=…=0 或 x=1,y=2,z=…=0.
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由此可知,这 11 个点中有 6 条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。 (2)由上可知这 11 个点构成三角形个数的情形有 C113-6C33=159 或 C113-C3- 2C42=156 排列(基础)例题讲习 排列(基础) 例 1:⑴ 7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7 个元素的全排列—— A7 =5040 ⑵ 7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040 ⑶7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
6 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A6 =720 7

⑷ 7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A2 种;第二步 余下的
5 5 5 名同学进行全排列有 A5 种 则共有 A2 A5 =240 种排列方法

2

2

⑸ 7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法一(直接法) :第一步 从(除去甲、乙)其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头
2 和排尾有 A5 种方法;第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列(全排列) 5 2 5 有 A5 种方法 所以一共有 A5 A5 =2400 种排列方法. 6 6 解法二: (排除法)若甲站在排头有 A6 种方法;若乙站在排尾有 A6 种方法;若甲站 5 在排头且乙站在排尾则有 A5 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾 7 6 5 的排法共有 A7 - 2 A6 + A5 =2400 种.

小结一: ,对某些特 小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” 殊元素可以优先考虑. 例 2 : 7 位同学站成一排. ⑴ 、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)
6 一起进行全排列有 A6 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方

2

法.
6 所以这样的排法一共有 A6 A2 =1440 种.

2

⑵ 、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
5 3 解:方法同上,一共有 A5 A3 =720 种.

⑶ 、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一: 将甲、 乙两同学 “捆绑” 在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素, 因 为丙不能站在排头和排尾, 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和
2 排尾,有 A5 种方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;最后将甲、乙 2 两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的排法一共有 A5 A4 A2 =960

4

2

4

2

种方法.
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解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素, 若丙站在排头或排尾 有 2 A5 种方法,所以丙 不能站在排头和排尾的排法 有
6 5 2 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 = 960 种方法. 5

解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因 为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法,
5 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑” ,所 5 以这样的排法一共有 A4 A5 A2 =960 种方法.

1

1

2

小结二: (先捆后松) . 小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法” 例 3: 7 位同学站成一排. ⑴ 、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 = 3600 5 解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 种方法,此时他们留下六个位置(就称 2 为“空”吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种方法,所以一共有 5 2 A5 A6 = 3600 种方法.

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空” ,再将甲、乙和丙三
3 3 个同学分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4 A5 =1440 种.

4

4

小结三:对于不相邻问题,常用“插空法” 小结三: (特殊元素后考虑) . 例 4:从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 A9 = 136080 5 解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 6 5 解法三: (间接法) A10 ? A9 = 136080 6 5 6 若不选: A9 则共有 5 ? A9 + A9 =136080

例 5:⑴ 八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法?
5 5 略解:甲、 乙排在前排 A4 ;丙排在后排 A4 ;其余进行全排列 A5 .所以一共有 A4 A4 A5

2

1

2

1

=5760 种方法. ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排,其中 a, b 两种商品必须排在一起,而 c, d 两种 商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种? 略解:“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a, b 捆在一起与 e 进行排列有 A2 ; (
2 此时留下三个空,将 c, d 两种商品排进去一共有 A3 ;最后将 a, b“松绑”有 A2 .所以一 2 共有 A2 A3 A2 =24 种方法.

2

2

2

2

⑶ 6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求师生相间而坐,则不同的 坐法有多少种?

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3 3 3 3 略解: (分类)若第一个为老师则有 A3 A3 ;若第一个为学生则有 A3 A3 所以一共有

2 A3 A3 =72 种方法. 例 6:⑴ 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的正整数? 略解: A5 + A5 + A5 + A5 + A5 = 325
1 2 3 4 5

3

3



由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字,并且比 13 000 大的正整数?
1 3

解法一:分成两类,一类是首位为 1 时,十位必须大于等于 3 有 A3 A3 种方法;另一类
1 3 是首位不为 1,有 A4 A4 种方法.所以一共有 A3 A3 + A4 A4 = 114 个数比 13 000 大.

1

4

1

4

解法二: (排除法)比 13 000 小的正整数有 A3 个,所以比 13 000 大的正整数有 A5 ?
3 5 3 A3 =114 个.

