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高三数学单元练习题三角函数(Ⅱ)



高三数学单元练习题:三角函数(Ⅱ)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin3,-2cos3),则角 α 的弧度数为 A.3 2. sin( A.
1 2





B.π -3 )的值等于 B.1 2

C.3-

? 2

D.

? -3 2
( )

C.

3 2

D.-

3 2

3.若 α 是第三象限的角,则 α -π 是 A.第一象限角 4 ( A. . ) C. ?
6 12

( C.第三象限角
9? 2



B.第二象限角 |sinθ |=
1 5

D.第四象限角 则 tanθ 等 于



,

<θ <5π ,

6 B.- 2 6 12 15? 2 x 5.函数 y=cos( ) ? 2 3 A.是奇函数 B.是偶函数

D. 2 6 ( )

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

6 . 要 得 到 函 数 y=sin(2x( )

? ) 的 图 象 , 只 要 将 函 数 y=sin2x 的 图 象 4 ? 4

A.向左平移

? 4
1 2

B.向右平移

C.向左平移

? 8

D.向右平移

? 8
( )

7. 函数 y=tan( xy
? 3

? )在一个周期内的图象是 3

y
2? 3 5? 3

y
? 6
2? 3 7? 6

y
4? 3

O

?

x

O

x

?

2? 3

O

? 3

x

?

? 6

O

? 3

5? 6

x

4 8 (

A. 4 . 函 )

4 数

4 B. 4 4 y=x+sin|x|,x∈[-π ,

4 π]

C. 4 的

4 大

4 致

D. 4 图

4 象



y
π

y
π π

y
π

y
π


π

o x -π

x



o

π

x



o

π

x



o

-π -π A. B. C. 5? 9.函数 y=sin(2x+ 2 )的图象的一条对称轴的方程是
A.x=


D. ( )

? ? 5? ? B.x= ? C.x= D.x= 2 4 4 8 10. 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x)= f(x+2),x∈[3,5] 时 ,f(x)=2-|x-4|, 则

-1-




π π )<f(cos ) 6 6

A . f(sin

B . f(sin1)>f(cos1 )

C . f(cos

2π 2π )<f(sin ) 3 3

D.f(cos2)>f(sin2) 11.如图为一半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距水面 2 米,已知 P 水轮每分钟转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 y(米)与时间 x(秒) 满足关系式 y=Asin(ω x+φ )+2,则有 ( ) y 5? 2? A.ω = ,A=3 B.ω = ,A=3 12 15 C.ω =
5? ,A=5 12

3m

O

2m

D.ω =

15 ,A=5 2?

12.函数 y=1-x+sinx 是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.(0, π ]是单调增函数,[π ,2π ) 单调减函数 D.(0, π ]是单调减函数,[π ,2π ) 单 调增函数 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.若 tanα = -2,且 sinα <0,则 cosα =____________. sin ( )π ? ? ? )π ? ? ? ? k ?1 ? ? ? cos ( ? k ?1 ? 14. ? (k∈Z)= . sin (kπ ? ?) ? cos (kπ ? ?) 15.使函数 y=2tanx 与 y=cosθ 同时为单调递增的区间是 16.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17. 试确定下列函数的定义域
1 ⑴ y ? log 2 ?1 ; sin x

tan( x ? ) sin x 4 ⑵y? lg(2cos x ? 1)

?

18.若|logcosα sinα |>|logsinα cosα |(α 为锐角) ,求 α 的取值范围.

?sin x (sin x ? cos x), 19.已知函数 f(x)= ? . ?cos x (cos x ? sin x)

(1)画出 f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值; (2)判断 f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

-2-

20.设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值.

2

1 的a 2

21.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24 单位小时)的函数,记作:y=f(t). 下表是某日各时的浪高数据;

t(时) y(米)

0 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观测,y=f(t).的曲线可近似地看成是函数 y=Acosω t +b (1).根据以上数据,求出函数 y=Acosω t +b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2).根据规定,当海狼高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天 内的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?

22.讨论函数 f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|的性质,并在函数性质的基础上作出函数的 草图.

