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小橙子高考数学分类复习、数列77题(题和详尽答案)



小橙子高考数学分类复习共六章(题和详尽 答案)
第三章 数 列(77 题)

●考点阐释 数列是高中代数的重点之一, 也是高考的考查重点, 在近十年高考试题中有较大的比重. 这些试题不仅考查数列,等差数列和等比数列,数列极限的基础知识、基本技能、基本思想 和方法,以及数学归纳法这一基本方法,而且可以有效地测试逻辑推理能力、运算能力,以 及运用有关的知

识和方法,分析问题和解决问题的能力. 重点掌握的是等差、等比数列知识的综合运用能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003 京春文,6)在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=20,那么 a3 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 * 2.(2002 上海春,16)设{an} (n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6, S6=S7>S8,则下列结论错误 的是( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 3.(2002 京皖春,11)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所 有项的和为 390,则这个数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 4.(2001 京皖蒙春,12)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内 累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn=

n (21n-n2-5) (n=1,2,??,12). 90

按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( ) A.5 月、6 月 B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月 5.(2001 全国理,3)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48, 则它的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 6.(2001 上海春,16)若数列{an}前 8 项的值各异,且 an+8=an 对任意 n∈N*都成立,则 下列数列中可取遍{an}前 8 项值的数列为( ) A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 2 7.(2001 天津理,2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 8.(2000 京皖春,13)已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+?+a101=0,则有( )

A.a1+a101>0 C.a3+a99=0

B.a2+a100<0 D.a51=51

9.(1998 全国文,15)等比数列{an}的公比为- 么 a1 的值为( A.± ) B.±

1 1 ,前 n 项和 Sn 满足 lim S n ? ,那 n ?? 2 a1
6 2
n ??

3

3 2

C.±

2

D.±

10.(1998 全国理,15)在等比数列{an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 lim S n 那么 a1 的取值范围是( A.(1,+∞) ) B.(1,4) C.(1,2) D. (1,

?

1 , a1

2)

11.(1997 上海文,6)设 f(n)=1+ f(n)等于( A. )

1 1 1 ? ??? (n∈N) ,那么 f(n+1)- 2 3 3n ? 1 1 1 ? 3n 3n ? 1 1 1 1 ? ? 3n 3n ? 1 3n ? 2

1 3n ? 2

B.

C.

1 1 ? 3n ? 1 3n ? 2

D.

12.(1997 上海理,6)设 f(n)= f(n+1)-f(n)等于( A. )

1 1 1 1 ? ? ??? (n∈N) ,那么 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n
1 2n ? 2

1 2n ? 1 1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

B.

C.

D.

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

13.(1996 全国理,10)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 则 lim Sn 等于(
n??

S10 31 , ? S 5 32



A.

2 3

B.-

2 3

C.2

D.-2

14.(1994 全国理,12)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前

3m 项和为( A.130

) B.170 C.210 D.260

15. (1995 全国, 12) 等差数列 {an} , {bn} 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 若

Sn 2n , ? Tn 3n ? 1

则 lim

an 等于( n ?? b n
A.1




B.

6 3

C.

2 3

D.

4 9

16.(1994 全国理,15)某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个 分裂二个)经过 3 小时,这种细菌由 1 个可以繁殖成( ) A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 17.(1994 上海,20)某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N)时该命题成立,那么 可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 二、填空题 ※ 18.(2003 京春理 14,文 15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相 应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内.

19.(2003 上海春,12)设 f(x)=

1 .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式 2x ? 2

的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为_____. 20.(2002 北京,14)等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且 a1,a3,a11 恰好是某 等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于 . n n 21.(2002 上海,5)在二项式(1+3x) 和(2x+5) 的展开式中,各项系数之和分别 记为 an、bn(n 是正整数) ,则 lim

an ? 2bn = n ?? 3a ? 4b n n



22.(2001 全国,15)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn} 是等差数列,则 q=_____. 23.(2001 上海文,2)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N) ,则 a1 +a2+?+a17= . 24. (2001 上海, 6) 设数列 {an} 是公比 q>0 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若 lim Sn
n? ?

=7,则此数列的首项 a1 的取值范围是 . 25.(2001 上海理,2)设数列{an}的通项为 an=2n-7(n∈N*) ,则|a1|+|a2|+?+|a15|




. 26.(2001 上海春,7)计算 lim (
n ??

n?3 n ) =_____. n ?1

27.(2000 上海春,7)若数列{an}的通项为 =

1 (n∈N*) ,则 lim (a1+n2an) n? ? n(n ? 1)

. 28.(2000 全国,15)设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an= 0(n=1,2,3,?) ,则它的通项公式是 an= . 29.(2000 上海,12)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+? +a19-n(n<19,n∈N ) 成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9=1,则 有等式


成立.

30.(2000 上海,4)计算 lim (
n ??

n n ) =_____. n?2

31.(1999 上海,10)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项 的和,若 Sn 取得最大值,则 n=_____. 32.(1998 上海文、理,10)在数列{an}和{bn}中,a1=2,且对任意自然数 n,3an+1 -an=0,bn 是 an 与 an+1 的等差中项,则{bn}的各项和是_____. 33.(1997 上海)设 0<a<b,则 lim

4b n =_____. n ?? a n ? b n



34.(1997 上海) lim(1 ?
n ??

2 ?2n ) =_____. n

35.(1995 上海)若 lim [1+(r+1)n]=1,则 r 的取值范围是_____.
n? ?



36.(1995 上海) lim (1+
n? ?

1 n-2 ) =_____. n

37.(1995 上海,12)已知 log3x=


?1 ,那么 x+x2+x3+?+xn+?=_____. log 2 3

38.(1995 上海理,11)1992 年底世界人口达 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x%, 2000 年底世界人口数为 y(亿) ,那么 y 与 x 的函数关系式是_____. 三、解答题 39.(2003 京春,21)如图 3—1,在边长为 l 的等边△ABC 中, 圆 O1 为△ABC 的内切圆, 圆 O2 与圆 O1 外切, 且与 AB, BC 相切, ?, 圆 On+1 与圆 On 外切,且与 AB、BC 相切,如此无限继续下去.记圆 On 的面积为 an(n∈N*). (Ⅰ)证明{an}是等比数列; 图 3—1

(Ⅱ)求 lim (a1+a2+?+an)的值.
n? ?

40.(2003 上海春,22)在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出它们的工资 标准:A 公司允诺第一年月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;B 公司允诺第一年月工资为 2000 元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%.设某 人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是 多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不 计其他因素) ,该人应该选择哪家公司,为什么? (3)在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到 1 元) 并说明理由. ※ 41.(2002 上海春,21)某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职 工.奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小.由 1 至 n 排 序,第 1 位职工得奖金



b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一 a

发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. (Ⅰ)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3,并用 k、n 和 b 表示 ak; (不必证明) (Ⅱ)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (Ⅲ)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b) .对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b) .
n? ?

42.(2002 北京春,21)已知点的序列 An(xn,0) ,n∈N,其中,x1=0,x2=a(a>0) , A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,?? (Ⅰ)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间的关系式(n≥3) ; (Ⅱ)设 an=xn+1-xn 计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (Ⅲ) (理)求 lim xn.
n? ?

43.(2002 全国文,18)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动.甲第 1 分 钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (Ⅱ)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继 续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? ※ 44.(2002 全国理,20)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上 一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保 有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 45.(2002 全国理,21)设数列{an}满足 an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,?, (Ⅰ)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (Ⅱ)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 (ⅰ)an≥n+2; (ⅱ)



1 1 1 1 ? ??? ? . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

46.(2002 北京,19)数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1= n∈N*. (Ⅰ)证明:对 n≥2,总有 xn≥

1 a (xn+ ) , 2 xn

a;

(Ⅱ)证明:对 n≥2,总有 xn≥xn+1; (Ⅲ) (理)若数列{xn}的极限存在,且大于零,求 lim xn 的值.
n? ?

47.(2002 江苏,18)设{an}为等差数列, {bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3, b2b4=a3.分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10. 48.(2002 上海,21)已知函数 f(x)=abx 的图象过点 A(4,

1 )和 B(5,1) 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)记 an=log2f(n) ,n 是正整数,Sn 是数列{an}的前 n 项和,解关于 n 的不等式 anSn≤0; (Ⅲ) (文)对于(Ⅱ)中的 an 与 Sn,整数 96 是否为数列{anSn}中的项?若是,则求 出相应的项数;若不是,则说明理由. ※ 49.(2002 北京,20)在研究并行计算的基本算法时,有以下简单模型问题:用计算机 求 n 个不同的数 v1,v2,?,vn 的和

?v
i ?1

n

i

=v1+v2+v3+?+vn.计算开始前,n 个数存贮

在 n 台由网络连接的计算机中,每台机器存一个数.计算开始后,在一个单位时间内,每台 机器至多到一台其他机器中读数据, 并与自己原有数据相加得到新的数据, 各台机器可同时 完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间 , 使各台机器都得到这 n 个数的和, 需要设计一种读和加的 ......... 方法.比如 n=2 时,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示: 机 器 号 1 v1+v2 初 始 时 v1 v2 第一单位时间 被读机号 2 1 结果 v1+v2 v2+v1 第二单位时间 被读机号 结果 第三单位时间 被读机号 结果

(Ⅰ)当 n=4 时,至少需要多少个单位时间可完成计算? 把你设计的方法填入下表 机 器 号 1 2 3 4 初 始 时 v1 v2 v3 v4 第一单位时间 被读机号 结果 第二单位时间 被读机号 结果 第三单位时间 被读机号 结果

(Ⅱ)当 n=128 时,要使所有机器都得到

?v
i ?1

n

i

,至少需要多少个单位时间可完成计

算?(结论不要求证明) 50.(2002 天津理,22)已知{an}是由非负整数组成的数列,满足 a1=0,a2=3, an+1an=(an-1+2) (an-2+2) ,n=3,4,5,?. (Ⅰ)求 a3; (Ⅱ)证明 an=an-2+2,n=3,4,5,?; (Ⅲ)求{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn. 51.(2001 全国春季北京、安徽,20)在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1,a2,a3??,an, 使这 n+2 个数成等比数列;又在 1 与 2 之间插入 n 个正数 b1,b2,b3,??,bn,使这 n+2 个数成等差数列.记 An=a1a2a3??an,Bn=b1+b2+b3+??+bn. (Ⅰ)求数列{An}和{Bn}的通项; (Ⅱ)当 n≥7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论. ※ 52. (2001 全国理, 21) 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年 5

度当地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业 收入每年会比上年增加

1 . 4

(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年) 总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an, bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? ※ 53.(2001 上海,22)对任意函数 f(x) ,x∈D,可按图示 3—2 构造一 个数列发生器,其工作原理如下: ①输入数据 x0∈D,经数列发生器输出 x1=f(x0) ; ②若 x1?D, 则数列发生器结束工作;若 x1∈D,则将 x1 反馈回输入端, 再输出 x2=f(x1) ,并依此规律继续下去. 现定义 f(x)=

4x ? 2 . x ?1

(Ⅰ)若输入 x0=

49 ,则由数列发生器产生数列{xn} .请写出数列 65

图 3—2

{xn}的所有项; (Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据 x0 的值; (Ⅲ) (理)若输入 x0 时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数 n,均有 xn<xn+1, 求 x0 的取值范围. 54.(2001 上海春,22)已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1;

1 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. 2

(2)是否存在自然数 c 和 k,使得

S k ?1 ? c >2 成立. Sk ? c

55.(2001 全国文,17)已知等差数列前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk=2550. (1)求 a 及 k 的值; (2)求 lim (
n ??

