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2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十同角三角函数的基本关系与诱导公式理



课时达标检测(二十)

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[练基础小题——强化运算能力] 3 ? π π? 1.若 α ∈?- , ?,sin α =- ,则 cos(-α )=( 2 2 5 ? ? 4 A.- 5 C. 3 5 B. 4 5 )

3 D.- 5

3 4 ? π π? 解析:选 B 因为 α ∈?- , ?,sin α =- ,所以 cos α = ,则 cos(-α )=cos 5 5 ? 2 2? 4 α = . 5 1 cos θ 2.若 sin θ cos θ = ,则 tan θ + 的值是( 2 sin θ A.-2 C.±2 B. 2 1 D. 2 )

cos θ sin θ cos θ 1 解析:选 B tan θ + = + = =2. sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ π 3.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 C. π 6 π B.- 3 D. π 3 )

解析:选 D ∵sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),∴-sin θ =- 3cos θ ,∴tan θ π π = 3.∵|θ |< ,∴θ = . 2 3 4 ?π ? 4.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan α =________. 2 5 ? ? 4 3 sin α ?π ? 2 解析:∵α ∈? ,π ?,sin α = ,∴cos α =- 1-sin α =- ,∴tan α = 2 5 5 cos α ? ? 4 =- . 3 4 答案:- 3

1

5.

=________. 2 cos 40°- 1-sin 50° sin 40°+cos 40°-2sin 40°cos 40° cos 40°-cos 50°
2 2

1-2sin 40°cos 40°

解析:原式= = =

|sin 40°-cos 40°| |sin 40°-sin 50°| = sin 50°-sin 40° sin 50°-sin 40° sin 50°-sin 40° =1. sin 50°-sin 40°

答案:1 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1.sin(-600°)的值为( A. 3 2 ) B. D. 2 2 3 3 3 . 2 )

C.1

解析:选 A sin(-600°)=sin(-720°+120°)=sin 120°= π? 3 ? π 3π ? ? 2.已知 tan(α -π )= ,且 α ∈? , ?,则 sin?α + ?=( 2 ? 2? 4 ?2 ? A. C. 4 5 3 5 4 B.- 5 3 D.- 5

解析:选 B

3 3 ? π 3π ? 由 tan(α -π )= 得 tan α = .又因为 α ∈? , ?,所以 α 为第三 2 ? 4 4 ?2 π? 3 4 ? 可得, sin α =- , cos α =- .所以 sin?α + ? 2? 5 5 ?

sin α 3 ? ?tan α = = , cos α 4 象限的角, 由? ? ?sin2α +cos2α =1, 4 =cos α =- . 5

3.已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),且 f(4)=3,则 f(2 017)的值为 ( ) A.-1 C.3 B. 1 D.-3

解析:选 D ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) =asin α +bcos β =3,
2

∴f(2 017)=asin(2 017π +α )+bcos(2 017π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-(asin α +bcos β )=-3. π 4.已知 2tan α ?sin α =3,- <α <0,则 sin α =( 2 A. C. 3 2 1 2 B.- 3 2 )

1 D.- 2
2

2sin α 2 解析:选 B 因为 2tan α ?sin α =3,所以 =3,所以 2sin α =3cos α ,即 cos α 1 π 2 2-2cos α =3cos α ,所以 cos α = 或 cos α =-2(舍去),又- <α <0,所以 sin α 2 2 =- 3 . 2

5.若 θ ∈? A. C. 3 5 7 4

?π ,π ?,sin θ ?cos θ =3 7,则 sin θ =( ? 16 ?4 2?
B. D. 4 5 3 4

)

3 7 2 解析:选 D ∵sin θ ?cos θ = ,∴(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ ?cos θ = 16 8+3 7 8-3 7 ?π π ? 2 ,(sin θ -cos θ ) =1-2sin θ cos θ = ,∵θ ∈? , ?,∴sin θ + 8 8 ?4 2? 3+ 7 cos θ = 4 3- 7 ①,sin θ -cos θ = 4 3 ②,联立①②得,sin θ = . 4
2

6. (2017?长沙模拟)若 sin θ , cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根, 则 m 的值为( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5

