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离散型随机变量均值



某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ,24 元/kg ,36元/kg 的3种糖果按3:2:1的 比例混合销 售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如 何对混合糖果定价才合理? 定价为

18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23元/kg
糖果所属种类的单价(元

18+24+36 ? 26 3
<

br />可以吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 kg ),你能写出X的分布列吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价(元 ),你能写出X的分布列吗? kg 糖果,你要付多少钱?

而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为 18 , 24和36 刚好是 23 元吗? 1 1

1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为
x p 18 1/2 24 1/3 36
随机变量均值 1/6 (概率意义下的均值)

18×1/2+24×1/3+36×1/6

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X

P

x1 p1

x2 … p2 …

xi pi





xn pn

则称 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? xn pn为随机变量

X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

练习1
离散型随机变量 X 的概率分布列为
X P 1 0.01 100 0.99

①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值

1 ? 100 解:(1)X ? ? 50.5 2
(2)EX ? 1? 0.01 ? 100 ? 0.99 ? 99.01

例题1
随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗 ? 的点数X的均值 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 你能理解 3.5 1/6
的含义吗?

1/6

1/6

所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
变式:将所得点数的2倍加1作为得分数, 即Y=2X+1,试求Y的均值?

例题1
随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗 ? 的点数X的期望 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为 Y 3 5 7 9 11 13
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6 +7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8
变式:将所得点数的2倍加1作为得分数, 即Y=2X+1,试求Y的均值?

=2EX+1

设X为离散型随机变量,
a

若Y=aX+b,其中a,b为常数, 则EY= aEX+b ?
你能猜想出 结果吗?

若Y=aX+b,则EY=aEX+b
证:设离散型随机变量X的概率分布为 X x1 x2 … xi … xn

pn p1 p2 … pi … 而P(Y ? axi ? b) ? P( X ? xi ), i ? 1, 2,3?n
P 所以Y的分布列为 Y
ax1 ? b ax2 ? b …

axi ? b …

axn ? b

P

p1

p2



? EY ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ?? (axn ? b) pn ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ? ? pn ) ? aEX ? b

pi



pn

2、离散型随机变量均值的性质

(1)随机变量均值的线性性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

1.分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A.0 B.-1 2.设 ξ 的分布列为: 1 1 P 6 又设 η=2ξ+5,则 E(η)=( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 -1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 C.- 3 1 D. 2

D )

题型二 均值性质的应用 例 2 已知随机变量 X 的分布列如下:
X -2 -1 P 1 4 1 3 0 1 5 1 m 2 1 20

(1)求 m 的值; (2)求 E(X); (3)若 Y=2X-3,求 E(Y).

解析:(1)由随机变量分布列的性质,得 1 1 1 1 1 + + +m+ =1,解得 m= . 4 3 5 20 6

1 1 1 1 1 17 (2)E(X)=(-2)× +(-1)× +0× +1× +2× =- . 4 3 5 6 20 30 (3)法一 由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,
? 17? 62 得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×?-30?-3=- . 15 ? ?

法二 由于 Y=2X-3, 所以 Y 的分布列如下: Y -7 -5 -3 -1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 1 20

1 1 1 所以 E(Y)=(-7)× + (-5)× + (-3)× + (- 4 3 5 1 1 62 1)× +1× =- . 6 20 15 点评:对于 aX+b 型的随机变量,可利用均值的 性质求解,即 E(aX+b)=aE(X)+b,也可以先列出 aX +b 的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然 前者较方便.

变 式 训 练
2.已知随机变量 X 的分布列为: X P 1 1 2 2 1 3 3 1 6

且 Y=aX+3,若 E(Y)=-2,则 a 的值为________.

1 1 1 5 解析: E(X)=1× +2× +3× = , 所以 E(Y) 2 3 6 3 5 =E(aX+3)=aE(X)+3= a+3=-2, 3 所以 a=-3. 答案:-3

例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85,求他罚球1次的得分ξ的均值? 解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.15 1 0.85

所以

Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)

=0×0.15+1×0.85=0.85.

例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85,求他罚球1次的得分ξ的均值? 解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.15 1-P 1 0.85 P

所以

Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)

1-P +1×0.85 P =0.85 P . =0×0.15

例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85,求他罚球1次的得分ξ的均值?
若ξ~B(1,0.85), 则Eξ=0.85

你能猜想出 变式:若姚明在某次比赛中罚球10次, 结果吗? 求他罚球的得分ξ的均值?
若ξ~B(10,0.85), 则Eξ=?

求证: 若ξ~B(n,p), 则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1)

∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0

=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np

例题3
一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确 答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或 选错不得分,满分100分。学生甲选对任一题的 概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选 项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这 次英语单元测验中的成绩的均值。

解: 设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 和η,则 ξ~B(20,0.9), η~B(20,0.25), Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以, 他们在测验中的成绩的均值分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25.

练习2

1若E? =3,? =2? ? 4,
10 则E? =_______
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率 2 是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮 3

3次 ,设

? 是他投中的次数.

1) 求E ? ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;

例4
? 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地 上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000 元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有 以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好?

则称 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? xn pn 为随机变量

1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X P pn p1 p2 … pi …

小结

X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 2、离散型随机变量均值的性质
(1)随机变量均值的线性性质 (2)服从两点分布的均值 (3)服从二项分布的均值

E (aX ? b) ? aEX ? b

若ξ~B(1,p), 则Eξ= p 若ξ~B(n,p), 则Eξ= np

思考题
(06湖南理)某安全生产监督部门对5家小型煤 矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则 必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强 行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立 的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确 到0.01): (Ⅰ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须关闭;



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