1 1 1 ? ??? ). S1 S 2 Sn

1 ? f1 ( x), x ? [0, ), ? ? 2 56.(2000 京皖春理,24)已知函数 f(x)= ? ? f ( x), x ? [ 1 ,1]. 2 ? ? 2
其中 f1(x)=-2(x ?

1 2 ) +1,f2(x)=-2x+2. 2 1 ,1] )的反函数为 y=g(x) ,a1=1,a2=g(a1) ,?,an 2
n? ?

(Ⅰ)在图 3—3 坐标系上画出 y=f(x)的图象; (Ⅱ)设 y=f2(x) (x∈[

=g(an-1) ;求数列{an}的通项公式,并求 lim an;

(Ⅲ)若 x0∈[0,

1 ) ,x1=f(x0) ,f(x1)=x0,求 x0. 2

57.(2000 京皖春文,22)已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等, 且都等于 d(d>0,d≠1).若 a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn. 58.(2000 全国理,20) (Ⅰ)已知数列{cn} ,其中 cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为 等比数列,求常数 p; (Ⅱ)设{an} 、 {bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等 比数列. 59.(2000 全国文,18)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7, S15=75,Tn 为数列{

Sn }的前 n 项和,求 Tn. n
a x ) (0<a<10)的图象上,且点 Pn、 10

60.(2000 上海,21)在 XOY 平面上有一点列 P1(a1,b1) ,P2(a2,b2) ,?,Pn(an, bn) ,?,对每个自然数 n,点 Pn 位于函数 y=2000(

点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形. (Ⅰ)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (Ⅱ)若对每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范 围; (Ⅲ) (理)设 Bn=b1,b2?bn(n∈N).若 a 取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求

数列{Bn}的最大项的项数. (文)设 cn=lg(bn) (n∈N).若 a 取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,问数列{cn} 前多少项的和最大?试说明理由. 61.(2000 上海春,20)已知{an}是等差数列,a1=-393,a2+a3=-768, {bn}是 公比为 q(0<q<1)的无穷等比数列,b1=2,且{bn}的各项和为 20. (Ⅰ)写出{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)试求满足不等式

am ?1 ? am ? 2 ? ? ? a2 m ≤-160b2 的正整数 m. m ?1

62.(2000 广东,18)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an,已知 T1=1, T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 63.(1999 全国理,23)已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当 n≤y≤n+1 (n=0,1,2,?)时,该图象是斜率为 bn 的线段(其中正常数 b≠1) ,该数列{xn}由 f (xn)=n(n=1,2,?)定义. (Ⅰ)求 x1、x2 和 xn 的表达式; (Ⅱ)求 f(x)的表达式,并写出其定义域; (Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于 1 的交点. 64.(1999 全国文,20)数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 an=5Sn-3(n∈N) .求 lim
n? ?

(a1+a3+?+a2n-1)的值. 65. ( 1999 上 海 , 18 ) 设 正 数 数 列 {an} 为 一 等 比 数 列 , 且 a2=4 , a4=16 , 求

lim

lg an ?1 ? lg an ? 2 ? ? ? lg a2 n . n ?? n2
66.(1998 全国理,25)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145. (Ⅰ)求数列{bn}的通项 bn; (Ⅱ)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 ) (其中 a>0,且 a≠1) ,记 Sn 是数列{an} bn

的前 n 项和.试比较 Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3

67.(1998 全国文,25)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=100. (Ⅰ)求数列{bn}的通项 bn; (Ⅱ)设数列{an}的通项 an=lg(1+

1 ) ,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较 Sn bn



1 lgbn+1 的大小,并证明你的结论. 2
68.(1998 上海,22)若 An 和 Bn 分别表示数列{an}和{bn}前 n 项的和,对任意正整数 n,

an=-

2n ? 3 ,4Bn-12An=13n. 2

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)设有抛物线列 C1,C2,?,Cn,?抛物线 Cn(n∈N*)的对称轴平行于 y 轴,顶 点为(an,bn) ,且通过点 Dn(0,n2+1) ,求点 Dn 且与抛物线 Cn 相切的直线斜率为 kn,求 极限 lim

k1 ? k 2 ? ? ? k n . n ?? an bn

(3)设集合 X={x|x=2an,n∈N*},Y={y|y=4bn,n∈N*}.若等差数列{Cn}的任一项 Cn ∈X∩Y,C1 是 X∩Y 中的最大数,且-265<C10<-125.求{Cn}的通项公式. 69.(1997 全国理,21)已知数列{an} {bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q,其中 p>q,且 p≠1,q≠1,设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求 lim

Sn . n ?? S n ?1

70.(1997 全国文,21)设 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和,已知

1 1 S3 与 S4 的等比中 4 3

项为

1 1 1 S 5 , S 3与 S 4 的等差中项为 1,求等差数列{an}的通项 an. 5 3 4

71.(1997 上海理,22)设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式: 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,?) (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为 f(t) ,作数列{bn},使 b1=1,bn=f(

1 ) (n=2,3,4,?) , bn ?1

求数列{bn}的通项 bn; (3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-b4b5?+b2n-1b2n-b2nb2n+1. 72.(1996 全国文,21)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的 公比 q. 73.(1996 上海,24)设 An 为数列{an}的前 n 项和,An=

3 (an-1) (n∈N*) ,数列 2

{bn}的通项公式为 bn=4n+3(n∈N). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 d∈{a1,a2,a3,?,an,?}∩{b1,b2,b3,?,bn,?} ,则称 d 为数列 {an}与{bn}的公共项,将数列{an} {bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成 一个新的数列{dn} ,证明数列{dn}的通项公式为 dn=32n+1(n∈N*) ; (Ⅲ)设数列{dn}中第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}的前 r 项的和, Dn 为数列{dn}的前 n 项和,Tn=Br+Dn,求 lim

Tn . n ?? ( a ) 4 n

74.(1995 全国理,25)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是前 n 项和.

(Ⅰ)证明:

lg S n ? lg S n ? 2 <lgSn+1; 2

(Ⅱ)是否存在常数 C>0 使得

lg( S n ? C ) ? lg( S n ? 2 ? C ) =lg(Sn+1-C)成立?并证 2

明你的结论. 75.(1994 全国文,25)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于所有的正整数 n,都有 Sn=

n(a1 ? an ) .证明:{an}是等差数列. 2

76.(1994 全国理,25)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对所有自 然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (Ⅰ)写出数列{an}的前三项; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) ; (Ⅲ)令 bn=

1 ? a n ?1 a n ? ? ? ? (n∈N*) ,求 lim (b1+b2+?+bn-n). ? ? n? ? 2 ? an a n ?1 ?

77.(1994 上海,26)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0)且{an?an+1}是 公比为 q(q>0)的等比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,?) (Ⅰ)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+2(n∈N*)成立的 q 的取值范围; (Ⅱ)求 bn 和 lim

1 ,其中 Sn=b1+b2+?+bn; n ?? S n log 2 bn ?1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值. 2 log 2 bn

(Ⅲ)设 r=219 2-1,q=


小橙子高考数学分类复习(题和详尽答案)
第三章数列答案解析
1.答案:A 解法一:因为 an 为等差数列,设首项为 a1,公差为 d,由已知有 5a1+10d=20, ∴a1+2d=4,即 a3=4 解法二:在等差数列中 a1+a5=a2+a4=2a3. 所以由 a1+a2+a3+a4+a5=20 得 5a3=20,∴a3=4. 评述: 本题考查数列的基本知识, 在解析二中, 比较灵活地运用了等差数列中项的关系. 2.答案:C 解析:由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0. 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0. 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的. 3.答案:A 解析:设这个数列有 n 项

3? 2 ? ?S 3 ? 3a1 ? 2 d ? ? ? ∵ ? S 3 ? S n ? S n ? 3 ? 3a1 ? 3nd ? 6d ? n(n ? 1) ?S n ? a1 n ? d 2 ? ?

? ?3( a1 ? d ) ? 34 ? ∴ ?3a1 ? 3d ( n ? 2) ? 146 ? n( n ? 1) d ?a1 n ? ? 390 ? 2

∴n=13 4.答案:C 解析:n 个月累积的需求量为 Sn.∴第 n 个月的需求量为 an=Sn-Sn-1=

n n ?1 (21n-n2-5)- [21(n-1)-(n-1)2-5] 90 90



1 (-n2+15n-9) 30 n (-n2+15n-9)>1.5,6<n<9(n=1,2,3,?,12) , 90

an>1.5 即满足条件,∴ ∴n=7 或 n=8. 5.答案:B

解析:前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2=

S3 =4 3

a1?a2?a3=48,∵a2=4,∴a1?a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3, ∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. 6.答案:B 解析:∵k∈N*,∴当 k=0,1,2,?7 时,利用 an+8=an, 数列{a3k+1}可以取遍数列{an}的前 8 项. 评述:本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力. 7.答案:B 解法一:an= ?

(n ? 1) (n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ?2n ? 1 (n ? 2) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

∴an=2n-1(n∈N) 又 an+1-an=2 为常数,

an ?1 2n ? 1 ≠常数 ? an 2n ? 1

∴{an}是等差数列,但不是等比数列. 解法二: 如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数, 则这个数列一定是 等差数列. 评述: 本题主要考查等差数列、 等比数列的概念和基本知识, 以及灵活运用递推式 an=Sn -Sn-1 的推理能力.但不要忽略 a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活. 8.答案:C 解析:a1+a2+a3+?+a101=0 即

101 (a3+a99)=0,∴a3+a99=0. 2

9.答案:D 解析: lim

a1 1 ? , n ?? 1 ? q a1
6 3 ,∴a=± . 2 2

∴a12=1-q,∴a12= 10.答案:D 解析:由题意得:

a1 1 ? 且 0<|q|<1 1 ? q a1
2 ,故选 D.