)

解析:选 B 由题意知,sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = .∵(sin θ +cos θ ) 2 4

m

m

2

=1+2sin θ cos θ ,∴ =1+ ,解得 m=1± 5,又 Δ =4m -16m≥0,∴m≤0 或 m≥4, 4 2 ∴m=1- 5. 二、填空题
3

m2

m

2

π? cos?α -π ? ? ? 3π ? 7.化简: ?sin?α - ??cos? -α ?=________. 2? sin?π -α ? ? ? 2 ? π? cos?α -π ? ? ?3π ? -cos α ?(-cos α )?(-sin 解析: ?sin?α - ??cos? -α ?= 2 2 sin?π -α ? ? ? ? ? sin α α )=-cos α . 答案:-cos α 8 .若 f(α ) = ________. 解 析 : ① 当 sin[?k+1?π +α ]?cos[?k+1?π -α ] (k ∈ Z) ,则 f(2 017) = sin?kπ -α ??cos?kπ +α ?
2 2

k

为 偶 数 时 , 设

k = 2n(n ∈ Z) , 原 式 =

sin?2nπ +π +α ??cos?2nπ +π -α ? -sin α ??-cos α ? = =-1; sin?2nπ -α ??cos?2nπ +α ? -sin α ?cos α ②当 k 为奇数时,设 k=2n+1(n∈Z), sin[?2n+2?π +α ]?cos[?2n+2?π -α ] 原式= sin[?2n+1?π -α ]?cos[?2n+1?π +α ] = sin α ?cos α =-1. sin α ??-cos α ?

综上所述,当 k∈Z 时,f(α )=-1, 故 f(2 017)=-1. 答案:-1 2cos?

9.若角 θ 满足 =3,则 tan θ 的值为________. 2sin?π +θ ?-3cos?π -θ ?

?π -θ ?+cos θ ? ?2 ?

?π ? 2cos? -θ ?+cos θ 2sin θ +cos θ ?2 ? 解析:由 =3,得 =3,等式左边 2sin?π +θ ?-3cos?π -θ ? -2sin θ +3cos θ
2tan θ +1 分子分母同时除以 cos θ ,得 =3,解得 tan θ =1. -2tan θ +3 答案:1 1 10.已知角 A 为△ABC 的内角,且 sin A+cos A= ,则 tan A 的值为________. 5 1 解析:∵sin A+cos A= ①, 5 1 ①式两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- , 25 24 49 2 则(sin A-cos A) =1-2sin Acos A=1+ = , 25 25
4

∵角 A 为△ABC 的内角,∴sin A>0, 12 又 sin Acos A=- <0, 25 ∴cos A<0, ∴sin A-cos A>0, 7 则 sin A-cos A= 5 ②.

4 3 由①②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 sin A 5 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5 4 答案:- 3 三、解答题 11.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α . 解:由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α = sin α +sin α 8 = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4
2 2 2 2 2

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

12.已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根分别是 sin θ 和 cos θ ,θ ∈ (0,2π ),求: sin θ cos θ (1) + 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. sin θ cos θ 解:(1)原式= + sin θ -cos θ sin θ 1- cos θ
2 2

5

= =

sin θ cos θ + sin θ -cos θ cos θ -sin θ sin θ -cos θ =sin θ +cos θ . sin θ -cos θ 3+1 , 2
2 2

2

2

由条件知 sin θ +cos θ =
2



sin θ cos θ 3+1 + = . sin θ -cos θ 1-tan θ 2 3+1 m ,sin θ cos θ = , 2 2
2

(2)由已知,得 sin θ +cos θ =

又 1+2sin θ cos θ =(sin θ +cos θ ) ,可得 m= 3+1 ? ?sin θ +cos θ = 2 , (3)由? 3 ? ?sin θ cos θ = 4 , 3 ? ?sin θ = 2 , 得? 1 cos θ = ? ? 2 1 ? ?sin θ =2, 或? 3 cos θ = . ? ? 2

3 . 2

π π 又 θ ∈(0,2π ),故 θ = 或 θ = . 3 6

6



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