例 7: 用 1,3,6,7,8,9 组成无重复数字的四位数,由小到大排列. ⑴ 第 114 个数是多少? ⑵ 3 796 是第几个数?
3 解: 因为千位数是 1 的四位数一共有 A5 = 60 个, ⑴ 所以第 114 个数的千位数应该是 , “3”

十位数字是“1”即“31”开头的四位数有 A4 = 12 个;同理,以“36”“37”“38”开头 、 、
2

的数也分别有 12 个,所以第 114 个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第 6 个位 置上,所以“3 968” 是第 114 个数. ⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有 60+12+12=84 个,而 3 796 在“37”开头的四 位数中排在第 11 个(倒数第二个) ,故 3 796 是第 95 个数. 例 8: 用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中 ⑴ 能被 25 整除的数有多少个?

⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个? 解:⑴ 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25, 两种, 50 末尾为 50 的四位数有 A4 个,
1 1 1 1 末尾为 25 的有 A3 A3 个,所以一共有 A4 + A3 A3 =21 个.

2

2

注: 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25,50,75,00 四种情况.
1 3 ⑵ 用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,一共有 A5 A5 = 300 个.因为在这

300 个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的” 等可能的 ,所以十位数字比个位数字大 .... 的有

1 1 3 A5 A5 = 150 个. 2

参考练习
1.有 6 张椅子排成一排,现有 3 人就座,恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是┄┄( A.36 B.48 C.72 D.96
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)

2.由 1、2、3、4 组成的无重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则 a18= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A.3412 B.3421 C.4312 D.4321

3.5 人排成一排,其中甲、乙之间至少有一人的排法种数为______
4.用 0、1、2、3、4、5、6 组成满足下列条件的数各多少个? ① 无重复数字的四位数; ② 无重复数字的四位数偶数; ③ 无重复数字的四位数且能被 5 整除; ④ 个位数字大于十位数字的四位数. 5.三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法? ⑤ 男生排在一起,女生排在一起有; ⑥ 男女生间隔相排; ⑦ 男生互不相邻; ⑧ 甲乙两人必须相邻.

6.①8 人站成一排,不同的站法有 种. ②6 人站成一排,甲不站头,乙不站尾,不同的站法有 种. ③5 件不同礼品分送给 4 人,每人至少一件,而且礼品全部送出,那么送出礼 . 品的方法数是 ④4 个小组,分别从 3 个风景点中选一处进行观光旅游,不同的选择方案的种 . 数是 7.书架上竖排着六本数,现将新购的 3 本书上架,要求不调乱书架上原有的书, 那么不同的上架方式共有多少种?
8.用 0 到 9 这个个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? (


9.圆周上有 8 个点, 将圆周等分, 那么以其中的 3 个点为顶点 的直角三角形共有 个. (A)12 (B)16 (C)24 (D)48
9.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) , 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,现有 5 种不同颜 色的花可供选择,则不同的栽种方法有_____种; 若要求 5 种不同颜 色的花全部栽种,则不同的栽种方法有_____种. (以数字作答) 10.在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物,如右图, . 要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有四种不 同的植物可供选择,则有________种栽种方案;若要求四种不同的植 物全部栽种,则有________种栽种方案. 【答案】9.1200,600; 10.732,480。 11.用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成没有重复数字的 3 位数,其中偶数共有……( ) A.24 B.30 C.40 D.60 12.有 9 个男生,5 个女生排成一排,要求女生排在一起(中间不能有男生),不同的排 有( )种……………………………………………………( ) A. P55 P99 B. 10 P55
10 C. P55 P10

D.2 P55 P99

13.用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字作全排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须
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是偶数,奇数位上必须是奇数,这样的七位数共有……………………( ) A. P4
4

B. P44 P33

C. 4P33

D.3 P4

4

14.用 0,2,4,6,9 五个数字组成无重复数字的五位偶数,共有( )个 A. 2 P55 ? P44 B. P55 ? 2 P44 + P33 C. P55 ? 2 P31 P33 ? P33 D. P44 + P31 P31 P33

15.用数字 0,1,2,3,4 能组成没有重复数字且比 20000 大的五位数奇数共有 ( )个 A.36 B.30 C.72 D.18 16.有 3 位老师和 5 位学生照相,如果老师不排在最左边且老师不相邻,则不同的排法种数 是( ) A. P33 P85 B. P55 P43 C. P55 P53 D. P55 P63

17.一台晚会的 6 个节目中有两个小品,如果两个小品不连续演出,共有不同的演出顺序 多少种

18.用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的五位数?五位奇数?五位偶数?

19.某班一天六节课:语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求,分别有多少种排 课方法①第一节不排体育、自习;②数学不排下午,体育不排在第一、四节.

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