∴-q=a12-1 ∴0<|a12-1|<1 又∵a1>1 ∴1<a1<

评述:该题主要考查了无穷等比数列各项和公式的应用,挖掘了公式成立的条件. 11.答案:D

解析:∵f(n)=1+

1 1 1 ? ??? 2 3 3n ? 1

∴f(n+1)=1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? 2 3 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 2
1 1 1 ? ? 3n 3n ? 1 3n ? 2

∴f(n+1)-f(n)=

12.答案:D 解析:f(n)为 n 个连续自然数的倒数之和 f(n+1)=

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? n?2 n?3 2 n 2 n ? 1 2n ? 2

∴f(n+1)-f(n)= 13.答案:B 解析:

1 1 1 1 1 ? ? ? ? . 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2n ? 2

S10 31 a (1 ? q10 )(1 ? q ) 31 31 ? ? 1 ? ? 1 ? q5 ? 5 S 5 32 (1 ? q )a1 (1 ? q ) 32 32

? q5 ? ?

a ?1 2 1 1 ? q ? ? ,又 a1=-1,故 lim S n ? 1 ? ? ? ,故选 B. n ?? 32 2 1? q 1? 1 3 2

评述: 本题主要考查等比数列前 n 项和求和公式的灵活运用, 较好地考查了基本知识以 及思维的灵活性. 14.答案:C

m(m ? 1) ? ma ? d ? 30 1 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? ?2ma ? 2m(2m ? 1) d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d

?

40 10(m ? 2) , a1 ? 2 m m2

∴ S 3m

? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3, 则 b1,b2,b3 也成等差数列. 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40. ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210.

解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40. 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210. 评述:本题考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力,解法二中 是利用构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题给选择支获得的信息 可知,对任意变化的自然数 m,题给数列前 3m 项的和是与 m 无关的不变量,在含有某种变 化过程的数学问题,利用不变量的思想求解,立竿见影. 15.答案:C 解法一:应用等差数列中,若 m+n=p+q,有 am+an=ap+aq 这条性质来解.

a n 2a n a1 ? a 2 n ?1 ? ? bn 2bn b1 ? b2 n ?1

(a1 ? a 2 n ?1 )(2n ? 1) S 2(2n ? 1) 4n ? 2 2 ? ? 2 n ?1 ? ? , (b1 ? b2 n ?1 )(2n ? 1) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 6n ? 2 2

所以 lim

an 4 2 ? ? n ?? b 6 3 n

解法二:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, {bn}的首项为 b1,公差为 m,则

S n 2a1 ? (n ? 1)d 2n ? ? Tn 2b1 ? (n ? 1)m 3n ? 1
注意 n 是极限中的变量有

lim

an a ? (n ? 1)d 2a ? (n ? 1)d 2n 2 ? lim 1 ? lim 1 ? lim ? . n ?? b n ?? b ? (n ? 1)m n ?? 2b ? (n ? 1)m n ?? 3n ? 1 3 n 1 1

Sn 2n 2 解法三:∵ ? Tn 3n 2 ? n
∴不妨令 Sn=2n2,Tn=3n2+n ∴an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2(n=1 时成立) ,bn=Tn-Tn-1=6n-2(n=1 成立) ∴ lim

an 2 ? n ?? b 3 n

评述:该题的形式新颖,其考查目的也明确,正确解答,可考查其数学能力,要是在题 型的选用上,采用解答题的形式,那将是一道十分理想的中等难度的试题.可是作为选择题, 其考查的有效性大打折扣, 因为有相当一部分考生, 并没有用正确的方法却也得出了正确答 案 C. 16.答案:B 解析:由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为 2 的等比数列,所以 a10=a1q9=29=512. 评述:该题作为数学应用题,又是选择题,问题的实际背景虽然简单,考查的知识点也 集中明确,但也有一定的深刻性. 解决本题,应搞清题意,应求的是 a9 的值,而不是求和. 从题型设计的角度,本题的立意、取材和构题都是不错的. 17.答案:C 解析:因为当 n=k 时,命题成立可推出 n=k+1 时成立,所以 n=5 时命题不成立,则 n=4

时,命题也一定不成立,故应当选 C. 18.答案:140 85 解析:从题目所给数据规律可以看到:收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规 律:随着年龄的变化,舒张压分别增加了 3 毫米、2 毫米,?照此规律,60 岁时的收缩压和 舒张压分别为 140;85. 评述: 本题以实际问题为背景, 考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力. 它不需要技能、技巧及繁杂的计算,需要有一定的数学意识,有效地把数学过程实施为数学 思维活动. 19.答案:3

2
x

1 ? 2x 1 2 1 解析:因为 f(x)= x ,∴f(1-x)= 1? x ? ? 2 x x 2 ? 2 2 ? 2 2? 2 ?2 2?2 1 1 x 1 ? 2x 1? 2 ( 2 ? 2x ) 1 1 2 2 ∴( f x) +( f 1-x) = . ? 2 x ? ? 2 ? ? x x x 2 2?2 2?2 2?2 2?2 2
设 S=f(-5)+f(-4)+?+f(6) ,则 S=f(6)+f(5)+?+f(-5) ∴2S=(f(6)+f(-5) )+(f(5)+f(-4) )+?+(f(-5)+?f(6) )=6 ∴S=f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(6)=3

2

2.

评述:本题利用课本中等差数列倒序求和为考生提供了一个思维模式,但发现 f(x)+ f(1-x)=

2 有一定难度,需要考生有一定的观察能力、思维能力及解决问题的能力. 2

20.答案:4 解析:设 a1,a3,a11 组成的等比数列公比为 q. ∴a3=a1q=2q,a11=a1q2=2q2 又 ∵数列{an}是等差数列∴a11=a1+5(a3-a1) ∴2q2=a1+5(2q-a1) ∴2q2=2+5(2q-2) ,解得 q=4 21.答案:

1 2

解析:由二项式定理,得:an=4n,bn=7n

4 ( )n ? 2 an ? 2bn 4n ? 2 ? 7 n 1 7 ? lim ? lim ? ∴ lim n ? ? 3a ? 4b n ?? 3 ? 4 n ? 4 ? 7 n n ?? 4 n n 3 ? ( )n ? 4 2 7
22.答案:1 解析:方法一:∵Sn-Sn-1=an,又∵Sn 为等差数列,∴an 为定值.

∴an 为常数列,q=

an =1 an ?1


方法二:an 为等比数列,设 an=a1qn 1,且 Sn 为等差数列, ∴2S2=S1+S3,2a1q+2a1=2a1+a1+a1q+a1q2,q2-q=0,q=0(舍)q=1. 23.答案:153 解析:∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列. ∴an=-7(n-1) ?2,∴a17=-7+16?2=25

S17 ?

(a1 ? a17 ) ? 17 (?7 ? 25) ? 17 ? ? 153 . 2 2

24.答案: (0,7) 解析:∵ lim Sn=7,∴{an}是一个无穷递缩等比数列,0<q<1,
n??

且 lim S n
n ??

?

a1 =7,∴a1=7(1-q) ,又∵0<q<1,∴1>1-q>0, 1? q

∴0<7(1-q)<7,即 7>a1>0. 25.答案:153 解析:|a1|+|a2|+?+|a15|=5+3+1+1+3+5+?+23=153. ※ 26.答案:e2 解析: lim(
n ?? ?1 2 n n?3 n 2 n2 ) ? lim[(1 ? ) ] n ?1 ? e 2 n ?? n ?1 n ?1

27.答案:

3 2

1 1 n2 3 2 解析: a1 ? , lim(a1 ? n an ) ? lim[ ? ]? . n ? ? n ? ? 2 2 n(n ? 1) 2
28.答案:

1 n

解析:将(n+1)an+12-nan2+an+1an=0 化简得(n+1)an+1=nan.当 n=1 时,2a2=a1=1, ∴a2=

1 1 1 1 ,n=2 时,3a3=2a2=2? =1,∴a3= ,?可猜测 an= ,数学归纳法证明略. 3 2 2 n

29.答案:b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*) 解析:在等差数列{an}中,由 a10=0,得 a1+a19=a2+a18=?=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, 所以 a1+a2+?+an+?+a19=0, 即 a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,?,a19-n=-an+1 ∴a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1=a1+a2+?+a19-n.

若 a9=0,同理可得 a1+a2+?+an=a1+a2+a17-n. 相应地等比数列{bn}中,则可得:b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*) ※ - 30.答案:e 2 解析: lim(
n ?? 2 ?2 n n n 2 n 2 ? n? ) ? lim(1 ? ) ? lim{[1 ? (? )] 2 }n ? 2 ? e ? 2 . n ?? n ?? n?2 n?2 n?2

评述:本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力及代数式的变形能力. 31.答案:9 解法一:设公差为 d,由题设有 3(a1+3d)=7(a1+6d) , 解得 d=-

4 a1<0,解不等式 an>0, 33 4 37 a1)>0 得 n< ,则 n≤9. 4 33

即 a1+(n-1) (-

当 n≤9 时,an>0,同理可得 n≥10 时 an<0. 所以 n=9 时,Sn 取得最大值. 解法二:∵d=-

4 a1 33

∴Sn=na1+

2a n(n ? 1) n(n ? 1) 4 35 d ? na1 ? (? a1 ) ? ? 1 (n 2 ? n) 2 2 33 33 2

=?

2a1 35 35 [(n ? ) 2 ? ( ) 2 ] 33 4 4
2a1 35 2 <0,∴(n- ) 最小时,Sn 最大. 4 33

∵-

又 n∈N,∴n=9. 评述:本题考查等差数列的基本知识,解法二的计算量太大. 32.答案:2 解析:bn=

a n ? a n ?1 a 1 ,3an+1=an ∴bn=2an+1, n ?1 ? 2 an 3
1 的等比数列 3

∴b1+b2+?+bn=2(a1+a2+?+an)-2a1 ∵{an}是首项为 2,公比为

∴ lim (b1+b2+?+bn)= lim [2(a1+a2+?+an)-2a1]=2?
n?? n??

2 1 1? 3

-2?2=2.

