9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2导数在函数单调性、极值中的应用



3.2

导数在函数单调性、极值
中的应用

返回目录

按Esc键退出

基础梳理自测
?知识梳理? 1.函数的单调性与导数

单调递增 单调递减

2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)

比它在点x= 都小 a附近其他点的函数值 ,且f'(a)=0,而且在点x=

a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 ,则点a叫做
函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值 . 返回目录 按Esc键退出

(2)函数的极大值
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=

b附近其他点的函数值 都大 ,且f'(b)=0,而且在点x=
b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,则点b叫做

函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值 , 极大值 和 极小值统 称为极值.

返回目录

按Esc键退出

?基础自测? 1.若函数y=a(x -x)的递减区间为?
3

,则a的取

答案:A 值范围是( ). A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1
2.函数y=xsin x+cos x在(π,3π)内的单调增区间为 ( B ). A.?
3

B.?

C.?

D.(π,2π)

3.已知f(x)=x -ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的 最大值是 3 .
返回目录
按Esc键退出

4.已知函数f(x)=ax +bx +c,其导函数f'(x)的图象如

3

2

图所示,则函数f(x)的极小值是 ?思维拓展
? 1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,

0

.

那么一定有f'(x)>0吗?f'(x)>0是否是f(x)在(a,b)内
单调递增的充要条件? 提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0,f'(x)>

0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件 . 返回目录 按Esc键退出

2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?其为函

数在该点取得极值的什么条件?
3

提示:不一定.如函数f(x)=x ,在x=0处,有f'(0)=0,但x =0不是函数f(x)=x 的极值点;其为函数在该点取 得极值的必要而不充分条件.
3

返回目录

按Esc键退出

一、利用导数研究函数的单调性 【例1-1】 已知a∈R,函数f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的
2 x

取值范围;若不是,请说明理由.
解:(1)当a=2时,f(x)=(-x +2x)e ,
2 x

∴f'(x)=(-2x+2)e +(-x +2x)e =(-x2+2)ex.
令f'(x)>0,即(-x +2)e >0,
返回目录
按Esc键退出

x

2

x

2

x

∵e >0,∴-x +2>0,

x

2

解得-?2<x<?2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(- ? 2 ,?2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f'(x)≤0对x∈R都成立,
即[-x +(a-2)x+a]e ≤0对x∈R都成立. ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.
x 2 2 x

∴Δ=(a-2) +4a≤0, 即a +4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减. 若函数f(x)在R上单调递增, 则f'(x)≥0对x∈R都成立, 2 x 即[-x +(a-2)x+a]e ≥0对x∈R都成立. x 2 ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≤0对x∈R都成立. 2 2 而Δ=(a-2) +4a=a +4>0,故函数f(x)不可能在R上单调递增
. 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数 . 返回目录
按Esc键退出

2

2

【例1-2】 (2011江苏高考,19)已知a,b是实数,函数 f(x)=x +ax,g(x)=x +bx,f'(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x )的导函数.若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f( x)和g(x)在区间I上单调性一致.
3 2

(1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一
致,求b的取值范围;

返回目录

按Esc键退出

解:f'(x)=3x +a,g'(x)=2x+b. (1)由题意知f'(x)g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立.
因为a>0,故3x +a>0,
2

2

进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立, 所以b≥2.因此b的取值范围是[2,+∞).
若b>0,由a<0得0∈(a,b).

返回目录

按Esc键退出

? 故由题设得a≥-?

1 a a ? ,从而-? 且 b≥ -? 3≤a<0, 3 3

1 于是- ? ≤b≤0. 3
因此|a-b|≤

1 ? 2 1? x ? ? 又当a=- ? ,b=0时,f‘(x)g’(x)=6x ? ? 9? ? 3 1
? ? ? ,0 ,从而当x∈ ? ? ? ? 3 ?

1 1 ? ,且当a=- ? ,b=0时等号成立, 3 3
时,f'(x)g'(x)>0,

? 1 ? ? ? ,0 ?上单调性一致. 故函数f(x)和g(x)在? ? 3 ?

1 因此|a-b|的最大值为? . 3

返回目录

按Esc键退出

方法提炼:1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用

求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符
号→得相应开区间上的单调性 提醒:当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f'(x)>0(或f'(x) <0)直接得到单调递增(或递减)区间.

2.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求f'(x). (2)确认f'(x)在(a,b)内的符号. 请做[针对训练 (3)作出结论:f'(x)>0时为增函数;f'(x)<0时为减函数. 3.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥ 0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解 . 返回目录 按Esc键退出

二、函数的极值与导数 3 2 【例2】 已知函数f(x)=x +mx +nx-2的图象过点(-1,-6),且

函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

解:(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), 得m-n=-3.? ① 2 3 2 由f(x)=x +mx +nx-2, 得f'(x)=3x +2mx+n, 2 则g(x)=f'(x)+6x =3x +(2m+6)x+n. 2m ? 6 而g(x)的图象关于y轴对称, 所以-?2 ? 3 =0. 2 所以m=-3,代入①得n=0. 于是f'(x)=3x -6x=3x(x-2). 由f'(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞ 由f'(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2).
返回目录
按Esc键退出

(2)由(1)得f'(x)=3x(x-2), 令f'(x)=0得x=0或x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

由此可得: 当0<a<1时,f(x)在

x f'(x) f(x)

(-∞,0) 0 + ↗ 0

(0,2) 2 0

(2,+∞) +

极大值 ↘

极小值 ↗

(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;

当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. 返回目录

按Esc键退出

方法提炼利用导数研究函数的极值的一般流程:

返回目录

按Esc键退出



更多相关文章:
导数的单调性极值与最值
导数的单调性极值与最值_数学_高中教育_教育专区。利用导数函数的极值、最值...设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 函数的充要条件是(...
导数函数的单调性教学设计
性,导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用...同时,在本章第二节要 学习利用导数研究函数的极值,...2、过程与方法: 通过利用导数研究单调性问题的研究...
函数的单调性导数说课稿
又可为后面研究函数的极值,最 值及函数的其他相关...2.尝试利用导数判断简单函数的单调性3.能根据...ln x ? x (意图:运用《几何画板》具有求导函数及...
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数单调性极值以及最值中,因此在...步骤小结:1、先求函数的定义域, 2求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负) ...
高二 数学 选修2-2函数的导数单调性极值
导数的关系. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据原函数图象的单调性极值点...D. A 变式 3 设 f′ (x)是函数 f(x)的导函数,y=f′ (x)的图象...
导数极值、最值练习题_图文
导数极值、最值练习题_高二数学_数学_高中教育_...? ? , 3 ? 内单调递减; 1 ? 2 y ③函数 y...,求 a,b 2 3 2 7 (四)导数综合应用 1、已知...
MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用
MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用_工学_高等教育_教育专区。MATLAB...3.2 导数在函数单调性、... 27页 免费 函数的极值与MATLAB应用 暂无评价 2...
高中数学导数知识点归纳总结
导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的...2 x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即...
导数函数的单调性极值、最值
则 x0 不是极值点. 5 考点 3 利用导数函数的最值 (1)在闭区间[a,b]连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a...
...导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极...
3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 理_数学_高中教育_教育专区...[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小 问中,由于解析式...
更多相关标签:
函数的单调性与极值    函数单调性与极值    函数单调性与导数教案    函数的单调性与导数    用导数求函数的单调性    函数单调性与导数    函数单调性与导数ppt    导数的应用单调性    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图