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3.2导数在函数单调性、极值中的应用



3.2

导数在函数单调性、极值
中的应用

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基础梳理自测
?知识梳理? 1.函数的单调性与导数

单调递增 单调递减

2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)

比它在点x= 都小 a附近其他点的函数值 ,且f'(a)=0,而且在点x=

a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 ,则点a叫做
函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值 . 返回目录 按Esc键退出

(2)函数的极大值
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=

b附近其他点的函数值 都大 ,且f'(b)=0,而且在点x=
b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,则点b叫做

函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值 , 极大值 和 极小值统 称为极值.

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?基础自测? 1.若函数y=a(x -x)的递减区间为?
3

,则a的取

答案:A 值范围是( ). A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1
2.函数y=xsin x+cos x在(π,3π)内的单调增区间为 ( B ). A.?
3

B.?

C.?

D.(π,2π)

3.已知f(x)=x -ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的 最大值是 3 .
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4.已知函数f(x)=ax +bx +c,其导函数f'(x)的图象如

3

2

图所示,则函数f(x)的极小值是 ?思维拓展
? 1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,

0

.

那么一定有f'(x)>0吗?f'(x)>0是否是f(x)在(a,b)内
单调递增的充要条件? 提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0,f'(x)>

0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件 . 返回目录 按Esc键退出

2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?其为函

数在该点取得极值的什么条件?
3

提示:不一定.如函数f(x)=x ,在x=0处,有f'(0)=0,但x =0不是函数f(x)=x 的极值点;其为函数在该点取 得极值的必要而不充分条件.
3

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一、利用导数研究函数的单调性 【例1-1】 已知a∈R,函数f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的
2 x

取值范围;若不是,请说明理由.
解:(1)当a=2时,f(x)=(-x +2x)e ,
2 x

∴f'(x)=(-2x+2)e +(-x +2x)e =(-x2+2)ex.
令f'(x)>0,即(-x +2)e >0,
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x

2

x

2

x

∵e >0,∴-x +2>0,

x

2

解得-?2<x<?2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(- ? 2 ,?2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f'(x)≤0对x∈R都成立,
即[-x +(a-2)x+a]e ≤0对x∈R都成立. ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.
x 2 2 x

∴Δ=(a-2) +4a≤0, 即a +4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减. 若函数f(x)在R上单调递增, 则f'(x)≥0对x∈R都成立, 2 x 即[-x +(a-2)x+a]e ≥0对x∈R都成立. x 2 ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≤0对x∈R都成立. 2 2 而Δ=(a-2) +4a=a +4>0,故函数f(x)不可能在R上单调递增
. 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数 . 返回目录
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2

2

【例1-2】 (2011江苏高考,19)已知a,b是实数,函数 f(x)=x +ax,g(x)=x +bx,f'(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x )的导函数.若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f( x)和g(x)在区间I上单调性一致.
3 2

(1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一
致,求b的取值范围;

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解:f'(x)=3x +a,g'(x)=2x+b. (1)由题意知f'(x)g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立.
因为a>0,故3x +a>0,
2

2

进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立, 所以b≥2.因此b的取值范围是[2,+∞).
若b>0,由a<0得0∈(a,b).

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? 故由题设得a≥-?

1 a a ? ,从而-? 且 b≥ -? 3≤a<0, 3 3

1 于是- ? ≤b≤0. 3
因此|a-b|≤

1 ? 2 1? x ? ? 又当a=- ? ,b=0时,f‘(x)g’(x)=6x ? ? 9? ? 3 1
? ? ? ,0 ,从而当x∈ ? ? ? ? 3 ?

1 1 ? ,且当a=- ? ,b=0时等号成立, 3 3
时,f'(x)g'(x)>0,

? 1 ? ? ? ,0 ?上单调性一致. 故函数f(x)和g(x)在? ? 3 ?

1 因此|a-b|的最大值为? . 3

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方法提炼:1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用

求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符
号→得相应开区间上的单调性 提醒:当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f'(x)>0(或f'(x) <0)直接得到单调递增(或递减)区间.

2.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求f'(x). (2)确认f'(x)在(a,b)内的符号. 请做[针对训练 (3)作出结论:f'(x)>0时为增函数;f'(x)<0时为减函数. 3.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥ 0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解 . 返回目录 按Esc键退出

二、函数的极值与导数 3 2 【例2】 已知函数f(x)=x +mx +nx-2的图象过点(-1,-6),且

函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

解:(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), 得m-n=-3.? ① 2 3 2 由f(x)=x +mx +nx-2, 得f'(x)=3x +2mx+n, 2 则g(x)=f'(x)+6x =3x +(2m+6)x+n. 2m ? 6 而g(x)的图象关于y轴对称, 所以-?2 ? 3 =0. 2 所以m=-3,代入①得n=0. 于是f'(x)=3x -6x=3x(x-2). 由f'(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞ 由f'(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2).
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(2)由(1)得f'(x)=3x(x-2), 令f'(x)=0得x=0或x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

由此可得: 当0<a<1时,f(x)在

x f'(x) f(x)

(-∞,0) 0 + ↗ 0

(0,2) 2 0

(2,+∞) +

极大值 ↘

极小值 ↗

(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;

当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. 返回目录

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方法提炼利用导数研究函数的极值的一般流程:

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