33.答案:-4

lim 4 4b n 4 4 n ?? 解析: lim n ? lim ? ? ? ?4 n n ?? a ? b n ?? b a n ? 1 n ( ) ? 1 lim[( ) ? 1] n ?? b a


34.答案:e4

2 ?2n 2 ?n 解析: lim(1 ? ) ? lim{[1 ? (? )] 2 }4 ? e 4 . n ?? n ?? n n
35.答案:-2<r<0 解析:∵ lim 1=1,又∵ lim [1+(r+1)n]=1,
n?? n??


∴ lim {[1+(r+1)n] }=1-1=0,即 lim (r+1)n=0.
n?? n??

则-1<r+1<1,因此-2<r<0. ※ 36.答案:e
2 2 1 n?2 1 n n? 1 n lim n ? n n 解析: lim(1 ? ) ? lim[(1 ? ) ] ? [lim(1 ? ) ] ? e1 ? e . n ?? n ? ? n ? ? n n n
n??

37.答案:1 解析:log3x=

?1 1 1 =-log32=log3 ,故 x= , log 2 3 2 2

1 x ? 2 ?1. 于是 x+x2+x3+?+xn+?= 1? x 1? 1 2
38.答案:y=54.8(1+x%)8 解析:因为 y1=54.8,y2=54.8(1+x%) ,y3=54.8(1+x%)2 从 1992 年底到 2000 年底共经过 8 年,因此有:y=54.8(1+x%)8


39.(Ⅰ)证明:记 rn 为圆 On 的半径,则 r1=

3 l tan30°= l. 2 6

1 rn ?1 ? rn 1 =sin30°= ,所以 rn= rn-1(n≥2) 2 3 rn ?1 ? rn
于是 a1=π r1 =
2

?l 2 an
12 an ?1 ,

?(

rn 2 1 ) ? rn ?1 9

故{an}成等比数列. (Ⅱ)解:因为 an=(

1 n-1 ) a1(n∈N*) 9

所以 lim (a1+a2+?+an)=
n??

a1 1? 1 9

?

3?l 2 . 32

评述:本题主要考查数列、数列极限、平面几何、三角函数等基本知识,考查逻辑思维 能力与解决问题的能力. ※ 40.解: (1)此人在 A、B 公司第 n 年的月工资数分别为: an=1500+230?(n-1) (n∈N*) - bn=2000(1+5%)n 1(n∈N*) (2) 若该人在 A 公司连续工作 10 年, 则他的工资收入总量为 12 (a1+a2+?+a10) =304200 (元) 若该人在 B 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(b1+b2+?+b10)≈301869 (元) 因为在 A 公司收入的总量高些,因此该人应该选择 A 公司. - (3)问题等价于求 Cn=an-bn=1270+230n-2000?1.05n 1(n∈N*)的最大值. - 当 n≥2 时,Cn-Cn-1=230-100?1.05n 2 - - 当 Cn-Cn-1>0,即 230-100?1.05n 2>0 时,1.05n 2<2.3,得 n<19.1 因此,当 2≤n≤19 时,Cn-1<Cn;于是当 n≥20 时,Cn≤Cn-1. ∴C19=a19-b19≈827(元) 即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元. 评述:本题主要考查数列等知识,考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能 力.


41.(Ⅰ)解:第 1 位职工的奖金 a1=

b , n

第 2 位职工的奖金 a2=

1 1 (1- )b, n n 1 1 (1- )2b, n n 1 1 - (1- )k 1b. n n

第 3 位职工的奖金 a3= ?? 第 k 位职工的奖金 ak=

(Ⅱ)证明:ak-ak+1=

1 1 - (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或 2 n n

“不吃大锅饭”等原则. (Ⅲ)解:设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余款,则 f1(b)=(1-

1 1 1 )b,f2(b)=(1- )2b,?,fk(b)=(1- )kb, n n n

得 Pn(b)=fn(b)=(1-

1 n b ) b,则 lim Pn (b) ? . n?? n e xn ?1 ? xn ? 2 . 2

42.(Ⅰ)解:当 n≥3 时,xn=

(Ⅱ)解:a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=

x2 ? x1 1 1 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a 2 2 2

a 3 ? x 4 ? x3 ?

x3 ? x 2 1 1 1 1 ? x3 ? ? ( x 3 ? x 2 ) ? ? ( ? a ) ? a , 2 2 2 2 4
1 n-1 ) a(n∈N*). 2 1 0 ) a,公式成立. 2 1 k-1 ) a 成立. 2

由此推测 an=( ?

用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=( ?

(ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=( ? 那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? xk ? 2 ? xk ?1 ?

xk ?1 ? xk 1 ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) 2 2

1 1 1 1 ? ? ak ? ? (? ) k ?1 a ? (? ) ( k ?1) ?1 a ,公式仍成立. 2 2 2 2
根据(ⅰ)与(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=( ?

1 n-1 ) a 成立. 2

(Ⅲ)解:当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1 =an-1+an-2+?+a1, 由(Ⅱ)知{an}是公比为 ?

1 的等比数列,∴ lim xn ? n ?? 2

a 1? 1 2

?

2 a. 3



43.解: (Ⅰ)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意,有 2n+

n( n ? 1) +5n=70, 2

整理得 n2+13n-140=0. 解得 n=7,n=-20(舍去) . 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟.

(Ⅱ)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意, 有 2n+

n( n ? 1) +5n=3?70. 2

整理得 n2+13n-6?70=0. 解得 n=15,n=-28(舍去) . 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. ※ 44.解:2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万 辆,?,每年新增汽车 x 万辆,则 b1=30,b2=b1?0.94+x. 对于 n>1,有 bn+1=bn?0.94+x=bn-1?0.942+(1+0.94)x, ?? - ∴bn+1=b1?0.94n+x(1+0.94+?+0.94n 1) =b1?0.94n+

1 ? 0.94n x x x? ? (30 ? ) ? 0.94n . 0.06 0.06 0.06

当 30 ?

x ≥0,即 x≤1.8 时,bn+1≤bn≤?≤b1=30. 0.06 x <0,即 x>1.8 时, 0.06

当 30 ?

lim bn ? lim[
n ?? n ??

x x x ? (30 ? ) ? 0.94n ?1 ] ? ,并且数列{bn}逐项增加,可 0.06 0.06 0.06

以任意靠近

x . 0.06

因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn≤60(n=1,2,3,?) 则

x ≤60,即 x≤3.6(万辆) . 0.06

综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 45.(Ⅰ)解:由 a1=2,得 a2=a12-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=a22-2a2+1=4, 由 a3=4,得 a4=a32-3a3+1=5. 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1) . (Ⅱ)证明: (ⅰ)用数学归纳法证明: ①当 n=1,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+2,那么, ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2) (k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时 ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,有 an≥n+2. (ⅱ)由 an+1=an(an-n)+1 及(ⅰ) ,对 k≥2,有 ai=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,

?? - - - ∴ak≥2k 1a1+2k 2+?+2+1=2k 1(a1+1)-1. 于是

1 1 1 ? ? k ?1 ,k≥2. 1 ? ak 1 ? a1 2

1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? . ? ? ? k ?1 k ?1 1 ? a1 1 ? a1 k ? 2 2 1 ? a1 k ?1 2 1 ? a1 1 ? 3 2 k ?1 1 ? ak
n

46.(Ⅰ)证明:由 x1=a>0,及 xn+1=

1 a (xn+ ) ,可归纳证明 xn>0 2 xn

从而有 xn+1=

a 1 a ? a (n∈N) (xn+ )≥ xn ? , 2 xn xn

所以,当 n≥2 时,xn≥

a 成立.
1 a a >0,xn+1= ( xn ? ) , 2 xn
2

(Ⅱ)证法一:当 n≥2 时,因为 xn≥

1 a 1 a ? xn ) ? xn ? ? 所以 xn+1-xn= ( x n ? ≤0, 2 xn 2 xn
故当 n≥2 时,xn≥xn+1 成立. 证法二:当 n≥2 时,因为 xn≥

a >0,xn+1=

1 a ( xn ? ) xn



所以

xn ?1 xn

1 a ( xn ? ) 2 2 2 2 xn xn ? a xn ? xn ? ? ? =1, 2 2 xn 2 xn 2 xn

故当 n≥2 时,xn≥xn+1 成立. 注:第(Ⅲ)问文科不做理科做 (Ⅲ)解:记 lim xn
n ??

? A ,则 lim xn ?1 =A,且 A>0.
n ??

由 xn ?1

1 a 1 a ), ? ( xn ? ) ,得 lim xn ?1 ? (lim xn ? n ?? 2 n ?? lim xn 2 xn
n ??

即 A=

1 a (A+ ) . 2 A

由 A>0,解得 A=

a ,故 lim xn ? a .
n ??

47.解:∵{an}为等差数列, {bn}为等比数列,

∴a2+a4=2a3,b2b4=b32. 已知 a2+a4=b3,b2b4=a3, ∴b3=2a3,a3=b32. 得 b3=2b32. ∵b3≠0 ∴b3=

1 1 ,a3= . 2 4

由 a1=1,a3=

1 3 知{an}的公差为 d= ? , 8 4

∴S10=10a1+

10 ? 9 55 d ?? . 2 8
1 2 2 知{bn}的公比为 q= 或 q= ? . 2 2 2

由 b1=1,b3=

b1 (1 ? q10 ) 31 2 当 q= 时, T10 ? ? (2 ? 2 ) , 2 1? q 32
当 q= ?

b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ) . 2 1? q 32
1 1 x 1 =a?b4,1=a?b5,得 b=4,a= ,故 f(x)= 4. 4 1024 1024 1 ?4n)=2n-10, 1024

48.解: (Ⅰ)由

(Ⅱ)由题意 an=log2(

Sn=

n (a1+an)=n(n-9) ,anSn=2n(n-5) (n-9) . 2

由 anSn≤0,得(n-5) (n-9)≤0,即 5≤n≤9. 故 n=5,6,7,8,9. (Ⅲ)a1S1=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40. 当 5≤n≤9 时,anSn≤0. 当 n≥10 时,anSn≥a10S10=100. 因此,96 不是数列{anSn}中的项. ※ 49.解: (Ⅰ)当 n=4 时,只用 2 个单位时间即可完成计算. 方法之一如下:

(Ⅱ)当 n=128=27 时,至少需要 7 个单位时间才能完成计算. 50.(Ⅰ)解:由题设得 a3a4=10,且 a3、a4 均为非负整数,所以 a3 的可能的值为 1,2, 5,10. 若 a3=1,则 a4=10,a5=

3 ,与题设矛盾. 2

若 a3=5,则 a4=2,a5=

35 ,与题设矛盾. 2

若 a3=10,则 a4=1,a5=60,a6=

3 ,与题设矛盾. 5

所以 a3=2. (Ⅱ)用数学归纳法证明: ①当 n=3,a3=a1+2,等式成立. ②假设当 n=k(k≥3)时等式成立,即 ak=ak-2+2,由题设 ak+1ak=(ak-1+2) ? (ak-2 +2) ,因为 ak=ak-2+2≠0,所以 ak+1=ak-1+2, 也就是说,当 n=k+1 时,等式 ak+1=ak-1+2 成立. 根据①和②,对于所有 n≥3,有 an+1=an-1+2. (Ⅲ)解:由 a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及 a2k=a2(k-1)+2,a2=3 得 a2k-1=2(k- 1) ,a2k=2k+1,k=1,2,3,?. 即 an=n+(-1)n,n=1,2,3,?.