参考答案: 一、CAACA;DACBD;BC

? ? 15. [2k? ? ? , 2k? ? ),(2k? ? , 2k? ? 2? ], k ? Z ; 3 3 π 5π 三、17.(1) {x|2kπ <x≤2kπ + , k∈Z}∪{x|2kπ + ≤x<2kπ +π , k∈Z} 6 6
二、13.
5 ; 5

14.-1;

16.1<k<3

(2){x|2kπ <x<2kπ +

π , k∈Z} 3

18.解:∵α 为锐角,0<cosα <1,0<sinα <1,∴logcosα sinα >0,logsinα cosα > 0. ∴原式就是 logcosα sinα >logsinα cosα ?
logcos ? sin ? 2 >1 ? (logcosα sinα ) >1 logsin ? cos ?

? logcosα sinα >1 ? sinα <cosα ? 0<α <
19.解: (1)实线即为 f(x)的图象. 1 -2π -π
-3-

π . 4

y y=sinx

O -1

π



x

单调增区间为[2kπ +

π π 5π ,2kπ + ] , [2kπ + ,2kπ +2π ] (k∈Z) , 4 2 4 π π 5π ] , [2kπ + ,2kπ + ] (k∈Z) , 4 2 4

单调减区间为[2kπ ,2kπ +

2 . 2 (2)f(x)为周期函数,T=2π .

f(x)max=1,f(x)min=-

20.解:由 y=2(cosx-
?1 ? 2 a f(a)= ? ?? ? 2a ? 1 ? 2 ? ?1 ? 4a
2

a 2 a 2 ? 4a ? 2 )及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ? ?2) (?2 ? a ? 2) ( a ? 2)

∵f(a)= 1 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 8 2

1

1

故- a -2a-1= ,解得: a=-1,此时,y=2(cosx+ ) + ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ , k∈Z , 2 2 2 2 ymax=5.
2

1

1

1

21. (1) 由表中数据,知周期 T=12 ,∴ ? ?

2? ? ? ,由 t=0,y=1.5, 得 A+b=1.5; 由 T 6
2

1 1 ? t=3,y=1.0,得 b=1.0, ∴A =0.5,b=1. ∴振幅为 .∴ y ? cos t ? 1

2

6

1 ? ? (2)由题知,当 y>1 时才对冲浪者开放,∴ cos t ? 1 ? 1 ,∴ cos t ? 0 , 2 6 6

∴ 2k? ?

?
2

?

?
6

t ? 2k? ?

?
2

即 12k-3<t<12k+3. ∵0≤t≤24,故可令 k 分别为 0,1,2.

得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24, ∴在规定时间上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间有 6 个小时可供冲浪者进行活动:上午 9:00 至下午 15:00. 22. 显然函数 f(x)的定义域为 R, 又∵f(-x)= |sin(-x)+cos(-x)|-|sin(-x)-cos(-x)|= |-sinx+cosx|-|-sinx-cosx|= f(x) ∴ f(x)为奇函数 由于 2π 一定是 f(x)的一个周期,以下在[0,2π ]内作如下分析: 象限 区间与符 号 sinx+cosx sinx-cosx 2sinx
? [ 0, 4

一 ] + + 2cosx
? ? [ , 4 2

二 ]
? 3? [ , 2 4

三 [
3? 4


5? 3? , 4 2

]



[?,

π] + -2cosx

5? 4

]

[ -

]

[

3? 7? , 2 4

]

[

7? , 2? 4

]

+

-2sinx -

+ 2sinx

+

f(x)
从而有:

-4-

x f(x)

0 0

? 4
2

? 2

3? 4

π
2

5? 4
2

3? 2

7? 4

2π 0

0

-

0

0
4 4

-

2

∴ f(x)为最小正周期为 π 的奇函数,单调递增区间为[kπ - ? ,kπ + ? ],单调递减区间为 [kπ + ? ,kπ + 3? ](k∈Z)
4 4

y
2

函数的草图如下:



-?

2

O
? 2

? 2

π

x

-5-



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