?1 n(n ? 1),当n为偶数 , ? ?2 所以 Sn= ? ? 1 n(n ? 1) ? 1, 当n为奇数 . ? ?2
评述:本小题主要考查数列与等差数列前 n 项和等基础知识,以及准确表述,分析和解 决问题的能力. 51.解: (Ⅰ)设公比为 q,公差为 d,等比数列 1,a1,a2,??,an,2,等差数列 1, b1,b2,??,bn,2 则 A1=a1=1?q A2=1?q?1?q2 A3=1?q?1?q2?1?q3 + + 又∵an+2=1?qn 1=2 得 qn 1=2 An=q?q2?qn=q
n (1 ? n) ? n ? 2 2 (n=1,2,3?) 2

又∵bn+2=1+(n+1)d=2

∴(n+1)d=1

B1=b1=1+d B2=b2+b1=1+d+1+2d Bn=1+d+?+1+nd= (Ⅱ)An>Bn,当 n≥7 时 证明:当 n=7 时,23 5=8?


3 n 2

3 2 =An Bn= ?7,∴An>Bn 2

设当 n=k 时,An>Bn,则当 n=k+1 时, Ak ?1
k

?2

k 1 ? 2 2

Bk ?1 ?

3 3 k? 2 2

又∵Ak+1=

2 ?22

Bk ?1 ?

3 3 3 k ? 且 Ak>Bk ∴Ak+1> 2 ? k 2 2 2

∴Ak+1-Bk+1>

3 3 3 3 3 2 ? k ? k ? ? ( 2 ? 1) ? k ? 2 2 2 2 2

又∵k=8,9,10? ∴Ak+1-Bk+1>0,综上所述,An>Bn 成立.


52.解: (Ⅰ)第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800?(1-

1 )万元??,第 n 年投 5

入 800?(1-

1 n-1 ) 万元 5

所以总投入 an=800+800(1 ?

1 - 4 4 )+?+800(1 ? )n 1=4000[1-( )n] 5 5 5 1 )万元,??,第 n 年收入 400 4

同理,第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400?(1+

?(1+

1 n-1 ) 万元 4 1 1 - 5 )+?+400?(1+ )n 1=1600?[ ( )n-1] 4 4 4
4 5 n ) -1]-4000?[1-( )n]>0 4 5

bn=400+400?(1+

(Ⅱ)∴bn-an>0,1600[ (

化简得,5?(

4 n 5 ) +2?( )n-7>0 4 5

设 x=(

4 n ) ,5x2-7x+2>0 5

∴x<

2 2 4 ,x>1(舍) ,即( )n< ,n≥5 5 5 5

评述:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力. ※ 53.解: (Ⅰ)∵f(x)的定义域 D=(-∞ 1)∪(-1,+∞) ∴数列{xn}只有三项 x1=

11 1 ,x2= ,x3=-1 5 19

(Ⅱ)∵f(x)=

4x ? 2 =x 即 x2-3x+2=0,∴x=1 或 x=2 x ?1

即 x0=1 或 2 时,xn+1=

4 xn ? 2 =xn xn ? 1

故当 x0=1 时,x0=1;当 x0=2 时,xn=2(n∈N) (Ⅲ)解不等式 x<

4x ? 2 ,得 x<-1 或 1<x<2, x ?1

要使 x1<x2,则 x2<-1 或 1<x1<2 对于函数 f(x)=

4x ? 2 6 ?4? x ?1 x ?1

若 x1<-1,则 x2=f(x1)>4,x3=f(x2)<x2 当 1<x1<2 时,x2=f(x)>x1 且 1<x2<2 依次类推可得数列{xn}的所有项均满足 xn+1>xn(n∈N) 综上所述,x1∈(1,2) ,由 x1=f(x0) ,得 x0∈(1,2) 54.解: (1)由 Sn=4(1-

1 1 1 ) ,得 Sn+1=4(1- n ?1 )= Sn+2(n∈N*) n 2 2 2

3 c ? ( S k ? 2) S ?c 2 ? 0. (2)要使 k ?1 >2,只要 c ? Sk Sk ? c
因为 Sk=4(1-

3 1 1 )<4.所以 Sk-( Sk-2)=2- Sk>0(k∈N*) k 2 2 2

故只要

3 Sk-2<c<Sk(k∈N*) ① 2 3 3 Sk-2≥ S1-2=1. 2 2

因为 Sk+1>Sk(k∈N*) ,所以

又 Sk<4,故要使①成立,c 只能取 2 或 3.

当 c=2 时,因为 S1=2,所以当 k=1 时,c<Sk 不成立,从而①不成立. 因为

5 3 S2-2= >c,由 Sk<Sk+1(k∈N*) , 2 2



3 3 3 Sk-2< Sk+1-2,所以当 k≥2 时, Sk-2>c,从而①不成立. 2 2 2 3 3 3 13 S3-2= >c,又 Sk-2< Sk+1-2, 2 2 2 4 3 Sk-2>c,从而①不成立. 2

当 c=3 时,因为 S1=2,S2=3,所以当 k=1,2 时,c<Sk 不成立,从而①不成立. 因为

所以当 k≥3 时,

故不存在自然数 c,k,使

S k ?1 ? c 成立. Sk ? c

评述:本题主要考查等比数列、不等式知识,以及探索和讨论存在性问题的能力,是高 考试题的热点题型. 55.解: (1)由已知 a1=a,a2=4,a3=3a,∴a3-a2=a2-a1,即 4a=8,∴a=2. ∴首项 a1=2,d=2 Sk=k?a1+

k ( k ? 1) k ( k ? 1) d 得 k?2+ d=2550 2 2

∴k2+k-2550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去) ∴a=2,k=50. (2)由 Sn=na1+

n( n ? 1) d,得 Sn=n(n+1) 2



1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ?? S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ?1? 2 2 3 n n ?1 n ?1
∴ lim(
n ??

1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? lim(1 ? ) ?1 n ?? S1 S 2 Sn n ?1

评述:本题考查数列和数列极限等基础知识,以及推理能力和运算能力. 56.解: (Ⅰ)函数图象: 说明:图象过(0,

1 1 1 ) 、 ( ,1) 、 (1,0)点;在区间[0, ]上的图象为上凸 2 2 2
图 3—4

的曲线段;在区间[

1 ,1]上的图象为直线段. 2

(Ⅱ)f2(x)=-2x+2,x∈[ x∈[0,1] . 由已知条件得:a1=1, a2=1-

x 1 ,1]的反函数为:y=1- , 2 2

1 1 a1=1- , 2 2 1 1 1 a2=1- +( )2, 2 2 2 1 1 1 1 ) +(- )2+(- )3, 2 2 2

a3=1-

a4=1+(- ??

1 1 ? (? ) n 2 1 1 1 1 - ∴an=(- )0+(- )1+(- )2+?+(- )n 1 ? 1 2 2 2 2 1 ? (? ) 2
即 an=

2 1 [1-(- )n] , 2 3

∴ lim an
n ??

2 1 2 ? lim [1 ? (? ) n ] ? . n ?? 3 2 3
1 1 ) ,∴x1=f1(x0)=1-2(x0- )2, 2 2 1 ,1] . 2 1 2 1 ) ]=4(x0- )2. 2 2

(Ⅲ)由已知 x0∈[0,

由 f1(x)的值域,得 x1∈[

∴f2(x1)=2-2[1-2(x0-

由 f2(x1)=x0,整理得 4x02-5x0+1=0, 解得 x0=1,x0=

1 . 4

因为 x0∈[0,

1 1 ) ,所以 x0= . 2 4

评述:本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质,考查分析、归纳、推理、运算的 能力.

?a1 ? 2d ? 3a1d 2 , 57.解:由已知 ? 4 ?a1 ? 4d ? 5a1d .

① ②

由①,得 a1(3d2-1)=2d ③ 4 由②,得 a1(5d -1)=4d ④ 2 因为 d≠0,由③与④得 2(3d -1)=5d4-1, 即 5d4-6d2+1=0, 解得 d=±1,d=±

5 . 5 5 . 5

∵d>0,d≠1,∴d=

代入③,得 a1=- an=-

5 ,故 b1=- 5 .

5+

5 5 (n-1)= (n-6) , 5 5 5 n-1 ) . 5

bn=-

5 ?(

评述:本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力 和分析能力. 58.(Ⅰ)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有 (cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1) (cn-pcn-1) , n n 将 cn=2 +3 代入上式,得 + + + + + + - - 2 [2n 1+3n 1-p(2n+3n) ] =[2n 2+3n 2-p(2n 1+3n 1) ] ? [2n+3n-p(2n 1+3n 1) ] n n 2 即[ (2-p)2 +(3-p)3 ] + + - - =[ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1] [ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1] , 整理得

1 (2-p) (3-p) ?2n?3n=0,解得 p=2 或 p=3. 6

(Ⅱ)证明:设{an} 、 {bn}的公比分别为 p、q,p≠q,cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证 c22≠c1?c3. 事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq, c1?c3=(a1+b1) (a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2) 由于 p≠q,p2+q2>2pq,又 a1、b1 不为零, 因此 c22≠c1?c3,故{cn}不是等比数列. 评述:本题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力. 59.解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

1 n(n-1)d.∴S7=7,S15=75, 2

∴?

?7 a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, 即? ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7 d ? 5,

解得 a1=-2,d=1.∴

Sn 1 1 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1) . 2 2 n



S n ?1 S n 1 ? ? , n ?1 n 2
Sn 1 }是等差数列,其首项为-2,公差为 , 2 n

∴数列{

∴Tn=

1 2 9 n - n. 4 4

评述:本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能;运算能力.

a n? 1 1 60.解: (Ⅰ)由题意,an=n+ ,∴bn=2000( ) 2. 2 10
(Ⅱ)∵函数 y=2000(

a x ) (0<a<10)递减, 10

∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, 即(

a 2 a ) +( -1)>0, 10 10
, 5 )或 a>5( 5 -1)

解得 a<-5(1+ ∴5(

5 -1)<a<10. 5 -1)<a<10,
7 n? 1 ) 2. 10

(Ⅲ) (理)∵5(

∴a=7,bn=2000(

数列{bn}是一个递减的正数数列.对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1. 于是当 bn≥1 时,Bn≥Bn-1,当 bn<1 时,Bn<Bn-1, 因此,数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1.

7 n? 1 由 bn=2000( ) 2 ≥1,得 n≤20.8,∴n=20. 10
(文)∵5(

5 -1)<a<10,∴a=7,bn=2000(

7 n? 1 ) 2. 10

于是 cn=lg[2000(

7 n? 1 1 ) 2 ]=3+lg2(n+ )lg0.7 2 10

数列{cn}是一个递减的等差数列. 因此,当且仅当 cn≥0,且 cn+1<0 时,数列{cn}的前 n 项的和最大. 由 cn=3+lg2+(n+

1 )lg0.7≥0, 2

得 n≤20.8,∴n=20. 评述: 本题主要考查函数的解析式, 函数的性质, 解不等式, 等差等比数列的有关知识, 及等价转化,数形结合等数学思想方法. 61.解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,则 a2+a3=2a1+3d, 故 2?(-393)+3d=-768,解得 d=6, ∴an=-393+6(n-1)=6n-399. 由 S=

9 9 n-1 2 =20,得 q= ,bn=2? ( ) (n∈N) . 10 10 1? q
m(m ? 1)d =-393m+3m(m-1) , 2

(Ⅱ)∵a1+a2+?+am=ma1+

∴am+1+am+2+?+a2m=(a1+a2+?+a2m)-(a1+a2+?+am) =-393?(2m)+6m(2m-1)+393m-3m(m-1)=9m2-396m. ∵-160b2=-288,∴9m2-396m≤-288(m+1) , 2 m -44m≤-32(m+1) , 即(m-4) (m-8)≤0,解得 4≤m≤8, 又 m∈N,从而 m=4,5,6,7,8. 62.解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 T1=a1,T2=2a1+a2=a1(2+q) 又 T1=1,T2=4,∴a1=1,q=2. - - (2)解法一:由(1)知:a=1,q=2,∴an=a1?qn 1=2n 1 - - ∴Tn=n?1+(n-1) ?2+(n-2) ?22+?+2?2n 2+1?2n 1 ① - 2Tn=n?2+(n-1) ?22+(n-2) ?23+?+2?2n 1+1?2n ② - - 2 n-1 n ②-①得 Tn=n?2+(n-1) ?2 +?+2?2 +2 -[n?1+(n-1)2+?+2?2n 2+1?2n 1] - =-n+2+22+?+2n 1+2 =-n+

2 ? 2 ? 2 n n+1 =2 -(n+2) 1? 2


解法二:设 Sn=a1+a2+?+an,而 an=2n 1 - ∴Sn=1+2+?2n 1=2n-1 ∴Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an =a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+?+(a1+a2+?+an-1+an) =S1+S2+?+Sn =(2-1)+(22-1)+?+(2n-1) =(2+22+?+2n)-n=2n+1-(n+2) 评述:本题考查等比数列的有关知识,以及灵活运用数学方法的能力.第(2)问的两种

解法都比较巧妙,解法一扣住课本中的错位相减法;解法二活用 S1=a1,S2=a1+a2,?,从 而获得新的解题思路. 63.(Ⅰ)解:依题意 f(0)=0,又由 f(x1)=1,当 0≤y≤1 时,函数 y=f(x)的图 象是斜率为 b0=1 的线段,故由

f ( x1 ) ? f (0) =1 得 x1=1. x1 ? 0
又由 f(x2)=2,当 1≤y≤2 时,函数 y=f(x)的图象是斜率为 b 的线段,故由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 1 =b,即 x2-x1= 得 x2=1+ . b b x2 ? x1
记 x0=0,由函数 y=f(x)图象中第 n 段线段的斜率为 bn 1,故得


f ( xn ) ? f ( xn ?1 ) ? b n ?1 . xn ? xn ?1
又 f(xn)=n,f(xn-1)=n-1; ∴xn-xn-1=(

1 n-1 ) ,n=1,2,?. b 1 . b

由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为 1,公比为

1 b ? ( ) n ?1 1 1 b 因 b≠1,得 xn= ? ( xk ? xk ?1 ) ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? , b b b ? 1 k ?1
n

1 b ? ( ) n ?1 b 即 xn= . b ?1
(Ⅱ)解:当 0≤y≤1,从(Ⅰ)可知 y=x,即当 0≤x≤1 时,f(x)=x. 当 n≤y≤n+1 时,即当 xn≤x≤xn+1 时,由(Ⅰ)可知 f(x)=n+bn(x-xn) (xn≤x≤xn+1,n=1,2,3,?) .

1 b ? ( ) n ?1 b 为求函数 f(x)的定义域,须对 xn= (n=1,2,3,?)进行讨论. b ?1 1 b ? ( ) n ?1 b b ? 当 b>1 时, lim xn ? lim ; n ?? n ?? b ?1 b ?1
当 0<b<1 时,n→∞,xn 也趋向于无穷大. 综上,当 b>1 时,y=f(x)的定义域为[0,

b ) ; b ?1

当 0<b<1 时,y=f(x)的定义域为[0,+∞ ) .

(Ⅲ)证法一:首先证明当 b>1,1<x<

b 时,恒有 f(x)>x 成立. b ?1

用数学归纳法证明: (ⅰ)由(Ⅱ)知当 n=1 时,在(1,x2]上,y=f(x)=1+b(x-1) ,所以 f(x)-x= (x-1) (b-1)>0 成立. (ⅱ)假设 n=k 时在(xk,xk+1]上恒有 f(x)>x 成立. 可得 f(xk+1)=k+1>xk+1, + 在(xk+1,xk+2]上,f(x)=k+1+bk 1(x-xk+1) , k+1 k +1 所以 f(x)-x=k+1+b (x-xk+1)-x=(b -1) (x-xk+1)+(k+1-xk+1)>0 成立. 由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数 n 在(xn,xn+1)上都有 f(x)>x 成立. 即 1<x<

b 时,恒有 f(x)>x. b ?1

其次,当 b<1,仿上述证明,可知当 x>1 时,恒有 f(x)<x 成立. 故函数 y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于 1 的交点. 证法二:首先证明当 b>1,1<x<

b 时,恒有 f(x)>x 成立. b ?1

对任意的 x∈(1,

b )存在 xn,使 xn<x≤xn+1, b ?1
1 1 +?+ n ?1 =xn,∴f(xn)-xn>0, b b

此时有 f(x)-f(xn)=bn(x-xn)>x-xn(n≥1) ,∴f(x)-x>f(xn)-xn. 又 f(xn)=n>1+

∴f(x)-x>f(xn)-xn>0. 即有 f(x)>x 成立. 其次,当 b<1,仿上述证明,可知当 x>1 时,恒有 f(x)<x 成立. 故函数 f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于 1 的交点. 评述:本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识,考查归纳、 推理和综合的能力. 64.解:由 Sn=a1+a2+?+an 知,an=Sn-Sn-1(n≥2) ,a1=S1, 由已知 an=5Sn-3,得 an-1=5Sn-1-3. 于是 an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,所以 an=-

1 an-1. 4

由 a1=5S1-3,得 a1=

3 . 4

所以,数列{an}是首项 a1=

3 1 ,公比 q=- 的等比数列. 4 4

由此知数列 a1,a3,a5,?,a2n-1,? 是首项为 a1=

3 1 ,公比为(- )2 的等比数列. 4 4

∴ lim (a1+a3+a5+?+a2n-1)=
n??

1 1 ? (? ) 2 4

3 4

?

4 . 5

评述:本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识. 65.解:设数列{an}的公比为 q,则 q2=

a4 =4. a2

由 an>0(n∈N*) ,得 q=2,∴a1=1,an=2n. ∴

lg an ?1 ? lg an ? 2 ? ? ? lg a2 n (n ? 1) lg 2 ? (n ? 2) lg 2 ? ? ? 2n lg 2 ? n2 n2 (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2n lg 2 n[(n ? 1) ? 2n] 3 1 ? lg 2 ? ( ? ) lg 2 2 2 n 2n 2 2n lg an ?1 ? lg an ? 2 ? ? ? lg a2 n 3 ? lg 2 n ?? n2 2

?

于是 lim

?b1 ? 1 ? 66.解: (Ⅰ)设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? 10(10 ? 1) 10b1 ? d ? 145 ? ? 2
解得 ?

?b1 ? 1 ?d ? 3

∴bn=3n-2

(Ⅱ)由 Sn=3n-2 知

1 1 S n ? log a (1 ? 1) ? log a (1 ? ) ? ? ? log a (1 ? ) 4 3n ? 2

1 1 1 1 ? log a [(1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] log a bn ?1 4 7 3n ? 2 3 ? log a 3 3n ? 1
因此要比较 Sn 与

1 1 1 logabn+1 的大小, 可先比较 (1+1) (1+ ) ? (1+ ) 与 3 3n ? 1 4 3 3n ? 2

的大小. 取 n=1,有(1+1)> 3

3 ?1 ? 1
1 )> 3 3 ? 2 ? 1 , 4

取 n=2,有(1+1) (1+ ?? 由此推测(1+1) (1+

1 1 )??(1+ )> 3 3n ? 1 4 3n ? 2



若①式成立,则由对数函数性质可断定: 当 a>1 时,Sn>

1 logabn+1 3 1 logabn+1. 3

当 0<a<1 时,Sn<

下面用数学归纳法证明①式. (i)当 n=1 时已验证①式成立. (ii)假设当 n=k(k≥1)时,①式成立, 即(1+1) (1+

1 1 ) ? 3 3k ? 1 . )?? (1 ? 4 3k ? 2

那么,当 n=k+1 时, (1+1) (1+

1 1 1 1 )??(1+ ) ? [1+ ]> 3 3k ? 1 (1+ ) 4 3k ? 2 3k ? 1 3(k ? 1) ? 2

3

=

3k ? 1 (3k+2) 3k ? 1
3

? 3 3k ? 1 ? (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 3 3 ∵? (3k ? 2)? ? ( 3k ? 4 ) ? (3k ? 1) 2 ? 3k ? 1 ?

?

9k ? 4 ?0 (3k ? 1) 2
3



3k ? 1 (3k+2)> 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1
1 1 1 ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 4 3k ? 2 3k ? 1

因而(1+1) (1 ?

这就是说①式当 n=k+1 时也成立. 由(i) (ii)知,①式对任何自然数 n 都成立.由此证得:

当 a>1 时,Sn>

1 logabn+1 3 1 logabn+1 3

当 0<a<1 时,Sn<

评述:该题是综合题,主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识, 以及归纳猜想,等价转化和代数式恒等变形的能力,相比之下,对能力的考查,远远高于对 知识的考查.

?b1 ? 1, ? 67.解: (Ⅰ)设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? 10(10 ? 1) 10b1 ? d ? 100. ? ? 2
解得 ?

?b1 ? 1, ∴bn=2n-1. ?d ? 2.

(Ⅱ)由 bn=2n-1,知 Sn=lg(1+1)+lg(1+

1 1 )+?+lg(1+ ) 3 2n ? 1

=lg[ (1+1) (1+

1 1 )?(1+ ) ] , 3 2n ? 1

1 lgbn+1=lg 2n ? 1 . 2
因此要比较 Sn 与 的大小. 取 n=1,有(1+1)> 取 n=2,有(1+1) (1+

1 1 1 lgbn+1 的大小,可先比较(1+1) (1+ )?(1+ )与 2n ? 1 2 3 2n ? 1

2 ?1 ? 1 ,
1 )> 2 ? 2 ? 1 ,?? 3

由此推测(1+1) (1+

1 1 )?(1+ )> 2n ? 1 . ① 3 2n ? 1
1 lgbn+1. 2

若①式成立,则由对数函数性质可断定:Sn> 下面用数学归纳法证明①式. (i)当 n=1 时已验证①式成立.

(ii)假设当 n=k(k≥1)时,①式成立,即(1+1) (1+

1 1 )?(1+ )> 2k ? 1 . 3 2k ? 1

那么,当 n=k+1 时, (1+1) (1+

1 1 1 )?(1+ ) [1+ ]> 2k ? 1 3 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1

? (1+

1 2k ? 1 )= (2k+2). 2k ? 1 2k ? 1

∵[

2k ? 1 (2k+2) ]2-( 2k ? 3 )2 2k ? 1



4k 2 ? 8k ? 4 ? (4k 2 ? 8k ? 3) 1 ? ? 0, 2k ? 1 2k ? 1



2k ? 1 (2k ? 2) ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1. . 2k ? 1
1 1 1 (1 ? 1)(1 ? ) ?(1 ? )(1 ? ) ? 2(k ? 1) ? 1. 3 2k ? 1 2k ? 1

因而

这就是说①式当 n=k+1 时也成立. 由(i) , (ii)知①式对任何正整数 n 都成立. 由此证得:Sn>

1 lgbn+1. 2 5 2n ? 3 2(n ? 1) ? 3 ? ? ?1 ,an-an-1=- 2 2 2

68.解: (1)∵a1=-

∴数列{an}是以-

5 为首项,-1 为公差的等差数列. 2

5 2n ? 3 n( ? ? ) n ( n ? 4) 2 2 ?? ∴An= 2 2
由 4Bn-12An=13n,得 Bn=

13n ? 12 An 6n 2 ? 11n ?? 4 4

∴bn=Bn-Bn-1=-

12n ? 5 4
2 n ? 3 2 12n ? 5 )- 2 4

(2)设抛物线 Cn 的方程为 y=a(x+

即 y=x2+(2n+3)x+n2+1 ∵y′=2x+(2n+3) ,∴Dn 处切线斜率 kn=2n+3. ∴ lim

k1 ? k 2 ? ? ? k n n 2 ? 4n 1 ? lim ? n ?? n ?? 3 5 an bn (?n ? )(?3n ? ) 3 2 4

(3)对任意 n∈N*,2an=-2n-3,4bn=-12n-5=-2(6n+1)-3∈X ∴y ? X,故可得 X∩Y=Y. ∵c1 是 X∩Y 中最大的数,∴c1=-17 设等差数列{cn}的公差为 d,则 c10=-17+9d ∵-265<-17+9d<-125 得-27

5 <d<-12 9

而{4bn}是一个以-12 为公差的等差数列. ∴d=-12m(m∈N*) ,∴d=-24 * ∴cn=7-24n(n∈N ) 评述:本题考查数列、数列的极限、集合和解析几何中的直线、抛物线等知识.对思维 能力有较高要求,考查了分析问题和解决问题的能力. 69.解: S n

?

a1 ( p n ? 1) b1 (q n ? 1) ? p ?1 q ?1

Sn a1 (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ? S n ?1 a1 (q ? 1)( p n ?1 ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ?1 ? 1)
分两种情况讨论 (1)当 p>1 时,因 p>q>0,则 1>

q >0,所以 p

lim

Sn n ?? S n ?1

1 qn 1 p [a1 (q ? 1)(1 ? n ) ? b1 ( p ? 1)( n ? n )] p p p ? lim n ? 1 n ?? 1 q 1 p n ?1[a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b1 ( p ? 1)( n ?1 ? n ?1 )] p p p
n

1 q 1 ) ? b1 ( p ? 1)[( ) n ? n ] n p p p ? p lim n ?? 1 q 1 a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b( p ? 1)[( ) n ?1 ? n ?1 ] p p p a (q ? 1) ? p? 1 ?p a1 (q ? 1) a1 (q ? 1)(1 ?
(2)当 p<1 时,因 p>q>0,则 1>p>q>0

lim

Sn a (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ? lim 1 n ?? S n ? ? a ( q ? 1)( p n ?1 ? 1) ? b ( p ? 1)(q n ?1 ? 1) n ?1 1 1

? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1) ? ?1 ? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1)

.

评述:该题考查了数列、极限的有关知识和分类讨论的思想,考查了学生解决问题的能 力,知识、方法、基本计算能力要求较高. 70.解:设等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,则 an=a+(n-1)d, 前 n 项和为 Sn=na+

n( n ? 1)d , 2

1 1 ?1 S3 ? S 4 ? ( S5 ) 2 , ? ?3 4 5 由题意得 ? ? 1 S ? 1 S ? 2, 3 4 ? 4 ?3
其中 S5≠0. 于是得

3? 2 1 4?3 1 5? 4 2 ?1 (3a ? d ) ? ( 4a ? d ) ? (5a ? d) , ? ?3 2 4 2 25 2 ? ?1 (3a ? 3 ? 2 d ) ? 1 (4a ? 4 ? 3 d ) ? 2. ? 2 4 2 ?3

12 ?3ad ? 5d 2 ? 0. ? ?d ? 0,?d ? ? , ? 整理得 ? 解得 ? 5 ? 5 2a ? d ? 2, ?a ? 1; ?a ? 4. ? ? 2 ?
由此得 an=1;或 an=4-

32 12 12 (n-1)= - n. 5 5 5
32 12 ? n 时, 15 5 32 12 ? n. 15 5

经验证 an=1 时,S5=5,或 an= S5=-4,均适合题意.

故所求数列通项公式为 an=1,或 an=

评述:该题考查了数列的有关基本知识及代数运算能力,思路明显,运算较基本. 71.解: (1)由 a1=S1=1,S2=1+a2,得 a2= 又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ① 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ② ①-②得 3tan-(2t+3)an-1=0

3 ? 2t a2 3 ? 2t , ? 3t a1 3t



an 2t ? 3 , (n=2,3,?) ? an ?1 3t
2t ? 3 的等比数列. 3t

所以{an}是一个首项为 1,公比为

(2)由 f(t)=

2t ? 3 2 1 1 2 ? ? ,得 bn=f ( ) ? +bn-1. 3t 3 t bn ?1 3
2 的等差数列. 3

∴{bn}是一个首项为 1,公差为

∴bn=1+

2 2n ? 1 (n-1)= 3 3 2n ? 1 5 4 ,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为 1 和 ,公差均为 的等差数列 3 3 3

(3)由 bn=

于是 b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+b2n-1b2n-b2nb2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+b6(b5-b7)+?+b2n(b2n-1+b2n+1) =-

4 1 5 4n ? 1 4 n( ? ) (b2+b4+?+b2n)=- 3 32 3 3
4 (2n2+3n) 9

=-

72.解:若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1. 由 S3+S6=2S9, 得

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) , 整理得 q3 (2q6-q3-1) =0, ? ? 1? q 1? q 1? q
1 ,所以 q= 2

由 q≠0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1) (q3-1)=0,因 q3≠1,故 q3=-

3



4 . 2
73.解: (Ⅰ)由已知 An= 解得 a1=3, 当 n≥2 时,an=An-An-1=

3 3 (an-1) (n∈N) ,当 n=1 时,a1= (a1-1) , 2 2 3 (an-an-1) ,由此解得 an=3an-1, 2



an =3(n≥2). an ?1

所以数列{an}是首项为 3,公比为 3 的等比数列,故 an=3n(n∈N*) ; (Ⅱ)证明:由计算可知 a1,a2 不是数列{bn}中的项, 因为 a3=27=4?6+3,所以 d1=27 是数列{bn}中的第 6 项 设 ak=3k 是数列{bn}中的第 n 项,则 3k=4m+3(k,m∈N) , k+1 k 因为 ak+1=3 =3?3 =3(4m+3)=4(3m+2)+1, 所以 ak+1 不是数列{bn}中的项. 而 ak+2=3k+2=9?3k=9(4m+3)=4(9m+6)+3, 所以 ak+2 是数列{bn}中的项 由以上讨论可知 d1=a3,d2=a5,d3=a7,?,dn=a2n+1 所以数列{dn}的通项公式是 dn=a2n+1=32n+1(n∈N*) (Ⅲ)解:由题意,32n+1=4r+3, 所以 r=

32 n ?1 ? 3 3 2n ? (3 -1) 4 4

r (b1 ? br ) 3(32 n ? 1)(7 ? 32 n ?1 ) 易知 Br ? ? 2 8
d1 (q n ? 1) 27(32 n ? 1) Dn ? ? , q ?1 8 Tn ? Br ? Dn ? 9 ? 34 n ? 15 ? 32 n ? 6 8

Tn 9 ? 34 n ? 15 ? 32 n ? 6 9 ? lim ? ∴ lim n ?? (a ) 4 n ?? 8 ? 34 n 8 n
74.(Ⅰ)证明:设{an}的公比为 q,由题设知 a1>0,q>0 (ⅰ)当 q=1 时,Sn=a1n,从而 SnSn+2-Sn+12=a1n(n+2)a1-(n+1)2a12=-a12<0 (ⅱ)当 q≠1 时,Sn=
2

a1 (1 ? q n ) ,从而 (1 ? q) 2
2

a1 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) a1 (1 ? q n ?1 ) 2 SnSn+2-Sn+1 = ? (1 ? q) 2 (1 ? q) 2
2

=-a12qn<0

由(ⅰ)和(ⅱ)得 SnSn+2<Sn+12 根据对数函数的单调性知 lg(SnSn+2)<lgSn+12 即

lg S n ? lg S n ? 2 <lgSn+1. 2

(Ⅱ)解:不存在.

证法一:要使

lg( S n ? C ) ? lg( S n ? 2 ? C ) =lg(Sn+1-C)成立,则有 2
① ②

?( S n ? C )(S n ? 2 ? C ) ? ( S n ?1 ? C ) 2 ? ?S n ? C ? 0

分两种情况讨论: (ⅰ)当 q=1 时, (Sn-C) (Sn+2-C)-(Sn+1-C)2= (a1n-C) [a1(n+2)-C]-[a1(n+1)-C]2 =-a12<0 可知,不满足条件①,即不存在常数 C>0,使结论成立. (ⅱ)当 q≠1 时, (Sn-C) (Sn+2-C)-(Sn+1-C)2

? a (1 ? q n ) ? ? a (1 ? q n ? 2 ) ? ? a (1 ? q n ?1 ) ? ?? 1 ? C?? 1 ? C? ? ? 1 ? C? ? 1? q ?? 1 ? q ? ? 1? q ? n ? ?a1q [a1 ? C (1 ? q)]
因 a1qn≠0,若条件①成立,故只能是 a1-C(1-q)=0,即 C=

2

a1 ,此时因为 C>0, 1? q

a1 a1q n a1>0,所以 0<q<1,但是 0<q<1 时,Sn- <0,不满足条件②,即不存 ?? 1? q 1? q
在常数 C>0,使结论成立. 综合(ⅰ) 、 (ⅱ) ,同时满足条件①,②的常数 C>0 不存在,即不存在常数 C>0, 使

lg( S n ? C ) ? lg( S n ? 2 ? C ) =lg(Sn+1-C) 2 g ( l Sn ? C) ?g ( l Sn?2 ? C) ?g ( l S n ?1 ? C ) 2
① ② ③ ④

证法二: 用反证法, 假设存在常数 C>0, 使

?S n ? C ? 0 ?S ? C ? 0 ? n ?1 则有 ? ?S n ? 2 ? C ? 0 ?( S ? C )(S ? C ) ? ( S ? C ) 2 n?2 n ?1 ? n

由④得 SnSn+2-Sn+12=C(Sn+Sn+2-2Sn+1 ⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知 Sn+Sn+2-2Sn+1=(Sn-C)+(Sn+2-C)-2(Sn+1-C) ≥2

( S n ? C )(S n ? 2 ? C ) -2(Sn+1-C)=0

因为 C>0,故⑤式右端非负,而由(Ⅰ)知,⑤式左端小于零,矛盾, 故不存在常数 C<0,使

lg( S n ? C ) ? lg( S n ? 2 ? C ) =lg(Sn+1-C). 2

评述:本题为综合题,以数列为核心知识,在考查等比数列基本知识的同时,考查不等 式的证明和解方程,兼考对数的运算法则和对数函数的单调性,并且多角度、多层次考查数 学思想方法的灵活、恰当的运用,提高对数学能力的考查要求.该题的解答方法很多,表明 该题能较好考查灵活综合运用数学知识的能力.第(Ⅰ)问侧重知识和基本技能的考查,第 (Ⅱ)问则把考查的重心放在能力要求上.对思维的逻辑性、周密性和深刻性;运算的合理 性、准确性;应用的灵活性、有效性等,该题都涉及到了,是一道突出能力考查的好试题. 75.解:证法一:令 d=a2-a1,下面用数学归纳法证明 an=a1+(n-1)d(n∈N*) ①当 n=1 时,上述等式为恒等式 a1=a1, 当 n=2 时,a1+(2-1)d=a1+(a2-a1)=a2,等式成立. ②假设当 n=k(k∈N,k≥2)时命题成立,即 ak=a1+(k-1)d 由题设,有 S k

?

k (a1 ? ak ) (k ? 1)(a1 ? ak ?1 ) , S k ?1 ? , 2 2 (k ? 1)(a1 ? ak ?1 ) k (a1 ? ak ) ? +ak+1 2 2

又 Sk+1=Sk+ak+1,所以

将 ak=a1+(k-1)d 代入上式, 得(k+1) (a1+ak+1)=2ka1+k(k-1)d+2ak+1 整理得(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d ∵k≥2,∴ak+1=a1+[ (k+1)-1]d. 即 n=k+1 时等式成立. 由①和②,等式对所有的自然数 n 成立,从而{an}是等差数列. 证法二:当 n≥2 时,由题设, S n ?1

?

(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) n(a1 ? an ) , Sn ? 2 2

所以 a n

? S n ? S n ?1 ? ?

n(a1 ? a2 ) (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? 2 2

同理有 a n ?1

(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) n(a1 ? an ) ? 2 2 (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? n(a1 ? an ) ? 2 2

从而 a n ?1

? an ?

整理得:an+1-an=an-an-1,对任意 n≥2 成立. 从而{an}是等差数列. 评述:本题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力,教材中是由等差数 列的通项公式推出数列的求和公式, 本题逆向思维, 由数列的求和公式去推数列的通项公式, 有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证,却不知用数学归纳法证什么, 这里需要把数列成等差数列这一文字语言,转化为数列通项公式是 an=a1+(n-1)d 这一数

学符号语言.证法二需要一定的技巧. 76.解: (Ⅰ)由题意

an ? 2 ? 2S n ,an>0 2
S1=a1

令 n=1 时,

a1 ? 2 ? 2S1 2

解得 a1=2,令 n=2 时有

a2 ? 2 ? 2S 2 S2=a1+a2 2 a3 ? 2 ? 2S 3 2

解得 a2=6,令 n=3 时有

S3=a1+a2+a3 解得 a3=10 故该数列的前三项为 2、6、10. (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)猜想数列{an}有通项公式 an=4n-2,下面用数学归纳法证明 数列{an}的通项公式是 an=4n-2 (n∈N*) 1°当 n=1 时,因为 4?1-2=2,又在(Ⅰ)中已求得 a1=2,所以上述结论正确. 2°假设 n=k 时,结论正确,即有 ak=4k-2 由题意有

ak ? 2 ? 2S k 2

得 ak=4k-2,代入上式得 2k= 2 S k ,解得 Sk=2k2 由题意有

ak ?1 ? 2 ? 2S k ?1 2

Sk+1=Sk+ak+1

得 Sk=2k2 代入得(

a k ?1 ? 2 2 ) =2(ak+1+2k2) 2

整理 ak+12-4ak+1+4-16k2=0 由于 ak+1>0,解得:ak+1=2+4k 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2 这就是说 n=k+1 时,上述结论成立. 根据 1°,2°上述结论对所有自然数 n 成立. 解法二:由题意有,

an ? 2 ? 2 S n (n∈N*) 2

整理得 Sn=

1 (an+2)2 8 1 (an+1+2)2 8

由此得 Sn+1=

所以 an+1=Sn+1-Sn=

1 [ (an+1+2)2-(an+2)2] 8

整理得(an+1+an) (an+1-an-4)=0 由题意知 an+1+an≠0,所以 an+1-an=4 即数列{an}为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+4(n-1) 即通项公式 an=4n-2. (Ⅲ)令 cn=bn-1, 则 cn

? 1 ?? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ?? 1 ? a n ?1 a n ? ? ? ? 2? ? 1? ? ? ? 1?? ? ? ? 2 ?? 2 ? an a n ?1 ?? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ?? ?

?

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

b1+b2+?+bn-n=c1+c2+?+cn = ?1 ?

? ?

1? ?1 1? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1? 3? ? 3 5? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 ? ? ? b2 ? ? ? bn ? n) ? lim?1 ? ? =1. n ?? ? 2n ? 1 ?

所以 lim(b1
n ??

评述:该题的解题思路是从所给条件出发,通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想 出一般规律,然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数 n 的命题,可以考虑用数 学归纳法进行证明,该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力. - 77.解: (Ⅰ)由题意得 rqn 1+rqn>rqn+1 由题设 r>0,q>0,故上式 q2-q-1<0 所以

1? 5 1? 5 , ?q? 2 2
1? 5 2

由于 q>0,故 0<q<

(Ⅱ)因为

an ?1an ? 2 an ? 2 ? ?q an an ?1 an

所以

bn ?1 a2 n ?1 ? a2 n ? 2 a2 n ?1q ? a2 n q =q≠0 ? ? bn a2 n ?1 ? a2 n a2 n ?1 ? a2 n

b1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列, - 从而 bn=(1+r)qn 1 当 q=1 时,Sn=n(1+r)

lim

1 1 ? lim ?0 n ?? S n ?? n(1 ? r ) n

当 0<q<1 时,Sn=

(1 ? r )(1 ? q n ) 1? q

lim

1 1? q 1? q ? lim ? n n ?? S n ?? (1 ? r )( 1? q ) 1? r n

1 (1 ? r )(q n ? 1) 当 q>1 时,Sn= lim ? 0 n ?? S q ?1 n

?1 ? q 1 ? 综上所述 l i m ? ?1 ? r n ?? S n ? ?0
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn=(1+r)qn

(0 ? q ? 1) (q ? 1)
-1

log 2 bn ?1 log 2 [(1 ? r )q n ] log 2 (1 ? r ) ? n log 2 q cn ? ? ? n ?1 log 2 bn log 2 [(1 ? r )q ] log 2 (1 ? r ) ? (n ? 1) log 2 q

?1?

1 n ? 20.2 1 1 ?1? =2.25 21 ? 20.2 0.8

从上式可知当 n-20.2>0 时 n≥21(n∈N)时,cn 随 n 的增大而减小,故 1<cn<c21=1+ ①

当 n-20.2<0,即 n≤20(n∈N)时,cn 也随着 n 的增大而减小,故 1>cn>c20=1+

1 1 ?1? ? ?4 20 ? 20.2 0.2



综合①、②两式知对任意的自然数 n 有 c20≤cn≤c21 故{cn}的最大项 c21=2.25,最小项 c20=-4. 评述:本题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,推理能力以及分解问题和解 决问题的能力.



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